Challenge n°154

Posté par Dal (invité)

En fait, a priori, ça peut être pair ou impair. Tout dépend de ce qui se passe quand on repart vers la droite (en supposant qu'on commence avec un rayon allant de la droite vers la gauche).

Première solution pour repartir vers la droite : le rayon arrive perpendiculairement à un miroir à un moment donné. Dans ce cas, on aura un nombre impair de réflexions. Par exemple :
- le rayon arrive de la droite et se réfléchit sur le miroir du dessus (1 réflexion)
- il se dirige vers le miroir du bas et se réfléchit à nouveau (2 réflexions)
- il arrive perpendiculairement sur le miroir du dessus (3 réflexions); il rebrousse chemin en suivant la même trajectoire que lorsqu'il est arrivé
- il se réfléchit sur le moiroir du bas (4 réflexions)
- il se réfléchit sur le miroir du haut et repart d'où est il est venu (5 réflexions, un nombre impair)

Dans ce cas, le dessin de la trajectoire forme un "éclair" et les trajets à l'aller (de la droite vers la gauche) et au retour (de la gauche vers la droite) sont confondus.

Mais ce n'est pas la seule configuration possible :

Seconde solution pour repartir vers la droite : le rayon est vertical à un moment donné. Dans ce cas, on a un nombre pair de réflexions. Par exemple:
- le rayon arrive de la droite et se réfléchit sur le miroir du dessus (1 réflexion)
- il se dirige vers le miroir du bas et se réfléchit à nouveau (2 réflexions); supposons qu'il est maintenant vertical
- il arrive verticalement sur le miroir du haut; il se réfléchit alors pour suivre un trajet symétrique (par rapport à l'axe central passant entre les miroirs) de celui qui l'a amené là (3 réflexions)
- il continue son chemin jusqu'à atteindre le miroir du bas et se réfléchit (4 réflexions) puis sort, mais pas dans la direction d'où il provient (en fait, dans une direction symétrique par rapport à l'axe central).

Dans ce cas, le dessin de la trajectoire forme un symbole similaire à

|\ /\ /
|/ \/ \

où l'aller et le retour ne sont pas confondus mais sont symétriques par rapport à l'axe central et se croisent.

Posté par Youpi Youpi

Je suis d'accord Dal, il ya bien les deux possibilités et j'avais bien observé ces deux cas de figure.
La question est plutôt de savoir si 121 est une solution valide, car alors elle est meilleur que 120.

Posté par philoux (invité)

Tout revient donc à savoir si le rayon reprend, au retour, le chemin inverse de ce celui qu'il a emprunté => nombre impair de réflexions

si il prend un chemin symétrique, nombre pair de réflexions

A lire Dal et piepalm, ce semble être le second cas....

Quel suspens !

Philoux

Posté par Youpi Youpi

La tension est à son comble .... c'est intenable !

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Pour répondre aux détracteurs de la solution « 120 », je préciserai qu'à mon sens, il est impossible que la réflexion du premier et du dernier impact de lumière se fasse pile sur l'arête du miroir. Cette réflexion ne peut se faire qu'à l'intérieur du miroir. De plus, il n'y a pas impérativement de symétrie entre le premier et le dernier miroir, donc pas obligatoirement d'impact perpendiculaire.
Pour illustrer mon propos, voila un exemple avec des angles de 30° entre miroirs ; le droite D1 convient ,(nombre d'angles élémentaires = nombre de miroirs impactés= 4), alors que la droite D2 ne convient pas (nb d'angles élémentaires = nb de miroirs impactés -1).
La réponse est donc bien 120.

Posté par Youpi Youpi

il est impossible que la réflexion du premier et du dernier impact de lumière se fasse pile sur l'arête du miroir

Alors c'est de là que viens le litige car pour moi effectivement j'ai pris en compte les reflexions sur le extrémités (et je ne vois pas pourquoi on ne pourrait pas), et en attaquant le premier miroir pile sur l'arrête avec un angle d'incidence de 60° on arrive pile sur l'arrête opposée à la 61ème reflexion.
La solution "121" correspond à ce cas qui est en fait la limite infranchissable, reste à déterminer si cette limite est incluse où exclue des cas possibles.

Donc à puiséa de decider si la reflexion sur les extrémités du miroir, tel que l'on peux voir dans l'exemple de Philoux (15:19) est valide ou non !
Je respecterai quoiqu'il arrive la decision final mais je suis un peu deçue tout de même de prendre un poissson sur ce coup là.

De plus, il n'y a pas impérativement de symétrie entre le premier et le dernier miroir, donc pas obligatoirement d'impact perpendiculaire.

Oui mais ici c'est pourtant le cas car la reflexion n°61 a un angle d'incidence de 0°

Posté par goupi1 (invité)

Resalut à tous
Chacun défend son "bifteck" bec et ongle.
Mon dernier raisonnement sur la symétrie n'est pas forcément juste car si le rayon arrive perpendiculairement et repart en sens inverse il n'y a pas de symétrie. Comme Nofutur j'ai tendance à dire qu'il est impossible que la réflexion du premier et du dernier impact de lumière se fasse pile sur l'arête du miroir (entrée1 = OUI; entrée2 = NON du dessin joint). En entrant et sortant comme sur "l'entrée1" on a 119 réflexions. Si donc l'on considère "l'entrée2" impossible alors on décale légèrement l'entrée du rayon comme l'a fait Nofutur sur son dernier schéma de 16h50 pour trouver au plus 120 réflexions.

Posté par jacques1313 jacques1313

Voilà une discussion intéressante... sur la notion de miroir physique et miroir mathématique...

Posté par Youpi Youpi

Moi je pense qu'au vu du débat tous ceux qui on dit 120 et 121 devraient avoir un smiley !
Meuuh non je dis pas ça parce que ça m'arrange !

Posté par philoux (invité)

Pas d'accord avec toi, Youpi : il ne peut y avoir qu'une seule solution selon la modélisation du miroir, comme le dit très justement jacques1313

soit on considère que le miroir comprend ses extrémités et permet la réflexion sur ses extrémités => ...

soit il ne le permet pas => ;..

difficile, sur une question comme celle-ci, d'être autrement que binaire...

Philoux

Posté par master_och master_och

Salut
Mettons nous d'abord daccord sur ce point:
Si on pourra trouver un rayon lumineux tangent au petit cercle et qui coupe le grand cercle en deux extrémités de miroires on aura alors le nombre maximal de miroires coupés par un rayon qui est égale au nombre de reflexions maximal.
Pour obtenir ce rayon il suffit de le construire perpendiculaire à l'un des miroirs à son extrémité I de tel façon qu'il soit tangent au petit cercle en I représentée sur le schema.
Ce rayon coupe le grand cercle en 2 points A et B tel que IÔB=IÔA=60° (cos(IÔB)=cos(OÎA)=R/2R=1/2).
C'est un nombre entier de degrés donc les points A et B sont 2 extrémités de miroires.
Et donc avec ce schéma il est trés claire qu'il y a 121 miroires.Donc le nombre de reflexions maximal est 121.

Petite remarque:
On peut trouver 120 à l'aide d'un autre schema mais puisque on cherche le nombre maximal alors il faut utiliser le schema qui donne le plus de reflexions possibles.Donc il y a une unique solution qui repond à l'enigme c'est 121.    

      
          

Posté par puisea puisea

Bonsoir, je vais enfin m'exprimer à ce sujet. La question est en délibérée au conseil des sages actuellement. Il est vrai que les divergences à une unité près autour de 120 amènent à des difficultés sur la meilleure manière de corriger le problème. Initialement j'étais partant pour 120 réflexions mais à la suite du débat qui suit cette énigme j'ai remis en suspens la réponse sur le forum privé. La réponse finale devrait venir d'ici peu, et peut-être plus rapidement si vous continuez à opposez vos points de vue, ce qui personnellement m'aide dans ma vision de voir la correction du problème. Voila pour l'instant.

Posté par vince909 vince909

Bonsoir,
Moi je vais juste intervenir pour remercier ceux qui ont défendu le résultat à 121 réflexions toute la journée, à commencer par Youpi qui a utilisé une méthode un peu similaire à la mienne. Moi mes calculs m'ont fait déterminer qu'après une réflexion perpendiculaire à l'un des miroirs réalisée au bout de ce dernier, on peut faire tenir 60 rebonds de l'un à l'autre, et que ça tient de justesse, mais ça tient... Bon 60 aller, 1 rebond perpendiculaire et 60 retour, voilà mes 121. Cela n'ajoute rien aux arguments déjà présentés par les uns et les autres, que je remercie encore une fois quelque soit la décision du conseil des sages.
Au passage, merci aussi à puisea de remettre le résultat en balance bien qu'il ait déjà été validé.
Bonne soirée à toutes et tous !

Posté par Youpi Youpi

Je n'aimerais pas être à la place des membres du conseil des sages ce soir car la solution n'est pas facile à trancher.
Celui qui à le mieux exprimer le problème est a mon avis jacques1313 lorsqu'il parle de miroir physique et miroir mathématique.
Finalement cela revient à se demander si la partie reflechissante du miroir doit-être modélisée par un segment ouvert ou fermé.
Pour ma part j'ai trouvé interessant de pouvoir en débattre amicalement après la clôture de l'énigme et en sort donc satisfaite quelque soit la décision du conseil des sages.

Et bonne chance à tous les participants pour le mois à venir !

Posté par Torpedo (invité)

Salut,

Juste un petit post pour defendre la solution a 121

Sur mon schema (voir plus haut) j'ai represente un rayon en jaune qui totalise 120 reflexions (la reponse donnee par la plupart des participants) et un rayon rouge qui en totalise 121 (a mon avis). Cette derniere solution suppose evidemment que l'on va avoir une reflexion sur les extremites (en fait, sur les extremites de chaque cotes). Sans cela, on tombe a 119 = 121-2 reflexions... Je suis d'accord pour dire que c'est un cas "idealise" mais c'est un site de mathematiques, n'est-ce-pas ?

J'ai dessine deux rayons sur mon schema car en fait j'etais sur le point de poster 120 et au dernier moment j ai pense a la solution a 121, j ai vite fait rajoute le rayon rouge sur mon schema ! Une reponse postee est une reponse postee, et je maintiens mes 121 !

Quoi qu'il en soit pas question pour moi de polimiquer : je m'en remets entierement a la decision du conseil des sages ! J'ai decouvert ce forum d'enigmes il y a peu de temps, et je trouve que c'est une tres bonne idee, c'est pour cela que j'ai commence a y particper ! Je sais de plus que j aurai d'autres poissons alors autant s'habituer au plus tot !!

A++

Posté par jacques1313 jacques1313

Il y a peut-être une autre considération d'ordre quantique à prendre en considération. En effet, on parle de rayon lumineux, et donc de photos...
Je ne suis pas expert en la matière mais ça doit être la propriété corpusculaire du photon qui intervient donc il conviendrait qu'un sage physicien nous éclaire sur les dimensions du corpuscule, ou s'il y a un sens d'en parler... au niveau ponctuel.

Posté par Youpi Youpi

A ce niveau là l'enigme mérite au moins 5 étoiles !

Posté par Tom_Pascal Tom_Pascal

Quelqu'un connait-il un physicien assez calé dans son entourage ?
_{(petit message de détresse de la part d'un webmaster physicien qui lui n'est franchement pas calé )}

Posté par Pierre Carré (invité)

Bonsoir à tous et à Tom_Pascal en particulier !

Soyons raisonnables ! Un physicien ne nous éclairera pas plus que tous ceux qui se sont déjà exprimés à propos de ce problème : un miroir parfait n'existe pas, un rayon lumineux n'existe pas, ... Un problème mathématique tend à modéliser le concret en l'idéalisant.

Il me semble qu'à défaut de savoir si le segment qui symbolise un miroir plan est ouvert ou fermé, il serait plus juste d'accepter les deux réponses : 120 et 121. D'autant plus que toutes les deux sont issues de raisonnements similaires.

Au plaisir.

Posté par master_och master_och

Voici la méthode que j'ai utilisé pour resoudre l'énigme:
En remarquant que l'angle incident diminue d'un degré à chaque fois qu'il se refléte vers le haut(et puisque plus un rayon incident soit petit plus les distances an et bn représentés sur le schéma sont petits et par suite le nombre de reflexion sera plus important)j'ai supposé que le rayon rencontrera l'extrémité haut d'un miroir suivant la perpendiculaire à ce dernier(le miroire)car dans ce cas l'angle incident est de 0° qui est l'angle d'incidence minimal avec cette extrémité du muroir et qui impliquera des angles d'incidence minimals et biensure donc le nbre de reflexions maximales.
Les distances X et 2X données à l'enoncer m'ont servit à deduir(à l'aide du theoreme de thales)que la longueur L d'un miroire est égale à la distance separant l'extrémité superieur d'un miroir et la sommet du grand triangle représenté par la figure.
Maintenant ce qui me reste à faire est de calculer les distances an et bn en fonction de L une par une et lorsque sa=a1+a2+..+an > L(1)on arrête le calcul(ou lorsque sb=b1+b2+...+bn > L)(2)
Si ce sera le 1er cas le nbre de reflexions=4*n-3
Si c'est le 2eme cas le nbre de reflexions =4*n-1
(en sachant biensure que le rayon aprés avoir toucher l'extremité haut du miroir rebrousse chemin en faisant le même chemin qu'il a suivit en montant).
le problème maintenant et de trouver une méthode pour calculer les distances an et bn.
pour résoudre ce probléme j'ai utiliser 6 suites réelles dependantes les unes des autres ces suites sont an,bn,a'n,b'n,cn et dn chaque suite représente un ensemble de ditances qui nous permet de deduire les valeurs des autres suites(voir figure).
J'ai definit alors chaque suite à part et j'ai laisser le calcul(un peu long et compliqué)à un programme que j'ai fait en turbo pascal.
Je vous donne la definition de chaque suite(je laisse la demonstration de chaque definition de suite à vous(ce serait pas trés compliquée) car ce serait trés long et inutile de faire chaque demontration à part):

a1=L.(1-sin(89))/sin(89)  ;   b'1=L/tg(89)
b1=b'1/tg(88)   ;   a'1=(L+a1)/tg(89)
c0=0   ;   d1=sin(1).a'1/cos(2)

b'n= b'1.(L+(b1+...+b[n-1]))/L n>1
cn=sin(2n).b'[n+1]/cos(2n+1) n>0
an=(b[n-1]/cos(1))-c[n-2]+c[n-1] n>1
a'n=a'1.(L+(a1+...+an))/(L+a1) n>1
dn=sin(2n-1).a'n/cos(2n) n>1
bn=(an/cos(1))-d[n-1]+d[n] n>1

J'ai donné ce calcul au programme en remplaçant L par une valeur quelconque(puisque le nombre de reflexions ne depend ni de X ni de L et pour être rassuré j'ai remplacé L par beaucoup de valeurs différentes qui m'ont donné tous le même resultat).
Mon programme a donc bien fonctionné,  il arrété le calcul lorsqu'il a trouver sb=1000,0000001 pour une valeur de L=1000(que j'ai donné au hazard)
et il a trouver n=30.c'est pour ca que j'ai trouvé un nbre de reflexions=30*4-1=119.
Puis j'ai remarqué qu'à chaque fois que je remplace L par une nouvelle valeur je trouve sbL donc j'ai deduit que ma faute était à cause des calcul imprécis et qu'en effet pour n=30 sb=L ce qui signifie que n=31 et qu'on ait dans le cas(1) c.a.d nbre de reflexions maximal=31*4-3=121     
  

Posté par goupi1 (invité)

Salut à tous,
maintenant, pour moi la réponse ne peut-être que 120 (et je ne défends pas ma "paroisse"). Comme l'a dit Nofutur, le rayon ne peut entrer, se réfléchir à mi-parcours (point encore jamais évoqué dans la dicussion) et sortir sur le point extrême d'un miroir car un point mathématique n'a pas d'épaisseur.

Posté par master_och master_och

Salut
Ma réponse à goupi et nofutur est la suivante:
On est entrain de chercher le nbre maximal de reflexions théoriquement,donc on ne peut pas exclure le cas ou le rayon touche l'extrémité du miroire.
D'autre part même si on procéde avec une méthode pratique comme vous l'avez faîtes vous dites qu'on peut pas être assez précis pour arriver à toucher l'extrémité du miroire par le rayon, moi je dirai dans ce cas qu'on pouura pas aussi être assez précis pour arriver à placer les deux miroires d'une telle précision que l'angle entre eux soit 1° exactement et on pourra pas aussi les placer tel que la distance entre les 2 extrémité bas soit X et celle entre les 2 autres extrémités soit 2X exactement.
Et je peut même allez plus loin et dire qu'on peut pas avoir 2 miroires identiques.
C'est pour cette raison que je trouve que votre argument
n'est pas convaincant du tout car l'étude qu'on ait entrain de faire est une étude mathématique précise.  
  

Posté par philoux (invité)

et toc...

la parole est à la défense...

Philoux

Posté par Perleflamme (invité)

  Comme le dit très exactement Philoux : le terme de réflexion s'applique autant, dans le sens commun, au rayon réfléchi (pas au rayon incident) qu'au phénomène appliqué en son centre de réflexion.

  Dans le premier cas, on ne peut compter le premier rayon, avant qu'il ne touche le miroir (rayon qui n'est qu'incident et non réfléchi). Or, la symétrie oblige, lors du retour, l'existence d'un rayon supplémentaire vertical, ce qui indique que le nombre de réflexion serait PAIR. En l'absence de symétrie, il faut convenir que le nombre de rayons serait donc IMPAIR. Ici, deux possibilités s'imposent encore.

  Dans le second cas, en parlant de la réflexion comme d'un phénomène, selon la symétrie ou l'asymétrie, il faut comprendre que la parité sera de la même manière affectée (PAIR pour la symétrie et IMPAIR pour l'asymétrie).

  En conséquence, les données permettaient de déterminer plusieurs solutions. S'il fallait poser ce problème sous son angle pratique, le cas de l'asymétrie (toujours vérifiée dans la pratique) devrait être privilégié dans les calculs. En restant dans le domaine abstrait des mathématiques, on peut extrapoler la solution à la possibilité de la symétrie. Cet exercice vous sera donc utile pour savoir si vous êtes plus à même à répondre à des problèmes d'ordre pratique ou abstrait.

Posté par puisea puisea

Bonjour,

Aux vues du débat qui a suivis l'énigme, ce qui a été très intéressant et très bien mené, le conseil des sages et moi même avons optés pour accepter les réponses 120 et 121 du fait que comme le dit Perleflamme, les données permettaient d'aboutir à plusieurs résultats selon la manière dont on considérait les extrémités du miroir. Ce fut une très belle énigme pour laquelle, une fois encore, je vous remercie pour votre participation.

Posté par kiko21 kiko21

Je fais partie de ceux qui pensaient que le modèle symétrique permettait d'obtenir un maximun de réflexion soit 120. Ce modèle était obtenu avec un angle incident de 59,5° (angle par rapport à la normale du miroir à ne pas confondre avec l'angle par rapport à la perpendiculaire de l'entraxe des 2 miroirs qui serait dans ce cas de 60°).
Après avoir lu toutes vos remarques, j'ai redessiné un second modèle symétrique dans le temps tel que le trajet retour soit le même que le trajet aller. Tous les points de réflexion sont doublés sauf pour le demi-tour qui s'opère sur un seul point au lieu de deux avec un angle d'incidence de 0°. On pourrait alors penser qu'il n'y a plus que 119 réflexions ( 120 - 1 ) à cause du demi-tour en 1 point au lieu de deux.
Eh bien non... Le demi tour s'opère sur le même miroir qui reçoit la première rélexion d'où un nombre total de réflexions égale 1 + (n x 4), 4 étant le nombre de réflexions aller et retour pour revenir sur le même miroir. Et 118 n'est pas un multiple de 4 !
CONCLUSION : 121 réflexions
Vérifié graphiquement en DAO
Rq1 : angle incident 60°
Rq2 : ici, les deux extrèmités d'un miroir sont des points de réflexion
(C'est peut-être là que tout le monde n'est pas d'accord...)
On peut changer d'avis... non ??
En tout cas, c'est beau la passion. Super !!

Posté par kiko21 kiko21

le dessin :

Posté par savoie (invité)

Bonjour,

Voici une petite contribution à ce débat, pour que ceux qui prônent les solutions à 199, 120 ou 121 s'y retrouvent.

Tout d'abord j'étais bien incapable de répondre à cette énigme : je me suis donc abstenu… Et j'ai admiré votre passion pour défendre telle ou telle solution. Je voudrais ensuite adresser mes félécitations à Nofutur pour sa solution admirable : tout paraît si simple ensuite. Mais j'ai cru y déceler une petite imperfection.

Reprenons la « roue de bicyclette » présentée par Nofutur : 1ère réponse donnée au problème. Il considère que la solution optimale est celle où le rayon lumineux tangente le cercle intérieur de rayon x. Donc : « L'angle au centre de l'arc AB est égal à 2*arcos(R/2R)=2*60=120° ».

Jusque là tout va bien.
- 120 ° : cela fait 120 intervalles donc 120 miroirs touchés si le point A (considérons le rayon dans le sens AB) l'est pas un miroir. Solution 120 réflexions : OK.
- 120 ° : si le point A est un miroir, alors B l'est aussi. J'ai lu vos cogitations sur les miroirs mathématiques ou physiques. On peut dire surtout que cela fait : 121 réflexions si les points A et B sont des points réfléchissants, 119 réflexions si les points A et B ne sont pas réfléchissants. Donc la solution 121 convient aussi.

Regardons de plus près cette dernière solution : puisqu'il y a 120 intervalles (et 119 ou 121 réflexions), le rayon lumineux touche donc l'extrémité du petit cercle de la bicyclette au point C, situé exactement au milieu de AB. Cette solution remarquable est donc celle proposée par ceux qui considèrent que la solution optimale est celle ou le rayon fait l'aller-retour par la même trajectoire !

Maintenant voici la petite imperfection dans la solution de Nofutur : est-ce que la solution présentée est optimale ? Lorsque l'angle au centre AB est plus petit que 120°, il est clair que il ne pourra pas y avoir plus de 120 réflexions. Par contre il y a des solutions où l'angle au centre est supérieur à 120° ! Se sont toutes celles où le rayon lumineux n'est pas tangent au petit cercle (de rayon x), mais le coupe en deux points rapprochés C et D … qui forment un angle au centre inférieur à 1°. C'est d'ailleurs dans ce cas de figure que l'on retrouve ceux qui ont prôné une solution symétrique, pour laquelle le rayon lumineux touchent les extrémités (intérieure) des 2 miroirs !

La question à laquelle n'a pas répondu Nofutur dans sa démonstration est : y-a-t-il dans ce cas une solution à plus de 120 réflexions ? Il me semble que la réponse peut-être la suivante : partont du cas remarquable exposé ci-dessus à 119-121 réflexions. Faisons alors pivoter légèrement le rayon autour du point C. Le rayon ne coupe pas de miroir ni en A ni en B, mais on entre d'abord dans un ensemble de solutions où il y a 120 réflexions. Lorsque l'on pivote encore ce rayon, va-t-on attraper un miroir de plus ? La réponse est non, car pour y arriver, il faudrait aller au-delà du point D et donc sortir de l'intervalle entre les deux miroirs pour que le rayon poursuive son chemin.

Merci encore à Nofutur pour sa brillante démonstration.