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TD : Formules d addition et de duplication (trigo)

Posté par lolo947 (invité) 23-01-06 à 16:02

Bonjour, dans le cadre d'un TD sur les formules d'addition et de duplication, j'ai à répondre à 3 questions. Pourriez-vous m'éclairer parce que là...voilà quoi !

1.
Déterminer les valeurs exactes de cos(\pi/8) et sin(\pi/8) (aide : Poser \frac{\pi}{4})

2.
a) Transformer cos(t-\frac{\pi}{4}))
b) Résoudre l'équation cost+sint=1

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 16:06

Bonjour,

Exprimer cos(x) en fonction de cos(2x), grâce à une formule du cours.
Puis prends x=pi/8

Nicolas

Posté par lolo947 (invité)re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 16:12

justement il est là le pb, je me doutais bien qu'il fallait que j'utilise la duplication, mais en posant \frac{\pi}{4} comme cela est demandé, je ne vois vraiment pas comment faire...

Posté par drioui (invité)re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 16:14

2*pi/8=pi/4
cospi/4)=cos(2*pi/8)

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 16:15

Je répète :
Exprimee cos(x) en fonction de cos(2x), grâce à une formule du cours.
Puis prends x=pi/8

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 16:16

Pardon : "exprime"

Posté par drioui (invité)re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 16:17

cos(2s)=2cos²x -1

Posté par drioui (invité)re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 16:17

pardon cos(2x)=2cos²x -1

Posté par drioui (invité)re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 16:20

cos(pi/4)= V2/2
cos(2pi/8)=V2/2
2cos²(pi/8) -1=V2/2
cos²(pi/8)= (1+V2/2)/2=(2+V2)/4

Posté par lolo947 (invité)re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 16:21

Donc si j'ai bien compris, ça donne :

cos(2\frac{\pi}{4})=cos^2\frac{\pi}{4}-sin^2\frac{\pi}{4}
cos(\frac{\pi}{8})=0

c'est pas possible lol

édit Océane : balise fermée

Posté par
lyonnais
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 16:30

salut

On reprend :

cos(2x) = 2cos²(x) - 1

Posons  x = \frac{\pi}{8}

On a alors :

cos(\frac{\pi}{4}) = 2cos^2(\frac{\pi}{8})-1

soit :

3$ \rm cos^2(\frac{\pi}{8}) = \frac{1+cos(\frac{\pi}{4})}{2}

3$ \rm cos^2(\frac{\pi}{8}) = \frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}

3$ \rm cos^2(\frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{2}+2}{4}

d'où :

3$ \rm cos(\frac{\pi}{8}) = \frac{\sqrt{\sqrt{2}+2}}{2}   car  cos(\frac{\pi}{8}) \ge 0  (cf le cercle trigo )

A+
romain

Posté par
lyonnais
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 16:35

Merci Océane

Posté par
lyonnais
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 16:42

>> lolo947 :

Tu comprends ?

Posté par lolo947 (invité)re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 16:46

oui je crois que j'ai compris
mais en fait je n'avais pas du tout cette formule là pour la duplication...
mais maintenant je pense que c'est bon

et donc pour le sinus, j'utilise
sin(2a)=2sin(a)cos(a) ?


Posté par
lyonnais
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 16:54

En ce qui concerne la formule, c'est parce qu'on peut la remodeler ...

cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)

De là, on peut sortir 2 formules puisque cos²(x) + sin²(x) = 1

cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)
cos(2x) = cos²(x) - (1 - cos²(x))
cos(2x) = 2cos²(x) - 1

ou

cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)
cos(2x) = (1-sin²(x)) - sin²(x)
cos(2x) = 1 - 2sin²(x)

Sinon oui, pour le sinus, il faut appliquer la formule :

sin(2x) = 2cos(x)sin(x)

Voila voila

A+
romain

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 17:02

lolo947, ta première ligne de 16h21 est bonne.
La seconde est fausse :
2\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2} et non \frac{\pi}{8}

Posté par lolo947 (invité)re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 17:03

d'accord, bon ba ça j'ai compris
je trouve sin\pi/8=\frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{\sqrt{2}+2}
d'après la calculatrice c'est bon.

Je passe maintenant à la question suivante :

Transformer cos(t-\frac{\pi}{4}

On sait que cos(a-b)=cosacosb+sinasinb
donc cosb=sinb=rac(2)/2
c'est le facteur commun
et on obtient
\frac{\sqrt{2}}{2}(cost+sint)

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 17:06

Présente le résultat de sin(pi/8) sans racine au dénominateur.

Posté par lolo947 (invité)re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 17:06

par contre pour la dernière

résoudre l'équation sint+cost=1

cost+sint=1
cos²t+sin²t=1
cos(2t)=1

mais en fait je sais pas...

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 17:08

On trouve :
\sin\frac{\pi}{8}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

Posté par
lyonnais
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 17:10

Attention :

"
cost+sint=1
cos²t+sin²t=1
cos(2t)=1

"

C'est bouré de fautes ...

cos(t) + sin(t) = 1  ok

Mais (cos(t)+sin(t))² cos²(t) + sin²(t)

et n'oubli pas aussi que : cos(2x) = cos²(x) - sin²(x)  

Reprenons :

cos(t) + sin(t) = 1
(cos(t)+sin(t))² = 1
...

je te laisse finir



Posté par lolo947 (invité)re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 17:11

ah oui, on aime pas les racines au dénominateurs, alors tu as multiplié le numérateur par la racine du dénominateur...un - est apparu, je sais pas comment mais bon...admettons...lol nan tu pourrais m'expliquer stp parce que les racines et moi ça fait 2

Posté par lolo947 (invité)re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 17:17

jobtiens alors

cos(t)+sin(t)=1
(cos(t)+sin(t))²=1
cos(t)²+2cos(t)sin(t)+sin(t)²=1
cos(t)²+sin(t)²+sin(2t)=1
1+sin(2t)=1
sin(2t)=0
t=0

et on a bien cos(0)+sin(0)=1

c'est juste ?

Posté par
lyonnais
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 17:20

Presque

Mais tu oublis des solutions :

sin(2t) = 0
2cos(t)sin(t) = 0

d'où :

cos(t) = 0    t = pi/2 [pi]
sin(t) = 0    t = 0 [pi]

D'accord ?


Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 17:27

"ah oui, on aime pas les racines au dénominateurs, alors tu as multiplié le numérateur par la racine du dénominateur...un - est apparu, je sais pas comment mais bon...admettons...lol nan tu pourrais m'expliquer stp parce que les racines et moi ça fait 2"

Je t'avoue ne pas trop apprécier ton ton.

\sin\frac{\pi}{8}=|\sin\frac{\pi}{8}|=\sqrt{1-\cos^2\frac{\pi}{8}}
=\sqrt{1-\frac{2+\sqrt{2}}{4}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

Posté par lolo947 (invité)re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 17:30

ah ba oui...
je sais pas comment te remercie...

bon ba je vais pas réouvrir un post
j'ai toute une série d'exo, mais je n'y arrive pas trop
j'ai vraiment du mal avec la trigo

donc j'en ai un, où je dois donner, à l'aide de la calculatrice, une valeur approchée à 0,001 près des réels x de I solution de l'équation proposée

alors juste le premier
je me débrouillerai avec le reste
j'ai juste besoin de la méthode

I=[0;\pi]
cosx=0,2
cosx=-0,7

Posté par lolo947 (invité)re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 17:32

dsl Nicolas_75
c'était pas du tout dit méchamment, mais bon, j'avoue qu'en relisant, on peut le prendre comme ça...jsuis désolé.
merci pr l'explication

Posté par
lyonnais
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 17:36

Je suis d'accord avec toi Nicolas_75 ( bonjour d'ailleurs )

>> lolo947 :

cos(x) = 0,2

Tu tappes à la calculatrice cos(x)-0,2

Tu te met en radian et tu cherches un encadrement de x dans tableur ...

Ici par exemple :

Ici par exemple, x (en radian) est compris entre 1,3 et 1,4  (sauf erreur)

je te laisse affiner l'encadrement !

A+

Posté par
lyonnais
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 17:39

ok d'accord, alors eXcuse moi lolo947

Tu comprends la méthode ?

Posté par lolo947 (invité)re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 17:41

ils se sont montés contre moi...
lol

merci beaucoup à tous pour votre aide
dsl Nicolas_75 encore une fois
et à bientôt !

Posté par lolo947 (invité)re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 17:41

oui oui méthode comprise pour tout ce que vous m'avez expliquer !
c'est super !!

Posté par
lyonnais
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 23-01-06 à 17:44

ok heureux d'avoir pu t'aider

A+
romain

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 24-01-06 à 02:56

Moi aussi.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : TD : Formules d addition et de duplication (trigo) 24-01-06 à 02:58

et avec du retard, bonjour lyonnais !

Posté par perrine (invité)formule duplication 13-03-07 à 16:15

salut je n'arrive pas à démontrer une formule. Pouvez vous m'aider car je dois rendre mon dm pour jeudi et je ne comprend pas.
Merce d'avance. voici l'énoncé:
1/ 8sin(x)xcos(x)xcos^2(x)xcos(4x) = sin(8x)
2/ démontrez que sin (8pi/7)= -sin(pi/7)
3/ déduisez-en que
                     cos(pi/7)cos(2pi/7)cos(4pi/7) = -1/8
4/ démontrez de la même manère que
cos(pi/9)cos(2pi/9)cos(4pi/9) = 1/8



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