groupe et matrice

Posté par hermanono (invité)

Voila j'ai un petit problème sur cet exercice :
énoncé :
pour tout y appartenant à , on pose Ay :

  [ 1+y²/2   -y²/2    y
     y²/2    1-y²/2    y
      y        -y        1 ]

et on note E={Ay/y}

Montrer que E, muni du produit matriciel, est un groupe abélien et que l'application fAy est un morphisme de groupes de (,+) dans (E,.)

J'ai une indication : (B,C)[M3()]² tel que : pour tout y, Ay= I3 + yB + y²/2 C.

Alors pour démontrer que c'est un groupe abélien :
je dois démontrer la commutativité
                  unifère associative
                  loi de composition interne
Mon problème réside essentiellement dans la démonstration de la loi de composition interne.

Et donc j'ai besoin d'aide!
merci d'avance

Posté par carrocel carrocel

SAlut !

En fait, t'as de la chance c'est pas complique !

Pour montrer que la loi de composition est interne, il faut monter que Ay.Ay' est de la forme Au où u s'exprime à l'aide des y et y'.
En fait, il suffit pour cela de t'aider de l'indication.
Ay=I3+yB+y²/2C ou B est la matrice (0  0   1
                                     0  0   1
                                     1  -1  0 ) et pour C je te laisse faire !
Ay'=I3+y'B+y'²/2C
par produit tu as donc :
Ay.Ay'=I3+y'B+y'²/2C+yB+yy'B²+yy'²/2BC+y²/2C+y²/2yCB+y²/2*y'²/2C²
Or qd tu calcules BC, CB (enfin inutile car ces matrices commutent) et C², tu trouves que ce sont les matrices nulles et
et que B²=C
Il te reste : Ay.Ay'=I3+y,B+yB+yy'C+y²/2C+y'²/2C=Ay+y' et voila !

A plus

Posté par hermanono (invité)

merci carrocel pour ta réponse,
j'ai compris ce que ta fait sauf un truc pourquoi t'as choisi B ainsi?

Posté par hermanono (invité)

c'est bon merci carrocel j'ai compris