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Loi de Bernoulli

Posté par
Prefaisceau 05-07-15 à 22:41

Bonjour à tous,

On se place sur [0,1[ munit de la tribu borélienne et de la la mesure de Lebesgue. Pour tout \omega\in [0,1[, on note \omega=\sum_{n=1}^{\infty}X_n (\omega)2^{-n} le développement dyadique propre de \omega.

Si on fixe x_i\in \{0,1\}, je ne comprends pas pourquoi \mathbb{P}(X_i=x_i)=1/2. Comment le démontrer rigoureusement ?

Merci d'avance

Posté par
verdurinre : Loi de Bernoulli 05-07-15 à 23:35

Bonsoir,
X_1^{-1}(\{0\})=[0\,;2^{-1}[ \quad X_1^{-1}(\{1\})=[2^{-1}\,; 1[ \\ \\ X_2^{-1}(\{0\})=[0\,;2^{-2}[\cup[2^{-1}\,; 2^{-1}+2^{-2}[ \quad X_2^{-1}(\{1\})=\ldots

Posté par
Prefaisceau: 06-07-15 à 00:40

Merci de ta réponse. Peux-tu détailler pourquoi X_{1}^{-1}[\{0\})=[0,2^{-1}[ ? Je ne comprends pas pourquoi.

Posté par
DOMOREALoi de Bernoulli 06-07-15 à 07:47

bonjour,
Par définition du développement dyadique
\omega<\frac{1}{2}\Longleftrightarrow X_1(\omega)=0

Posté par
Prefaisceauf 06-07-15 à 22:55

Merci, je comprends pour \{X_1=0\}, \{X_1=1\} mais pas \{X_2=0\}, pourriez-vous m'expliquer ?

Posté par
verdurinre : Loi de Bernoulli 06-07-15 à 23:20

Les nombres dont l'écriture en base 2 est de la forme 0,x0... sont 0,00... ou 0,10...

Ceux du type 0,00... sont entre 0 et 1/4 : ils s'écrivent 0+0\times \frac12+0\times \frac14+\cdots

Ceux du type 0,10... sont entre 1/2 et 3/4 : ils s'écrivent 0+1\times \frac12+0\times \frac14+\cdots

Remarque importante, on parle du développement dyadique propre : le nombre ne peut pas se terminer par une infinité de 1.
Ça ne change rien au niveau des probabilités, mais ça permet d'écrire la démonstration proprement.

Posté par
Prefaisceaum 07-07-15 à 00:12

Ok c'est sympas. Je pense avoir saisi la démarche. Par exemple, \{X_3=0\}=[0,1/8[\cup [2/8,3/8[\cup [4/8,5/8[\cup [6/8,7/8[, on obtient une réunion disjointe et en utilisant la \sigma-additivité, on obtient bien \mathbb{P}(X_3=0)=1/2 Cependant je ne sais pas écrire la démonstration proprement pour le cas général pour montrer que \mathbb{P}(X_i=x_i)=1/2 avec x_i\in\{0,1\}.

Posté par
verdurinre : Loi de Bernoulli 07-07-15 à 00:27

\{X_i=0\}=[0\,;2^{-i}[\ \cup\ [2^{-i+1}\,;2^{-i+1}+2^{-i}[\ \cup \dots

Pour la rédaction, c'est à toi de la faire.

Posté par
Prefaisceau. 09-07-15 à 21:19

Je n'arrive pas à prouver formellement ce résultat.

Est-ce que quelqu'un peut m'indiquer une référence où cela est fait ?

Je parle de montrer que \mathbb{P}(X_i=x_i)=1/2 avec x_i\in\{0,1\}

Posté par
noszerosre : Loi de Bernoulli 10-07-15 à 03:51

Bonjour,

Si tu veux une référence c'est fait dans le livre suivant:
"Hervé Queffélec, Claude Zuily - Analyse pour l'agrégation (4eme édition)" à la page 503-504. (Ça commence à partir de (*))

Bon, par contre les notations sont différentes de celles de ton problème donc ça peut avoir l'air un peu confus et l'auteur ne le fait pas en base 2 mais en base r quelconque. Malheureusement, je n'ai pas trouvé de référence plus simple. Désolé.

Posté par
DOMOREALoi de Bernoulli 10-07-15 à 15:04

bonjour,
Il me semble que l'idée de Prefaisceau du 07/07 à 00h:12 était bonne bien qu'il se soit contenté de X3.
En effet P(X_k=1)=P(\cup_{j=0,j, pair}^{2^k-1}[\frac{j}{2^k};\frac{j+1}{2^k}[)=2^{k-1}\times \frac{1}{2^k}=\frac{1}{2}
et P(X_k=0)=P(\cup_{j=1,j, impair}^{2^k-2}[\frac{j}{2^k};\frac{j+1}{2^k}[)=2^{k-1}\times \frac{1}{2^k}=\frac{1}{2}


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