exo de dérivabilité

Posté par mat671 (invité)

Bonjour à tous,
j'ai un exo a faire, et je bloque sur 2 questions :
soit la fonction fn(x) définie par fn(x)=(1-x^2)^(n-1/2)

domaine de definition et de dérivabilité -> [-1,1]

la je bloque :
1/montrer que pour tout n de N, et x du domaine de derivabilité :
(1-x^2)*f'n(x)+(2n-1)*x*fn(x)=0
=> je pensais à une recurrence, mais j'y arrive pas

2/ montrere que
(1-x^2)*(fn(x)))(n-ième)+x*(fn(x))(n-1 ième) + (n^2-1)*(fn(x))(n-2 ième) =0

(n*ième, n-1 ieme et n-2 ieme correspond à la dérivée du rang).
=> je pensais à la formule d eleibniz, mais pareil,j'arrive pas au bon resultat.

je vous remercie d'avance pour votre aide

Posté par kaiser kaiser

bonjour mat671

Est-ce que ?

Kaiser

Posté par mat671 (invité)

bonjour, kaiser

non, ce n'est pas cela (effectivement mon écriture portait à confusion) ;
f_n(x) = (1-x²)^n-(1/2)

Posté par kaiser kaiser

Dans ce cas, l'ensemble de définition et de dérivabilité ne sont pas toujours [-1,1] quel que soit n.
Si n=0, la fonction est seulement définie et dérivable sur ]-1,1[.
pour tout n supérieur à 1, toutes les , sont définies sur [-1,1] et dérivables sur ]-1,1[.
Il faut donc regarder la dérivabilité en 1 et -1.
comme ces fonctions sont paires, il suffit d'étudier la dérivabilité en 1.
Soit donc n supérieur à 1.
Etudions le taux d'accroissement en 1.

on voit alors que ceci admet une limite finie si et seulement si n est supérieur à 2.
ainsi, est dérivable uniquement sur ]-1,1[ et pour tout n supérieur à 2, est dérivable sur [-1,1].

Posté par mat671 (invité)

merci pour ta réponse kaiser
j vais continuer d'essayer la recurrence et leibniz

Posté par kaiser kaiser

Pour la 1), la récurrence et Leibniz sont inutiles.
Tu peux calculer explicitement la dérivée.

Posté par kaiser kaiser

pour la 2), finalement je pense que l'utilisation de Leibniz est judicieuse (mais sans récurrence).

Posté par jiju33 (invité)

moi je pencherais plutôt pour dériver n fois l'égalité 1

Posté par kaiser kaiser

Bonsoir jiju33

Si je ne m'abuse, je crois que ça revient exactement à utiliser la formule de Leibniz, non ?

Kaiser

Posté par jiju33 (invité)

non j'ai rien dit oubliez lol

Posté par kaiser kaiser

Je me disais bien !

Posté par mat671 (invité)

merci, c'est bon, j'ai reussi ( fallait calculer la dérivé au rang n-1 avec leibniz).

encore 2 petites questions :
1/en remarquant que
f_n+1(x) = (1-x²)*f_n(x), montrer que :

f_n+1⁽ⁿ⁾ = ((2n+1)/(n+1))*((1-x²)f_n⁽ⁿ⁾(x)-nxf_n^(n-1)(x),

2/montrer que :
f_n^(n-1)(x)=(-1)ⁿ⁺¹* ((2n-1)!/(2^n-1*n!)) * sin(n*arccos x)

et enfin, resoudre f_n^(n-1)(x)=0 (inconnue x).

si vous voyez une methode pour ces questions, merci de m'en faire part

Posté par kaiser kaiser

Bonjour mat671

Pour la 1), la seule chose que je vois c'est d'utiliser Leibniz.
pour la 2), cette fois-ci, je te conseille de faire une récurrence double.
Pour résoudre cette équation, utilise l'expression avec sin(n*Arccos(x)).

Kaiser