Challenge n°147

Posté par puisea puisea

Bonjour, nouvelle énigme :

Théodor qui s'imagine que tout le monde complote derrière son dos, est en possession d'un lopin de terre à la forme triangulaire. Les longueurs des côtés de ce terrain sont toutes des nombres entiers de mètres, de même que les rayons respectifs de ses cercles inscrit et circonscrit.
Théodor, qui prend garde de chacun, nous a seulement confié que le rayon du cercle circonscrit à son terrain est égal à 169 mètres, que la distance entre les centres des cercles inscrit et circonscrit vaut 39 mètres, et que son terrain a une aire de 34 560 m².
Quel est le périmètre du terrain de Théodor ?


Bonne chance à tous !

@+

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Soit r le rayon du cercle inscrit et R celui du cercle circonscrit, et d la distance entre les deux centres de ces cercles .
La relation d'Euler donne R²-d²=2rR
R(R-2r) = d²
169 - 2r = 39²/169
r =1/2(169-39²/169) =1/2 (160)= 80 m
On sait aussi que rp = 2S, donc p = (2*34560)/80 =864
Le périmètre du terrain vaut donc 864 m..
Le triplets de côtés correspondant est (240,312,312).

Posté par manpower manpower

Bonjour,

Encore des subtilitées ou suis-je passé à côté de quelquechose... ?
Ce qui me surprend c'est la condition sur les côtés (nombres entiers de mètres) il me semble que nous n'en avons pas besoin !
Avec les notations classiques (O et R centre et rayon du cercle circonscrit et I et r centre et rayon du cercle inscrit),
la relation d'Euler s'écrit : d'où ,
il suffit alors d'enchaîner avec la formule de Héron où est le demi-périmètre.
Ainsi,le demi-périmètre vaut
Conclusion: Le périmètre vaut .

NB: Il existe en réalité une infinité de triangles vérifiant ces conditions (pour s'en convaincre on peut procéder à la construction "à l'envers". On part des deux cercles de centres distants de 39 m et on construit 3 tangentes au petit cercle qui se coupent deux à deux sur le grand cercle).
Le plus long a été de vérifier que le problème est possible, i.e. qu'il existe au moins une solution entière...
Il me semble qu'un champ ayant la forme d'un triangle (isocèle) de côtés mesurant 240m, 312m et 312m convient. ouf!

Merci pour l'énigme.

Posté par goupi1 (invité)

Bonjour
réponse :80 m

Posté par gloubi gloubi

Les côtés du terrain de Théodor valent 234 m, 312 m et 320 m.
D'où le périmètre: 866 m.

A+

Posté par borneo borneo

avec Heron, Euler et Al Kashi, je trouve que le périmètre du champ est égal à 864 mètres.
Où est le piège ?

Posté par Youpi Youpi

Le périmètre du terrain de Théodor est de
Le terrain est d'ailleur un triangle isocèle ayant deux côtés de 312m et un troisième de 240m
Le rayon de son cercle inscrit est de 80m.
En éspèrant ne pas me tromper....

Posté par philoux (invité)

Bonjour

Solution proposée : 864 m

Méthode :

Soit A,B,C les 3 points et a,b,c les longueurs des côtés opposés aux sommets homonymes,

Soit S la surface de ABC et p=(a+b+c)/2 son demi-périmètre,

Soit O,R le centre et le rayon du cercle circonscrit,

Soit I,r le centre et le rayon du cercle inscrit,

La formule d'Euler donne : OI²=R²-2Rr => r=(R²-OI²)/2R => r=80m

La formule de Héron donne : S=pr => Périmètre=2p=2S/r=2*34560/80 => périmètre=864m

Merci pour l'énigme,

Philoux

Nota : Ce qui m'étonne, et me laisse croire à un "poisson:, c'est que je n'ai pas exploité du tout le fait que les côtés étaient des nombres entiers.

Soit, je suis à côté de la plaque et n'ai rien saisi à l'énoncé (approximatifs, ces derniers temps ), soit je l'ai (peut-être) résolue d'une façon qui n'était pas celle attendue.

Il est vraie que "la formule d'Euler" connue est plus celle des complexes...

Posté par piepalm piepalm

La formule d'Euler OI²=R²-2rR permet de connaître le rayon r du cercle inscrit connaissant celui du cercle circonscrit R et le distance des centres OI: Ici r=80m
De plus la surface du triangle vaut S=rp où p est le demi-périmètre donc ici p=432m
Le périmètre du triangle vaut donc 864m

Posté par Pierre Carré (invité)

Bonsoir !

Le périmètre du terrain de Théodor mesure 864 m.

Au plaisir.

Posté par Dal (invité)

Soient a, b et c les longueurs des côtés du triangle.

Le rayon du cercle circonscrit R = 169 vaut a b c / 4 A, où A est l'aire du triangle, 34560. On obtient donc a b c = 169 x 4 x 34560. De plus, un côté peut mesurer, au plus, deux fois le rayon du cercle circonscrit, c'est-à-dire 338. On recherche donc trois entiers a b c dont le produit est 169 x 4 x 34560, et qui sont inférieurs ou égaux à 338.

On trouve alors six solutions. En calculant à chaque fois l'aire grâce à la formule où p est le demi-périmètre, on voit qu'une seule de ces solutions donne l'aire demandée : {a,b,c} = {240,312,312}.

Il reste alors à vérifier que la distance entre les centres des deux cercles est bien 39, ce qui est relativement facile.

Donc, le périmètre du terrain vaut 240 + 312 + 312 = 864 mètres

Posté par hervé (invité)

Sauf erreur, le périmètre du terrain est de 864 m.

A+

Posté par geo3 geo3

Bonjour
Le périmètre du terrain de Théodor est
Les cotés de son triangle qui est isocèle ont pour longueur 312, 312, 240
Je n'ose pas vous transmettre ma méthode de résolution car elle n'est pas trés orthodoxe.
A plus :  geo3  

Posté par goupi1 (invité)

Bonjour
Comme souvent, j'avais peu de temps pour résoudre devant souvent m'absenter de chez moi. N'ayant pas relu l'énoncé je m'aperçois que j'ai répondu hors sujet (rayon cercle inscrit) et comme souvent j'ai un poisson sur des sujets "faciles".  

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Comme j'ai droit à un poisson sur ce coup-là, je m'autorise une 2ème réponse.

Il fallait utiliser les formules donnant la surface d'un triangle en fonction:
1) des côtés et du rayon du cercle inscrit, d'une part
  S = r*(a+b+c)/2
2) des côtés et du rayon du cercle circonscrit, d'autre part.
  S = a*b*c/(4*R)

Le problème, c'est que r et R sont fonction de a,b,c.
Avec un peu d'informatique on trouve deux cas possibles (en supposant a>=b>=c):
a = 338, b = 270, c = 256
a = 312, b = 312, c = 240
Le premier cas ne convient pas car a = 338 suppose un côté sur le diamètre du cercle circonscrit (triangle rectangle, donc), or les valeurs de b et c placent le troisième point à l'extérieur de ce cercle.

Seule solution (après vérification, cette fois), le triangle isocèle en pièce-jointe, dont le périmètre mesure 864 mètres.

Une énigme intéressante, qui méritait bien ses 3 étoiles.
bravo, puisea!

A+

Posté par Rouliane Rouliane

le périmètre du terrain est de 862 m

Merci pour l'énigme

Posté par kyrandia (invité)

bonjour,

p désigne le demi-périmètre du triangle
S désigne la surface du triangle
R désigne le rayon du cercle circonscrit
r désigne le rayon du cercle inscrit
d distance entre le centre du cercle inscrit et le centre du cercle circonscrit

Bon je suis nul en géométrie mais j'ai trouvé sur le net deux formules

d²=R(R-2r) et pr=S

donc p=2RS/(R²-d²)
donc périmètre du triangle = 4RS/(R²-d²)=(4*169*34560)/(169²-39²)

périmètre du terrain de théodor = 864 m

Posté par franz franz

Le périmètre mesure

Posté par infophile infophile

Bonsoir

Posté par jacques1313 jacques1313


D'où abc=4AR=23362560 m³=2¹⁰×3³×5×13² m³.

J'aurais bien aimé connaître une formule qui implique la distance des centres des cercles inscrit et circonscrit mais je ne vois pas... Je verrai ça avec les autres solutions. Mais j'en ai déduit que, comme ces centres sont relativement proches l'un de l'autre par rapport aux dimensions de l'énoncé, les longueurs des côtés du triangles doivent être de même ordre.

Donc, en essayant de partager “équitablement” 23362560 en trois je trouve les dimensions d'un triangle isocèle : 240 m, 312 m, 312 m.
D'où un périmètre de 864 m.

Et on vérifie bien que , avec 2p=864 m

Posté par infophile infophile

J'ai oublié de multiplier par 2

Posté par caylus caylus

Bonsoir,

j'ai enfin retrouvé le théorème d'Euler
d²=R.(R-2r)=>39²=169.(169-2r)=>r=80 (m)

Comme p=S/r=2^8.3^3.5/2^4.5=2^4.3^3=432
=> périmètre=2p=2.432=864 (m)

Posté par vince909 vince909

Bonjour,

Je trouve que le périmètre du champ de l'ami Théodor est de 864 mètres.

En effet, ce champ est en fait un triangle isocèle ABC où AB = 240 mètres, BC = 312 mètres et AC = 312 mètres.

En considérant la hauteur HC issue de C, il se trouve qu'elle est aussi une médiatrice de [A,B] du fait que ABC isocèle avec BC = AC, et elle est également bissectrice de l'angle .

Il en découle que Cc et Ci, respectivement centre du cercle circonscrit et centre du cercle inscrit, sont donc sur HC, avec H milieu de AB.

Quelques calculs trigonométriques de plus nous donnent HC = 288 mètres, CCc = 169 mètres, et HCc = 119 mètres, ainsi que HCi = 80 mètres.

On a donc pour rayon de cercle circonscrit 169 mètres, pour rayon de cercle inscrit 80 mètres, et la distance CcCi = 39 mètres.

Ah, dernier point à vérifier... l'aire du champ est égale à soit 34 560 m²

Posté par puisea puisea

Merci à tous de votre participation à cette énigme.


Je cite manpower :
"Ce qui me surprend c'est la condition sur les côtés (nombres entiers de mètres) il me semble que nous n'en avons pas besoin !"

--> On essaye de vous embrouiller comme on peut...

Posté par borneo borneo

Avec les bonnes formules, c'était très rapide... j'ai fait le même calcul que Nofutur, ça prenait 5 minutes. Je ne connaissais pas ces formules avant cette énigme, leur simplicité est stupéfiante. Comment Heron a-t-il trouvé que S = r*p ? Je trouve ça carrément magique

Posté par goupi1 (invité)

Bonsoir,
J'ai utilisé les mêmes formules que Nofutur. C'est un peu rageant d'avoir un poisson sur un 3 étoiles (qui n'en méritait pas tant) que j'ai fait (juste) en 5 minutes mais je devais absolument partir et je n'ai pas eu le temps de relire l'énoncé d'où la réponse du rayon du cercle inscrit plutot que le périmètre. Si j'avais été en course pour la première place je serai arrivé en retard à mon "boulot"...