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Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)

   
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maths supComment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)

#msg412033 Posté le 19-01-06 à 14:52
Posté par ReuProf (invité)

Bonjour à tous,

Quelqu'un peu-il m'aider à résoudre ce problème?
"On suppose que (Un)n est une suite réelle de Cauchy.
On pose Vn = (U1+U2+........Un)/n.
Démontrer que Vn est de Cauchy."

j'ai commencé par écrire le définition de Un de Cauchy. Puis j'ai cherché une expression de valeur absolue de (Vp+r-Vp).
Et là, cela se gâte! Impossible de trouver quelque chose de cohérent qui permette de poursuivre la démonstration.

Merci par avance de votre réponse!
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg412468 Posté le 19-01-06 à 20:41
Posté par sanders (invité)

Tu es dans R ? As-tu utilisé le fait que dans R une suite de Cauchy est convergente (donc bornée) et réciproquement ?
réponse#msg412573 Posté le 19-01-06 à 21:55
Posté par papou_28 (invité)

Une suite de Cauchy dans R est-elle convergente ?
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg412578 Posté le 19-01-06 à 21:57
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Bonsoir papou_28

oui, en effet, toute suite de Cauchy réelle est convergente.

Kaiser
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg412623 Posté le 19-01-06 à 22:29
Posté par Profilotto otto

C'est justement comme celà que l'on défini R ...
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg412626 Posté le 19-01-06 à 22:34
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Oui, c'est exact otto.
Si je me souviens bien, c'est l'ensemble des suites de Cauchy de quotienté par la relation d'équivalence suivante : (u_{n})~(u_{n}) si et seulement si (u_{n}-v_{n}) tend vers 0.
Enfin, si je ne me trompe pas !!

Kaiser
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg412660 Posté le 19-01-06 à 23:13
Posté par Profilotto otto

En fait c'est le complété de Q.
On peut montrer que tout ensemble possède un complété unique à isomorphisme près.
Je crois que c'est fait dans "le Choquet"
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg412662 Posté le 19-01-06 à 23:21
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Je crois avoir une vague idée de ce qu'est le complété d'un ensemble mais pourrais-tu me donner une définition de cet ensemble, s'il te plaît ?

re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg412680 Posté le 20-01-06 à 00:18
Posté par Profilotto otto

Salut,
c'est le plus petit espace complet qui contient l'espace que tu te donnes.
En fait j'ai dit une "semi-bétise", je disais que tout espace possédait un complété, en fait lorsque l'on parle de complété on parle de suite de Cauchy et donc de distance (ou de diamètre), donc il faut que l'on étudie un espace métrique, sinon ca n'a pas de sens.

Dans les espaces métriques complets, les sous espaces fermés sont exactement les sous espaces complets.
Si tu veux savoir à quoi correspond un espace métrique, complet ou non, il faut essayer de voir ca comme un espace qui ne serait pas "fermé".

Par exemple, Q est fermé relativement à lui même, mais intuitivement, on voit qu'il y'a des suites que l'on considérerait comme convergente, et qui ne converge pas, et donc on aurait envie de dire que Q n'est pas fermé. Cependant ca n'a pas de sens, puisque Q est fermé. C'est ainsi que l'on crée cette notion de complétude. Notamment, dans un espace plus grand comme R, Q n'est plus fermé relativement à R, c'est donc bien que notre soupçon était fondé, il y'avait quelque chose qui n'allait pas avec Q.

Comme je l'annonçais, si on a X qui est complet, tout Y fermé de X est complet, et réciproquement, tout Y complet est fermé relativement à X.

En fait, la complétude est un genre de notion de "fermé intrinsèque".
Par exemple, si on défini Np sur l'ensemble X des fonctions continues par
N_p(f)=sqrt{\int_X |f|^p}[p]
Alors si p>=1 Np est une norme sur X, et X est il complet?
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg412681 Posté le 20-01-06 à 00:18
Posté par Profilotto otto

La racine bizarre que je viens de faire, est la racine p-ième, bizarre que ca ne soit pas passé.
A+
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg412682 Posté le 20-01-06 à 00:21
Posté par Profilotto otto

Aie aie aie, j'ai écrit plusieurs bétises, malgré une relecture:
L'intégrale est sur R, et il y'a certaines phrases mal construites ou un peu étranges.
Désolé.
A+
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg412687 Posté le 20-01-06 à 00:41
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Merci beaucoup otto pour ces précisions.
cependant, je me demande quelque chose (relativement au premier paragraphe de ton message de 00:18).

Un espace compet est-il nécessairement métrique ?
En effet, au début de l'année, j'avais fait en cours d'analayse fonctionnelle un peu de topologie générale et vu que la notion de convergence des suites a un sens dans les espaces topologiques séparés (qui ne sont pas forcément métriques).
Qu'en penses-tu ?
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg412689 Posté le 20-01-06 à 00:45
Posté par Profilotto otto

La convergence de suite n'est pas nécessairement fonction d'un espace métrique, mais plutôt d'un espace topologique.
Pour ce qui est de la complétude, on défini ca par une distance, mais c'est possible que ca puisse se généraliser, bien que je n'ai jamais vu ca, et que je ne vois pas trop comment.
Celà étant j'ai déjà entendu parler d'ensemble borné dans les espaces topologiques quelconque, même si je n'ai aucune idée de ce que c'est.
A+
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg413358 Posté le 21-01-06 à 01:05
Posté par minotaure (invité)

salut
juste pour en revenir a l'exo
une petite remarque si je ne me trompe pas :
ce qui se cache derriere la solution est le theoreme de Cesaro.

reste a l'utiliser ou a le demontrer...
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg414413 Posté le 22-01-06 à 05:21
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Refaisons donc la démonstration classique.

Soit (U_n)_n une suite convergente : U_n\to l
On pose : V_n=\frac{U_1+...+U_n}{n}
Montrons que V_n\to l, c'est-à-dire :
\fbox{\forall\vareps >0,\quad\exists N\in\mathbb{N},\quad \forall n\ge N,\quad |V_n-l|<\vareps}

Soit \vareps >0
|V_n-l|=|\frac{U_1+...+U_n}{n}-l|=|\frac{(U_1-l)+...+(U_n-l)}{n}|

Or il existe un N_1\ge 2 tel que \forall n\ge N_1,\quad |U_n-l|<\vareps /2
On suppose n\ge N_1.
|V_n-l|\le\frac{|U_1+...+U_{N_1-1}|}{n}+\frac{|U_{N_1}-l|+...+|U_n-l|}{n}
<\frac{|U_1+...+U_{N_1-1}|}{n}+\frac{n-N_1+1}{n}\frac{\vareps}{2}
\le \frac{|U_1+...+U_{N_1-1}|}{n}+\frac{\vareps}{2}

Or le numérateur de la première fraction ne dépend pas de n donc :
\lim_{n\to +\infty}\frac{|U_1+...+U_{N_1-1}|}{n}=0
Donc il existe N_2\in\mathbb{N} tel que \forall n\ge N_2 :
\frac{|U_1+...+U_{N_1-1}|}{n}<\vareps /2

On prend N=max(N_1,N_2). Pour tout n\ge N :
|V_n-l|<\frac{\vareps}{2}+\frac{\vareps}{2}=\vareps
CQFD

Sauf erreur.

Nicolas
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg414443 Posté le 22-01-06 à 10:03
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Quelques fautes de frappe.

Annule et remplace la démonstration précédente
Soit (U_n)_n une suite convergente : U_n\to l
On pose : V_n=\frac{U_1+...+U_n}{n}
Montrons que V_n\to l, c'est-à-dire :
\fbox{\forall\vareps >0,\quad\exists N\in\mathbb{N},\quad \forall n\ge N,\quad |V_n-l|<\vareps}

Soit \vareps >0
|V_n-l|=|\frac{U_1+...+U_n}{n}-l|=|\frac{(U_1-l)+...+(U_n-l)}{n}|

Or il existe un N_1\ge 2 tel que \forall n\ge N_1,\quad |U_n-l|<\vareps /2
On suppose n\ge N_1.
|V_n-l|\le\frac{|(U_1-l)+...+(U_{N_1-1}-l)|}{n}+\frac{|U_{N_1}-l|+...+|U_n-l|}{n}
<\frac{|(U_1-l)+...+(U_{N_1-1}-l)|}{n}+\frac{n-N_1+1}{n}\frac{\vareps}{2}
\le \frac{|(U_1-l)+...+(U_{N_1-1}-l)|}{n}+\frac{\vareps}{2}

Or le numérateur de la première fraction ne dépend pas de n donc :
\lim_{n\to +\infty}\frac{|(U_1-l)+...+(U_{N_1-1}-l)|}{n}=0
Donc il existe N_2\in\mathbb{N} tel que \forall n\ge N_2 :
\frac{|(U_1-l)+...+(U_{N_1-1}-l)|}{n}<\vareps /2

On prend N=\max(N_1,N_2). Pour tout n\ge N :
|V_n-l|<\frac{\vareps}{2}+\frac{\vareps}{2}=\vareps
CQFD

Sauf (nouvelle) erreur.

Nicolas
une question#msg3274354 Posté le 04-11-10 à 19:24
Posté par Profilndhnet ndhnet

stp Nicolas_75 comment démontrer que si (un) tend vers 0 alors (vn) tend vers 0
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg3274586 Posté le 04-11-10 à 20:50
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Il suffit de remplacer l par 0 dans ma démonstration.
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg3275686 Posté le 05-11-10 à 18:45
Posté par Profilndhnet ndhnet

en faite g un exo qui dit en 3éme question (a la suite de ce qui précède)
étudier la réciproque en prenant Un=(-1)a la puissance n
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg3275790 Posté le 05-11-10 à 19:36
Posté par Profilveleda veleda

bonsoir,
la réciproque est fausse
la suite de terme général un(-1)nn'est pas convergente alors que la suite (vn) qui lui est associée dans l'exercice converge vers 0
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg3281430 Posté le 07-11-10 à 18:45
Posté par Profilndhnet ndhnet

merci bcp vous m'avez vraiment aidé
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg3281438 Posté le 07-11-10 à 18:47
Posté par Profilveleda veleda

je t'en prie
bon courage
re : Comment démontrer qu une suite est de Cauchy? (MPSI, MP)#msg3390440 Posté le 02-01-11 à 19:03
Posté par ProfilNe_comprend_rien Ne_comprend_rien

Bonjour, au fait j'ai un peu de difficultés a comprendre toute la démonstration qu'a présenté Nicolas_75 .

1- Si il suffit de démontrer que |Vn-l|< (epsilon). pourquoi ne pas avoir utilisé que |Un-l|<(epsilon) pour quelque soit n de l'ensemble des entiers naturels. donc l'inégalité Vn < |(U1-l)+(U2-l)+...+(Un-l)|/n deviendras systématiquement Vn < |n(epsilon)|/n donc inférieure ou égale a epsilon. De plus je n'ai pas du tout saisi la partie dans la quelle tu as introduit le N>2. (Or il existe un N1>2 tel que ....)
2-Le fait de montrer que la suite Vn converge vers l est certainement suffisant a dire qu'elle est de Cauchy. Mais plus généralement comment utilise-t'on La définition (critère de Cauchy) pour démontrer que ce genre de suite est de cauchy?

merci de bien vouloir répondre , toutes mes excuses si il y a eu dérangement.

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