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limite d'une suite bizarre !

Posté par
kgauss 05-07-15 à 13:20

Bonjour mes amis.
je trouve de difficulté pour démontrer que la suite x_{n}=\frac{n}{2}-\sum_{k=1}^{n}\frac{n^{2}}{(n+k)^2} \: \: \: \: tend \: vers \: \: \frac{3}{8}. j'ai essayé avec Reimann mais ça marche pas avec moi( \sum_{k=1}^{n}\frac{n^{2}}{(n+k)^2} \: \:\: \:me \: \:donne \frac{n}{2} \: \:donc \: \:x_{n} toujours donne une forme indetérminé ). Une idée et Merci.

Posté par
carpediemre : limite d'une suite bizarre ! 05-07-15 à 13:34

salut

\sum_1^n \dfrac {n^2}{(n + k)^n} = n \dfrac 1 n \sum_1^n \dfrac 1{(1 + \frac k n)^2} \to n \int_0^1 \dfrac 1{(1 + x)^2}dx

...

Posté par
carpediemre : limite d'une suite bizarre ! 05-07-15 à 13:36

ouais faut aller plus loin ...

Posté par
carpediemre : limite d'une suite bizarre ! 05-07-15 à 13:50

mon dernier terme "tend" vers -n/2 et comme il y a un moins devant la somme ça donne plutôt n/2 - (-n/2) = n ....

mais bon c'est toujours du bricolage ....

Posté par
carpediemre : limite d'une suite bizarre ! 05-07-15 à 14:02

une idée : tout mettre dans la somme ... et triturer ....

\dfrac n 2 - \sum_1^n \dfrac {n^2}{(n + k)^2}  =  \sum_1^n (\dfrac 1 2 - \dfrac 1{(1 + \frac k n)^2})

Posté par
verdurinre : limite d'une suite bizarre ! 05-07-15 à 14:13

Bonjour,
on peut aussi évaluer la différence

\int_0^1\dfrac{\text{d}x}{(1+x)^2}-\sum_1^n \dfrac 1{(1 + \frac k n)^2}

En utilisant la méthode des trapèzes on peut voir que cette différence est de l'ordre de \dfrac3{8n}+o(\frac1{n^2})

Posté par
verdurinre : limite d'une suite bizarre ! 05-07-15 à 15:02

Un oubli : dans mon message lire

\int_0^1\dfrac{\text{d}x}{(1+x)^2}-\dfrac1{n}\sum_1^n \dfrac 1{(1 + \frac k n)^2}

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : limite d'une suite bizarre ! 06-07-15 à 06:49

Bonsoir,

si on note \Large f la fonction \Large x\mapsto\frac{1}{(1+x)^2} on peut écrire \Large \boxed{x_n=n\sum_{k=1}^n\int_{\frac{k-1}{n}}^{\frac{k}{n}}(f(x)-f(\frac{k}{n}))dx}

le théorème des accroissements finis donne l'encadrement \Large \boxed{\frac{2(\frac{k}{n}-x)}{(1+\frac{k}{n})^3}\leqslant f(x)-f(\frac{k}{n})\leqslant\frac{2(\frac{k}{n}-x)}{(1+\frac{k-1}{n})^3}}

d'où l'encadrement \Large \boxed{\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{(1+\frac{k}{n})^3}\leqslant x_n\leqslant\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{(1+\frac{k-1}{n})^3}} sauf erreur bien entendu

Posté par
jverbizarre 07-07-15 à 11:06

Vous avez donc:
x_n=\frac{n}{2}-\Sigma_{k=1}^n\frac{n^2}{(n+k)^2}
Donc: x_n=\frac{n}{2}-n^2(\Psi'(n+1)-\Psi'(2n+1))
dans lequel, si je ne m'abuse \Psi=\frac{\Gamma'}{\Gamma} est la dérivée logarithmique de \Gamma
Est-ce que ça fait avancer le schmiblick?

Oui, mais je n'ai pas le temps aujourd'hui, il me semble qu'en approchant \Gamma par Stirling, on doit arriver à quelque chose.

Posté par
kgaussre : limite d'une suite bizarre ! 07-07-15 à 17:38

Voila la reponse :

Posté par
kgausslimite d'une suite bizarre ! 07-07-15 à 17:40



** image supprimée **
*** lafol > image recadrée sur la figure (inexistante)

Posté par
jverbizarre 08-07-15 à 16:39

Je reprends mon approche, qui ne semble pas rencontrer un franc succès, avec les fonctions digamma. J'étais arrivé àx_n=n/2-n^2[\Psi'(n+1)-\Psi'(2n+1)]
Or, pour n entier, on sait que \Psi(n)=-\gamma + \Sigma_{j=1}^{n-1}\frac{1}{j} (\gamma est la constante d'Euler).

Si je fais les approximations suivantes \Psi'(n+1)=\frac{1}{2}(\Psi(n+2)-\Psi(n))  et  \Psi'(2n+1)=\frac{1}{2}(\Psi(2n+2)-\Psi(2n))

J'obtiens, après quelques calculs faciles:x_n=\frac{n(3n+1)}{4(2n+1)(n+1)}.
On a donc:x_n \simeq \frac{3n^2}{8n^2} qui tend bien vers \frac{3}{8}

Je sais bien que je n'ai pas justifié que les approximations des dérivées de \Psi' n'ajoutent pas de biais. A ceci près, il me semble que la méthode que je propose donne facilement le résultat.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : limite d'une suite bizarre ! 04-07-16 à 13:45

Pour conclure :

les Sommes de Riemann donnent \Large \Large\boxed{\lim~x_n=\int_0^1\frac{dx}{(1+x)^3}=\left[-\frac{1}{2(1+x)^2}\right]_0^1=\frac{3}{8}} sauf erreur bien entendu


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