exo nombre complexe

Posté par jejeduweb (invité)

Bonsoir

énoncé:

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct (0;;)
A tout nombre complexe z non nul, on associe les points A,B,C d'affixes respectives: a=z ; b= conjugué de z (z barre); c= z² / z barre

1) On note r le module de z et un argument de z, déterminer en fonction de r et le module et l'argument de b et c.

2) Comment faut-il choisir z pour que les points A,B et C soit distincts deux à deux

On supposen que la condition du 2) est réalisée.

3) Montrer que les points A,B,C appartiennent à un même cercle de centre O puis que AB=AC
Le point A étant donné, indiquer une construction géométrique des points B et C, Justifier et réaliser cette construction

4) Determiner une mesure de l'angle ( vecteur CB , vecteur CA ). En déduire l'ensemble des points A tels que le triangle ABC soit équilatéral.
____________________

J'arrive pas à faire la 1) et la 2) , la 1) j'ai essayé plein de chose mais je trouve pas... la 2)  j'arrive pas à démarrer...

Et puis pour les deux autres question il doit faloir avoir déjà trouver les 2 premiére non?

je voulait montrer pour la 3) que les module OA=OB=OC mais sans les valeur trouvé plus haut ...

pareil pour le reste...

Merci d'avance de votre aide

Posté par jejeduweb (invité)

up

Posté par jejeduweb (invité)

up, juste un peu d'aide pour démarrer please

Posté par patrice rabiller patrice rabiller

Bonjour,

Pour la première question, il s'agit d'applications directes du cours :

si z=x+iy alors
On en déduit : donc . De plus .

D'autre part si z₁ et z₂ sont deux complexes, alors :
et
et .

Tous les résultats de la première question peuvent s'obtenir à l'aide de ces rappels de cours.
Mais est-ce bien le lieu ici pour écrire le cours ?

Posté par jejeduweb (invité)

Eu, oui excusez moi pour la première question, j'ai trouvé un peu aprés avoir posté en plus...

Mais pour la pour la question 2)je ne comprend pas je reste bloqué... Il faut bien que je trouve une solution de z pour que a dif de b dif c

Posté par J-P J-P

2)

z = x + iy

z(barre) = x - iy

z²/z(barre) = (x+iy)²/(x-iy)
z²/z(barre) = (x²-y²+2ixy)/(x-iy)
z²/z(barre) = (x²-y²+2ixy)(x+iy)/(x²+y²)
z²/z(barre) = (x³-xy²+2ix²y+ix²y-iy³-2xy²)/(x²+y²)
z²/z(barre) = (x³-3xy²+3ix²y-iy³)/(x²+y²)
z²/z(barre) = (x³-3xy²+i(3x²y-y³))/(x²+y²)
z²/z(barre) = [(x³-3xy²)/(x²+y²)]+i.[(3x²y-y³)/(x²+y²)]
---
a = x + iy
b = x - iy
c = [(x³-3xy²)/(x²+y²)]+i.[(3x²y-y³)/(x²+y²)]

Pour que a soit distinct de B, il faut que y soit différent de 0.
---
Pour que A soit différent de C, il faut que le système suivant n'ait pas de solutions réelles.

x = (x³-3xy²)/(x²+y²)
y = (3x²y-y³)/(x²+y²)


x(x²+y²) = x³-3xy²
y(x²+y²) = 3x²y-y³

x³ + xy² = x³-3xy²
x²y + y³ = 3x²y-y³

On sait que y est différent de 0 -->
x = -3x
2y² = 2x²

4x = 0
x² = y²

Comme y est différent de 0, par la 2ème équation, x aussi et donc la première équation n'est pas satisfaite.

--> avec y différent de 0, A est différent de B et de C.
---
Pour que B soit différent de C, il faut que le système suivant n'ait pas de solutions réelles.

x = (x³-3xy²)/(x²+y²)
-y = (3x²y-y³)/(x²+y²)

x(x²+y²) = x³-3xy²
-y(x²+y²) = 3x²y-y³

x³ + xy² = x³-3xy²
-x²y - y³ = 3x²y-y³

xy² = -3xy²
-x²y = 3x²y

Comme y est différent de 0 -->

4x = 0
4x² = 0

x = 0 est solution --> x = 0 est interdit pour que B soit différent de C.
---

De ce qui précéde, pour que les points A,B et C soit distincts deux à deux, il faut et il suffir que x et y soient tous 2 différents de 0.

Donc, il faut et il suffit que le point A ne soit ni sur l'axe des réels ni sur l'axe des imaginaires du repère.

Dit autrement, z doit avoir simultanément la partie réelle et la partie imaginaire différentes de 0.
-----
Sauf distraction.

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

2) Comment faut-il choisir z pour que les points A,B et C soit distincts deux à deux

C existe => z non nul

A=B =>z=z* => z réel

A=C => z=z²/z* => z*=z => z réel

B=C => z*=z²/z* => z*²-z²=(z*-z)(z*+z)=0 => z=z* ou z=-z* => z réel ou z imaginaire pur

donc A, B et C distincts => z non nul ET z non réel ET z non imaginaire pur

ou, autrement dit,

donc A, B et C distincts => A ne doit se situer sur les axes du repère

Vérifie...

Philoux

Posté par philoux (invité)

En passant par les modules

OA=|z|
OB=|z*|=|z|
OC=|z²/z*|=|z²|/|z*|=|z|²/|z|=|z|

OA=OB=0C => A,B et C sur le cercle de centre O

Philoux

Posté par philoux (invité)

AB = |z*-z|

AC = |z²/z* - z| = |z²-zz*|/|z*| = |z(z-z*)|/|z*| = |z||z-z*|/|z| = |z-z*|

=> AC=AB

On déduit que C est aussi sur le cercle de centre A passant par B

Donc pour contruire B et C à partir de A :

1) Tracer le cercle (C1) de centre O passant par A donné

2) B est ce cercle, symétrique de A par rapport à Ox

3) Tracer le cercle (C2) de centre A passant par B

4) l'intersection de (C1) et (C2) fournit C

si zA=i => zB=-i et zC=zB

Vérifie...

Philoux

Posté par philoux (invité)

4) Determiner une mesure de l'angle ( vecteur CB , vecteur CA ). En déduire l'ensemble des points A tels que le triangle ABC soit équilatéral.

zCB = z*-z²/z* = (z*+z)(z*-z)/z*

zCA = z-z²/z* = z(z*-z)/z*

arg(CB,CA) =arg(zCA/zCB) = arg(z/(z+z*))

z+z* étant réel = 2Re(z) => arg(CB,CA) = arg(z/(z+z*)) = arg(z)+kpi avec k=0 si Re(z)>0 et k=1 si Re(z)<0

ABC équilatéral => arg(CB,CA) = pi/3 ou -pi/3 => arg(z)=pi/3 (pi) ou -pi/3 (pi)

donc z doit avoir comme argument principal une des 4 valeurs :

pi/3; -pi/3 ; 2pi/3 ; -2pi/3

Vérifie...

Philoux

Posté par philoux (invité)

pour répondre à la question, l'ensemble des points A est la réunion des 2 droites y= (V3)x et y=-(V3)x (avec V=racine), l'origine exclue

Philoux

Posté par jejeduweb (invité)

Merci beaucoup!

Posté par philoux (invité)



Philoux

Posté par Sayonara25 Sayonara25

Bonjour, voilà j'ai le même exercice et je ne comprend pas votre réponse à la question 4, l'ensemble de point ! Pouvez vous m'éclairez un peu ? Merci d'avance.

PS : la question 4) est un peu différente : montrer que l'angle (CB,CA) a pour mesure théta ou théta+pi. En déduire l'ensemble (E) des points A tels que le triangle ABC soit équilatéral.