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differnce continuité et continuité par morceaux

Posté par
ahahah
10-02-06 à 12:31

salut à tous

quelquun a til un exemple d'une fonction continue par morceaux mais non continue svp?

(cest pour m'aider à visualiser la difference entre ces 2 notions)

merci

Posté par
ahahah
re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 12:36

la fonction en escalier n'est pas continue par morceaux n'est ce pas?
car non prolongeable par continuité sur les extremités,

c'est bien cela?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 12:48


Quelle est ta définition d'une fonction continue par morceaux ?

Pour ma part, je dirais que la fonction égale à -1 sur ]-oo;0] et +1 sur ]0;+oo[ est continue par morceaux, et non continue.

Posté par philoux (invité)re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 12:49

bonjour à tous

et tout simplement y=1/x ? ça marche aussi ?

Philoux

Posté par
ahahah
re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 12:54

je ne comprends pas.

comment que 1/x peut etre continue par morceaux alors qu'en 0 on ne peut pas la prolonger par continuité???

dans ce cas nimporte quelle fonction est continue par morceaux non?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 12:56

Quelle est ta définition d'une fonction continue par morceaux ?

Posté par
ahahah
re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 13:17

prolongeable par continuité aux endroits ou elle n'est pas continue.

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 13:19

Je t'avoue que je ne comprends pas.
Si on parle de prolongement par continuité en un point, c'est que la fonction n'est initialement pas définie en ce point, non ?

Posté par
Nicolas_75 Correcteur
re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 13:22

Tout le monde n'est pas d'accord avec ta définition.
Voir par exemple le PDF suivant, qui me semble plus raisonnable :

perso.wanadoo.fr/jean-pierre.barani/NEW_INT.PDF

Posté par
LeHibou
re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 13:26

Proposition de définition :
Soit D le domaine de définition de f
Soit {D1, D2...Di...} (liste finie ou dénombrable) une partition D en segments Di disjoints ; les Di sont donc de la forme (ai,bi), ouverts ou fermés d'un côté ou de l'autre.
Alors je dirais que f est continue par morceaux si elle est continue sur tous les "intérieur de Di", soit tous les ]ai,bi[.

Posté par
ahahah
re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 13:27

c'est pourtant ce que jai vu ici
http://c.caignaert.free.fr/chapitre7/node1.html

Posté par biondo (invité)re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 13:55

Bonjour a tous,

Je pense que les definitions sont en fait les memes, mais le document reference par Nicolas_75 est a mon sens plus precis (dans le deuxieme, on ne voit pas bien ce que sont les fi) (et je ne dis pas ca seulement parce que l'auteur du document est mon ancien professeur... )

Donc "on peut prolonger la fonction aux endroits ou elle n'est pas continue"... Moui. En gros... Attention cependant: ce n'est pas la fonction en entier que l'on prolonge, seulement sa restriction sur le segment ouvert considere (et on oublie le reste...).

Une fonction en escalier est donc l'exemple typique de fonction continue par morceaux (non continue sur l'intervalle entier en general, sauf cas particulier).

Dans la definition de LeHibou, il manque la possibilite de prolonger les fi... C'est capital, car ca permet de definir l'integrale (au sens usuel).


A+
biondo

Posté par
ahahah
re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 14:01

je ne comprends toujours pas pourquoi 1/x est prolongeable par continuité en zero.

Posté par biondo (invité)re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 14:02

Ben c'est parce qu'elle ne l'est pas...

Posté par Samourai (invité)re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 14:03

Qui a dit qu'elle l'était ? La fonction est définie sur quel intervalle dans ton affirmation ?

Posté par
ahahah
re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 14:13

et bien le fait de dire que 1/x est continue par morceau, ca veut bien dire que 1/x est prolongeable en 0 non?

Posté par biondo (invité)re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 14:17

mais x --> 1/x n'est pas continue par morceaux (justement parce qu'on ne peut pas la prolonger)

Posté par Samourai (invité)re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 14:19

Je ne suis pas d'accord avec toi biondo. Je prends deux morceaux ]-oo;0[ et ]0;+oo[; x->1/x est bien continue sur chaque morceau, non ?

Posté par biondo (invité)re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 14:24

Oui. elle est continue sur chacun des deux morceaux ouverts.
mais elle n'est pas "continue par morceaux" (car la definition impose en plus a chaque restriction de la fonction d'etre prolongeable sur chaque morceau ferme).

Posté par
ahahah
re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 14:24

bah oui cest ce que je pense aussi mais lorsque philoux à proposé cet exemple je lui ai repondu comme quoi je trouvais ca bizarre et c'est resté comme ca sans que ce soit corrigé, du coup je pensais que les autres intervenants etaient daccord avec lexemple de philoux.

Posté par Samourai (invité)re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 14:26

Mais enfin l'exemple de philoux marche 1/x est continue par morceaux mais n'est pas continue.

Posté par Samourai (invité)re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 14:29

Bon j'ai rien dit. Je pars m'enterré vivant.

Posté par
ahahah
re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 14:29

mais on ne peut pas la prolonger par continuité du coté de 0.
pourquoi tu dis que elle est continue par morceau?
je ne comprends vraiment pas

Posté par biondo (invité)re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 14:34

J'ai l'impression que personne ne lit ce que j'ecris...

Pour resumer:

Continue sur chaque morceau ouvert (qui correspond litteralement a ce que ca veut dire)
n'est pas la meme chose que
Continue par morceaux (qui repond a une definition precise)

Posté par
ahahah
re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 14:43

affaire classée, merci à tous

Posté par
LeHibou
re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 14:49

Pour répondre à Biono, la prolongation aux points de discontinuité n'est pas essentielle pour définir l'intégrale.

Par exemple, on peut considérer f:
f(x) = 0 sur [0,1[
f(1) = 1/2
f(x) = 0 sur ]1,2]
F est parfaitement intégrable au sens de Riemann sur [0,1], et cette intégrale vaut 0, ainsi que sur [1,2], et cette intégrale vaut 1.

En général, l'existence de points de discontinuité topologiquement  isolés sur le domaine de définition d'une fonction continue par ailleurs n'est pas un problème pour la construction de l'intégrale de Riemann. D'ailleurs, une des définitions de l'intégrale de Riemann est précisément faite à partir des fonctions en escalier, et rien dans cette définition n'est imposé pour la valeur de la fonction aux abscisses des changements de marche.

Posté par philoux (invité)re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 14:57

Merci pour vos explications

Tu remarqueras, ahahah, que j'avais mis des points d'interrogations (2 ? d'ailleurs) à mon post.

Je viens seulement de comprendre, avec l'explication de biondo, pourquoi elle ne l'est pas...

Philoux

Posté par biondo (invité)re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 15:04

>LeHibou

Je n'ai sans doute pas ete assez clair dans ce que j'ai ecrit, je le reconnais. Neanmoins...

Si on se contente de points de discontinuite topologiquement isoles (berk), que faire de:
f(x) = 1/(1-x) sur [0,1[
f(1) = 1
f(x) = 0 sur ]1,2]

Valeur de l'integrale????

Cela dit, je suis d'accord sur le fait que les points isoles, pour lesquels la valeur de  la fonction est sans importance, sont autorises. Mais la possibilite de prolonger est essentielle...

Dans ton exemple on peut prolonger chacun des morceaux (fi continue sur le ferme, telle que sa restriciton a l'ouvert coincide avec f sur l'ouvert), et il verifie donc la definition.

Posté par
LeHibou
re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 15:28

C'est vrai et moins vrai. Par exemple, 1/x pose problème en 0,comme tu le signales fort justement, mais pas 1/racine(x) qui s'intègre très bien par extension de l'intégrale de Riemann par passage à la limite. Or 1/racine(x) n'est pas plus prolongeable en 0 que 1/x. Donc la prolongeabilité en un point de discontinuité ne me semble pas être une condition nécessaire d'intégrabilité en ce point, du moins si on admet d'utiliser l'intégrale de Riemann généralisée.

Posté par
LeHibou
re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 15:46

Pour compléter le contre-exemple, soit
f = 1/racine(abs(x))

Alors f est
- définie sur [-1,1] / {0}
- continue par morceaux sur [1,0[ et ]0,1]
- pas prolongeable en 0
- intégrable au sens de Riemann généralisé sur [-1,1]

Posté par biondo (invité)re : differnce continuité et continuité par morceaux 10-02-06 à 15:58

Je crois qu'on s'eloigne un peu...

J'ai dit que "continue par morceaux" repondait a une definition precise (et 1/racine(x) n'y repond pas - enfin bon, ca depend de l'intervalle considere bien sur). Et que cette definition permettait de construire l'intergale de Riemann. Ensuite, effectivement, on peut generaliser l'integrale, mais tu reconnais toi-meme que c'est une "extension par passage a la limite".

Je n'ai pas pretendu que la prolongeabilite etait necessaire, j'ai dit qu'elle etait "essentielle" (sous-entendu, pour la construction usuelle progressive que l'on fait de l'integrale - d'abord sur les fonctions en escalier, puis sur les fonctions continues par morceaux, sur lesquelles le debat portait).


Je vois a l'instant ton message de 15:46.
Et je ne suis pas d'accord. La fonction n'est pas continue par morceaux sur [-1,0[, ni sur ]0,1] (ensemble ou separement).
Je persiste: une fonction f continue par morceaux est telle qu'il existe une subdivision S = (Si), i de 1 a n, telle que f soit continue sur chaucn des ouverts ]Si-1,Si[, et admette des limites aux bords.
C'est une definition, on n'y peut rien.

(source: mon cours, le doc cite par Nicolas_75 en debut de fil, les mathematiques.net, etc...).






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