exercice sur les matrices

Posté par gospeedmath (invité)

Voila Bonjour à tous!
J'ai beaucoup de mal à répondre à la 3ème question d'un exercice.
Voici rapidement l'énoncé:
Soit E un espace vectoriel sur des matrices carrées d'ordre 3 à coefficients dans . On note I la matrice identité de E.

Soit J la matrice suivante de E: J=  [[0 0 i]
                                                 [i 0 0]
                                                [0 1 0]]  
Soit F le sous espace de E engendré par la suite {I,J,J²}

Et donc la question qui me pose tant de problème :
On dit que deux matrices A et B commutent si et seulement si : A.B=B.A
Montrer que la matrice A de E commute avec toute matrice de F si et seulement si elle commute avec la matrice J.

Je dois dire que je ne vois pas du tout comment faire alors si quelqu'un avait quelque chose à me proposer se serait vraiment très sympa et ça m'aiderait beaucoup
                merci d'avance
  

Posté par kaiser kaiser

Bonjour gospeedmath

Indication : n'oublie pas que toute matrice s'écrit sous la forme où a,b et sont des complexes.
A partir de là, je te laisse continuer.

Kaiser

Posté par gospeedmath (invité)

merci kaiser j'ai réussi à le démontrer
Par contre j'aurai une petite question, comment dois je faire pour trouver la dimension de f.
(J'avais pensé à la méthode du pivot de Gauss mais je c'est pas si je peux l'utiliser pour les matrices)

Posté par kaiser kaiser

Pourquoi le pivot de Gauss ?
Je ne vois pas comment tu voudrais l'utiliser, mais en tous cas, saches qu'il y a beaucoup plus simple.
Tu sais que {I,J,J²} est une famille génératrice de F (par définition de F), donc la dimension de F est au plus égale à 3.
Il suffit de montrer que cette famille est libre (ce qui est vrai) et alors la dimenion sera égal à 3.

Posté par gospeedmath (invité)

OK MERCI BEAUCOUP KAISER

Posté par kaiser kaiser

Mais je t'en prie !