Challenge n°145
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Challenge n°145
Posté le 07-01-06 à 12:37
Posté par 
puisea puisea 
Bonjour, nouvelle énigme :
Le crayon toujours taillé, Youpi s'amuse à dessiner un rectangle et un losange. C'est alors qu'il s'apercoit que les périmètres de ses deux quadrilatères sont égaux, mais qu'ils ont également la même aire. De plus, les longueurs des côtés du rectangle et des diagonales du losange sont des nombres entiers de centimètres.
Quel est le plus petit périmètre possible du rectangle de Youpi ?
Bonne chance à tous !
puisea puisea Bonjour, nouvelle énigme :
Le crayon toujours taillé, Youpi s'amuse à dessiner un rectangle et un losange. C'est alors qu'il s'apercoit que les périmètres de ses deux quadrilatères sont égaux, mais qu'ils ont également la même aire. De plus, les longueurs des côtés du rectangle et des diagonales du losange sont des nombres entiers de centimètres.
Quel est le plus petit périmètre possible du rectangle de Youpi ?
Bonne chance à tous !
Challenge n° 145 Posté le 07-01-06 à 13:07
Posté le 07-01-06 à 13:07Posté par Pierre Carré (invité)
Bonjour !
Le plus petit périmètre possible pour le rectangle de Youpi est 24 cm.
Au plaisir.
Bonjour !Le plus petit périmètre possible pour le rectangle de Youpi est 24 cm.
Au plaisir.
re : Challenge n°145 Posté le 07-01-06 à 13:12
Posté le 07-01-06 à 13:12Posté par Nofutur2 Nofutur2
Les côtés du rectangle sont 3cm et 2cm.
Les diagonales du losange sont de 3cm et 4 cm.
Le plus petit périmètre possible du rectangle est donc de 10 cm et son aire de 6 cm2.
Idem pour le losange.
Nofutur2 Nofutur2Les côtés du rectangle sont 3cm et 2cm.Les diagonales du losange sont de 3cm et 4 cm.
Le plus petit périmètre possible du rectangle est donc de 10 cm et son aire de 6 cm2.
Idem pour le losange.
re : Challenge n°145 Posté le 07-01-06 à 13:51
Posté le 07-01-06 à 13:51Posté par manpower manpower
Bonjour,
En notant a et b les côtés du rectangle c le côté du losange et d,e les longueurs de ses diagonales, on a les périmètres et aires suivants:
Pour le rectangle:)
et 
Pour le losange:
et 
D'où=4c)
et 
.
=4c=4sqrt{\frac{d^2}{4}+\frac{e^2}{4})
(par Pythagore)
puis^2=d^2+e^2)
(en élevant au carré après simplification).
Le problème passe donc par la recherche du plus petit triplet Pythagoricien (d,e,f) tel que
avec 
.
Le plus petit triplet entier est (3,4,5) et celui-ci convient d'emblée.
En effet,
et 
donne 
et vérifie la condition d'égalité d'aires.
Par ailleurs la condition d'égalité des périmètres donne
i.e. 
sous la contrainte ,
donc a et b sont les solutions du trinôme de second degré
, soit a=2 et b=3 (par exemple).
Conclusion: Il existe une unique solution minimale.
Les côtés du rectangle mesurent 2cm et 3cm et les diagonales du losange (de côté 2,5cm) mesurent 3cm et 4cm (tous entiers).
Enfin le périmètre commun du rectangle et du losange vaut
.
manpower manpowerBonjour,En notant a et b les côtés du rectangle c le côté du losange et d,e les longueurs de ses diagonales, on a les périmètres et aires suivants:
Pour le rectangle:
Pour le losange:
D'où
puis
Le problème passe donc par la recherche du plus petit triplet Pythagoricien (d,e,f) tel que
Le plus petit triplet entier est (3,4,5) et celui-ci convient d'emblée.
En effet,
Par ailleurs la condition d'égalité des périmètres donne
donc a et b sont les solutions du trinôme de second degré
Conclusion: Il existe une unique solution minimale.
Les côtés du rectangle mesurent 2cm et 3cm et les diagonales du losange (de côté 2,5cm) mesurent 3cm et 4cm (tous entiers).
Enfin le périmètre commun du rectangle et du losange vaut
re:Challenge n°145 Posté le 07-01-06 à 13:57
Posté le 07-01-06 à 13:57Posté par geo3 geo3
Bonjour
Si on appelle D,d,c les diagonales et côté du losange , L et l les côtés du rectangle on doit avoir D.d = 2.L.l, 4c = 2L + 2l ou 2c = L + l
or 4c²= D² + d² => D² + d² = (L + l)² mais les plus petits nombres qui vérifient la somme de 2 carrés = 1 carré sont 3, 4, 5
Donc D=4, d=3 et L+l = 5 et le plus petit périmètre du rectangle =
A plus: geo3 :
geo3 geo3BonjourSi on appelle D,d,c les diagonales et côté du losange , L et l les côtés du rectangle on doit avoir D.d = 2.L.l, 4c = 2L + 2l ou 2c = L + l
or 4c²= D² + d² => D² + d² = (L + l)² mais les plus petits nombres qui vérifient la somme de 2 carrés = 1 carré sont 3, 4, 5
Donc D=4, d=3 et L+l = 5 et le plus petit périmètre du rectangle =
A plus: geo3 :
re : Challenge n°145 Posté le 07-01-06 à 14:08
Posté le 07-01-06 à 14:08Posté par vince909 vince909
Bonjour,
Compte tenu des contraintes, je trouve un périmètre minimal de 10 cm.
La grande diagonale du losange fait alors 4 cm, la petite diagonale fait 3 cm.
Le grand côté du rectangle fait 3 cm, et le petit côté 2 cm.
L'aire des deux polygones est alors de 6 cm2 et le périmètre donc de 10 cm.
vince909 vince909Bonjour,Compte tenu des contraintes, je trouve un périmètre minimal de 10 cm.
La grande diagonale du losange fait alors 4 cm, la petite diagonale fait 3 cm.
Le grand côté du rectangle fait 3 cm, et le petit côté 2 cm.
L'aire des deux polygones est alors de 6 cm2 et le périmètre donc de 10 cm.
Challenge n°145 Posté le 07-01-06 à 14:41
Posté le 07-01-06 à 14:41Posté par caylus caylus
Bonjour,
Les plus petits triples de Pythagore sont (0,0,0), (0,1,1),(3,4,5)
Les deux premiers sont à exclure car les figures sont ponctuelles ou linéaires.
Donc, le plus petit périmètre possible du rectangle de Youpi est
.
caylus caylusBonjour,Les plus petits triples de Pythagore sont (0,0,0), (0,1,1),(3,4,5)
Les deux premiers sont à exclure car les figures sont ponctuelles ou linéaires.
Donc, le plus petit périmètre possible du rectangle de Youpi est
re : Challenge n°145 Posté le 07-01-06 à 14:49
Posté le 07-01-06 à 14:49Posté par wiat (invité)
Bonjour à tous. Le plus petit permiètre possible est 20 cm.
Bonjour à tous. Le plus petit permiètre possible est 20 cm.
re : Challenge n°145 Posté le 07-01-06 à 14:59
Posté le 07-01-06 à 14:59Posté par Dal (invité)
Le périmètre minimal est de 10 cm.
Le périmètre minimal est de 10 cm.re : Challenge n°145 Posté le 07-01-06 à 15:46
Posté le 07-01-06 à 15:46Posté par borneo borneo
On met tout ça en equation et on remarque que les diagonales sont des triplets de pythagore avec le demi périmètre du rectangle. Bref, le plus petit périmètre est 10 centimètres.
merci pour l'énigme
borneo borneoOn met tout ça en equation et on remarque que les diagonales sont des triplets de pythagore avec le demi périmètre du rectangle. Bref, le plus petit périmètre est 10 centimètres.merci pour l'énigme
re : Challenge n°145 Posté le 07-01-06 à 19:54
Posté le 07-01-06 à 19:54Posté par piepalm piepalm
Si a et b sont les cotés du rectangle , c le coté du losange, d et e les diagonales du losange on a donc a+b=2c, ab=de/2 et d²+e²=4c²=(a+b)²
La solution minimale est a=2cm, b=3cm, c=2,5 cm, d=3cm, e=4cm ce qui donne un périmètre de 10 cm (puisqu'il n'est dit nulle part que le coté du losange est un nombre entier de cm)
piepalm piepalmSi a et b sont les cotés du rectangle , c le coté du losange, d et e les diagonales du losange on a donc a+b=2c, ab=de/2 et d²+e²=4c²=(a+b)²La solution minimale est a=2cm, b=3cm, c=2,5 cm, d=3cm, e=4cm ce qui donne un périmètre de 10 cm (puisqu'il n'est dit nulle part que le coté du losange est un nombre entier de cm)
re : Challenge n°145 Posté le 07-01-06 à 20:22
Posté le 07-01-06 à 20:22Posté par cissou3 cissou3
je pense que le périmètre du rectangle vaut 10 cm
j'ai pris : L et l les cotés du rectangle avec l=2cm et L=3cm
D et d les diagonales du losange avec d=3cm et D=4cm
cissou3 cissou3je pense que le périmètre du rectangle vaut 10 cmj'ai pris : L et l les cotés du rectangle avec l=2cm et L=3cm
D et d les diagonales du losange avec d=3cm et D=4cm
re : Challenge n°145 Posté le 07-01-06 à 20:27
Posté le 07-01-06 à 20:27Posté par Youpi Youpi
Je pense que le périmètre minimum est de 10cm.
dans ce cas le rectancgle fait 3x2 et les longueurs des diagonales du losange font 3 et 4 cm
dans ce cas l'aire des deux quadrilatère est de 6cm2
Youpi YoupiJe pense que le périmètre minimum est de 10cm.dans ce cas le rectancgle fait 3x2 et les longueurs des diagonales du losange font 3 et 4 cm
dans ce cas l'aire des deux quadrilatère est de 6cm2
re : Challenge n°145 Posté le 08-01-06 à 02:56
Posté le 08-01-06 à 02:56Posté par gillesmarseille gillesmarseille
bonsoir,
le plus petit perimètre possible est 10 centimètres.
gillesmarseille gillesmarseillebonsoir,le plus petit perimètre possible est 10 centimètres.
re : Challenge n°145 Posté le 08-01-06 à 19:07
Posté le 08-01-06 à 19:07Posté par philoux (invité)
Bonjour,
Réponse proposée : 260 cm (sans garantie)
Méthode : Excel
Merci pour l'énigme, un bonjour à Youpi (un p'tit lapsus calami l'a masculanisée...
)
Philoux
Bonjour,Réponse proposée : 260 cm (sans garantie)
Méthode : Excel
Merci pour l'énigme, un bonjour à Youpi (un p'tit lapsus calami l'a masculanisée...
)Philoux
réponse Posté le 08-01-06 à 19:30
Posté le 08-01-06 à 19:30Posté par papou_28 (invité)
Il faut résoudre le sytème de deux équations à quatre inconnus :
p , q les longueurs des deux diagonales du losange
y et z les longueurs du rectangle
p²+q² = (z+y)²
pq=2yz
J'ai fait un ptit programme en python qui fait varier les valeurs de p,q,y,z de 1 à 5:
J'ai trouvé dans l'odre p,q,y,z:
3,4,2,3 ( et toutes les autres permutations entre p et q ; y et z)
Bilan y=2 et z=3
d'où le périmètre du rectangle est 10cm²
Il faut résoudre le sytème de deux équations à quatre inconnus :p , q les longueurs des deux diagonales du losange
y et z les longueurs du rectangle
p²+q² = (z+y)²
pq=2yz
J'ai fait un ptit programme en python qui fait varier les valeurs de p,q,y,z de 1 à 5:
J'ai trouvé dans l'odre p,q,y,z:
3,4,2,3 ( et toutes les autres permutations entre p et q ; y et z)
Bilan y=2 et z=3
d'où le périmètre du rectangle est 10cm²
re : Challenge n°145 Posté le 08-01-06 à 19:34
Posté le 08-01-06 à 19:34Posté par jacques1313 jacques1313
L et l respectivement largeur et longueur du rectangle.
d1, d2 les diagolanes du losange, de côté c.
On a :
L+l=2c
2×l×L=d1×d2
d1²+d2²=4c²
On a
Les valeurs minimales de d1 et d2 pour que c soit rationnel et valide pour le problème sont 3 et 4 (sauf erreur de ma part). D'où c=5/2.
D'où le périmètre : 2(L+l)=4c=10 cm.
jacques1313 jacques1313L et l respectivement largeur et longueur du rectangle.d1, d2 les diagolanes du losange, de côté c.
On a :
L+l=2c
2×l×L=d1×d2
d1²+d2²=4c²
On a
Les valeurs minimales de d1 et d2 pour que c soit rationnel et valide pour le problème sont 3 et 4 (sauf erreur de ma part). D'où c=5/2.
D'où le périmètre : 2(L+l)=4c=10 cm.
re : Challenge n°145 Posté le 09-01-06 à 11:04
Posté le 09-01-06 à 11:04Posté par kyrandia (invité)
bonjour,
plus petit périmètre possible du rectangle de Youpi : 10 cm
bonjour,plus petit périmètre possible du rectangle de Youpi : 10 cm
re : Challenge n°145 Posté le 09-01-06 à 18:56
Posté le 09-01-06 à 18:56Posté par majuju (invité)
Bonsoir,
je pense que le pus petit périmètre possible pour le rectangle est 10 cm
dans ce cas:
diagonales du losange: 4 et 3 com
aire du losange: 6cm²
coté du losange: 5/2 cm par pythagore
Coté du rectangle: 2 et 3 cm
Aire du rectangle: 6 cm²
Périmètre des deux figures: 10 cm
Je pense que c'est la solution "minimale" car on doit avoir a²+b²=(L+l)² ou A et b sont les mesure des diagonales du losange, et L et l les longueurs des cotés du rectangle. On cherche donc le plus peit carré somme de 2 carrés, c'est 25 = 16 + 9.
merci
Bonsoir, je pense que le pus petit périmètre possible pour le rectangle est 10 cm
dans ce cas:
diagonales du losange: 4 et 3 com
aire du losange: 6cm²
coté du losange: 5/2 cm par pythagore
Coté du rectangle: 2 et 3 cm
Aire du rectangle: 6 cm²
Périmètre des deux figures: 10 cm
Je pense que c'est la solution "minimale" car on doit avoir a²+b²=(L+l)² ou A et b sont les mesure des diagonales du losange, et L et l les longueurs des cotés du rectangle. On cherche donc le plus peit carré somme de 2 carrés, c'est 25 = 16 + 9.
merci
re : Challenge n°145 Posté le 10-01-06 à 01:16
Posté le 10-01-06 à 01:16Posté par minkus minkus
Bonjour,
Je reve ! J'ai cherche tres longtemps sans trouver de reponses jusqu'a ce que je m'apercoivre que le produit des diagonales du losange n'etait pas egale a son aire mais a deux fois son aire !
J'ai donc finalement trouve (enfin je crois)
Les dimensions du quart de losange forment un triplet pythagoricien. Le plus petit est (3;4;5).
Et ca marche avec un rectangle de 6 sur 4 et les diagonales du losange qui mesurent 8 et 6.
L'aire est 24 et le perimetre est 20.
Le plus petit perimetre possible du rectangle de Youpi est donc 20.
minkus minkus Bonjour,Je reve ! J'ai cherche tres longtemps sans trouver de reponses jusqu'a ce que je m'apercoivre que le produit des diagonales du losange n'etait pas egale a son aire mais a deux fois son aire !
J'ai donc finalement trouve (enfin je crois)
Les dimensions du quart de losange forment un triplet pythagoricien. Le plus petit est (3;4;5).
Et ca marche avec un rectangle de 6 sur 4 et les diagonales du losange qui mesurent 8 et 6.
L'aire est 24 et le perimetre est 20.
Le plus petit perimetre possible du rectangle de Youpi est donc 20.
re : Challenge n°145 Posté le 10-01-06 à 10:36
Posté le 10-01-06 à 10:36Posté par gloubi gloubi
Bonjour,
Le périmètre du rectangle est de 10 centimètres.
côtés du rectangle: 3 cm et 2 cm,
diagonales du losange: 4 cm et 3 cm, soit des côtés de 2.5 cm
@+
gloubi gloubiBonjour,Le périmètre du rectangle est de 10 centimètres.
côtés du rectangle: 3 cm et 2 cm,
diagonales du losange: 4 cm et 3 cm, soit des côtés de 2.5 cm
@+
re : Challenge n°145 Posté le 10-01-06 à 19:26
Posté le 10-01-06 à 19:26Posté par rahmane (invité)
le plus petit perimetre c'est 
le plus petit perimetre c'est re : Challenge n°145 Posté le 11-01-06 à 15:56
Posté le 11-01-06 à 15:56Posté par Rouliane Rouliane
Je trouve que le plus petit périmètre possible pour le rectangle de Youpi est 10 cm
cela correspond à un rectangle ayant pour largeur 2cm et pour longueur 3cm.
Le losange correspondant a alors des cotés de longueur a=2.5cm
Ses diagonales ont pour longueur 4cm et 3cm, donc sont bien des valeurs entières.
Le périmètre du rectangle est 2(L+l)=10cm
le périmètre du losange est 4a = 10cm
L'aire du rectangle est L*l = 6 cm²
l'aire du losange est 2*OA*OB ou O est le centre du losange, c'est à dire l'aire est 2*2*1.5=6cm²
On obtient bien un losange et un rectangle qui ont la même aire et el même périmètre, dont les longueurs respectiveement des cotés et des diagonales sont entières.
Merci pour l'énigme
(en espérant que la réponse n'est pas 6cm)
Rouliane RoulianeJe trouve que le plus petit périmètre possible pour le rectangle de Youpi est 10 cmcela correspond à un rectangle ayant pour largeur 2cm et pour longueur 3cm.
Le losange correspondant a alors des cotés de longueur a=2.5cm
Ses diagonales ont pour longueur 4cm et 3cm, donc sont bien des valeurs entières.
Le périmètre du rectangle est 2(L+l)=10cm
le périmètre du losange est 4a = 10cm
L'aire du rectangle est L*l = 6 cm²
l'aire du losange est 2*OA*OB ou O est le centre du losange, c'est à dire l'aire est 2*2*1.5=6cm²
On obtient bien un losange et un rectangle qui ont la même aire et el même périmètre, dont les longueurs respectiveement des cotés et des diagonales sont entières.
Merci pour l'énigme
(en espérant que la réponse n'est pas 6cm)
, j'en suis tout ému 
re : Challenge n°145 Posté le 11-01-06 à 23:33
Posté le 11-01-06 à 23:33Posté par borneo borneo
Persévère, car ce mois-ci, il y a tant de poissons que même avec un smiley, on peut être classé.
borneo borneoPersévère, car ce mois-ci, il y a tant de poissons que même avec un smiley, on peut être classé. re : Challenge n°145 Posté le 11-01-06 à 23:43
Posté le 11-01-06 à 23:43Posté par Anthony Anthony
Ha oui, bas moi j'ai eu 2 jolis poisson contre 1 smiley = retour à la case départ
mais je persévère car 2 smileys et hop ! dans le classement ( enfin pour le moment )
Anthony AnthonyHa oui, bas moi j'ai eu 2 jolis poisson contre 1 smiley = retour à la case départ
mais je persévère car 2 smileys et hop ! dans le classement
( enfin pour le moment )re : Challenge n°145 Posté le 12-01-06 à 20:00
Posté le 12-01-06 à 20:00Posté par minkus minkus
Bonjour,
Ah ben oui forcement quand on se dit que pour que le perimetre du losange soit entier il faut que les cotes le soient aussi...
Bien sur je l'avais ce plus petit triplet pythagoricien et je l'ai mis pour les demi diagonales. Le plus drole, apres reflexion, c'est que mon perimetre trouve etait divisible par 2 et l'aire par 4 donc une reduction de rapport 1/2 etait possible... Ha Ha Ha
minkus
minkus minkus Bonjour, Ah ben oui forcement quand on se dit que pour que le perimetre du losange soit entier il faut que les cotes le soient aussi...
Bien sur je l'avais ce plus petit triplet pythagoricien et je l'ai mis pour les demi diagonales. Le plus drole, apres reflexion, c'est que mon perimetre trouve etait divisible par 2 et l'aire par 4 donc une reduction de rapport 1/2 etait possible... Ha Ha Ha
minkus
Challenge (énigme mathématique) terminé .
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Temps de réponse moyen : 22:41:06.
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75,86 %24,14 %22 
7
7Temps de réponse moyen : 22:41:06.
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