Challenge n°157

Posté par puisea puisea

Bonjour, nouvelle énigme :

La figure représentée ci-contre est composée de deux demi-cercles de rayon x et d'un demi-cercle de rayon 2x. On place 4 points A, B, C, D sur le pourtour de cette figure de telle sorte que ABCD soit un carré.
Quelle est l'aire de ce carré en fonction de x ?

Bonne chance à tous !

@+

Posté par Hima (invité)

le carré est dans le cercle de rayon X est qui est dans le pourtour.

le carré a une diagonale D= 2 X  

d'ou il a une cote C su carrée est telque D= rassin(2) C

la surface est S= C²

d'ou S=  D²/( rassin(2))²

S= D²/ 2

S= 4X²/ 2

d'ou
S =2 X²

Posté par Youpi Youpi

j'ai trouvé grâce à Pythagore que l'aire de ce carré est
Merci pour l'enigme.

Posté par Pierre Carré (invité)

Bonjour !

L'aire du carré dont les sommets appartiennent au pourtour décrit vaut .

Au plaisir.

Posté par manpower manpower

Bonjour,

Tout d'abord les points C,D,E sont alignés (condition nécessaire pour avoir des angles droits en C et D)
car un triangle est rectangle ssi il est inscrit dans un demi-cercle (de diamètre son hypoténuse).
Ensuite A est le troisième sommet du carré car la perpendiculaire à (CD) passant par D coupe le grand demi-cercle en son extrêmité A.
De même le côté [BC] a pour milieu O car ABO est inscrit dans le demi-cercle d'extrêmités O et A et O,B,C alignés.
_{(On pouvait également considérer une homothétie de centre E et de rapport 2).}

Ainsi ABCD est un carré répondant aux conditions.
Reste à déterminer son côté c.
O étant le milieu de [BC], la simple application du théorème de Pythagore dans le triangle rectangle AOB, nous donne:
AO²=AB²+BO² i.e. ()²=c²+(c/2)²
D'où l'on tire c=.
Finalement, son aire vaut c²=.

Merci pour l'énigme.

Posté par gloubi gloubi

bonjour,

Une intéressante énigme qui mérite bien ses 3 étoiles!
Tout est sur la figure.

@+, Bon W-E à tous,
gloubi

Posté par goupi1 (invité)

Bonjour
Rapidement sans aprofondir toutes les figures possibles : 3.2 x²

Posté par TomBesT (invité)

On place les points A, B, C et D au prolongement du centre des rayons du demi-cercle, perpendiculairement et au milieu de ces 2 rayons.
x + x
2    2

=2x
  2

=x
Donc chaque coté vaut x
L'aire vaut donc x²

Posté par piepalm piepalm

Le coté du carré (petit coté d'un triangle rectangle inscrit dans le grand cercle dont le grand coté de l'angle droit est double du petit) vaut 2x/rac(5)
la surface du carré est donc 4x^2/5

Posté par piepalm piepalm

19

Posté par Nofutur2 Nofutur2

On démontre facilement que le carré A'B'C'D' inscrit dans le demi-cercle de rayon a pour coté .
Si j'effectue une rotation de ce carré autour de O, le centre du cercle de rayon , de telle manière que A' coincide avec A (situé sur le grand diamètre), on constate que le carré précédent est conservé et que les points A, B, C et D se trouvent sur la nouvelle figure.
L'aire du carré ABCD est donc de 16x²/5

Posté par geo3 geo3

Bonjour
D'après mon dessin ; a étant le côté du carré , 2x est l'hypothénuse d'un triangle rectangle de côtés a et a/2 => 5a²/4 = 4x²  =>
L'aire du carré =

A plus geo3  

Posté par Dal (invité)

A priori, on ne pose aucune condition sur ce carré (taille maximale ou autre), donc il suffit de trouver un carré posé sur le contour.

On peut voir que, si on place l'origine du plan au centre de la figure, les points de coordonnées (-2x,0), (-6x/5,8x/5), (-2x/5,-4x/5) et (2x/5,4x/5) sont tous sur le tracé et forment un carré.

L'aire de ce carré est .

Posté par franz franz

            

Posté par lulu83 lulu83

l'aire du carré ABCD = x²

Posté par hervé (invité)

Bonjour.
Je propose 16 x²/5.
A+.

Posté par nikole nikole

bonjour
je vous prie de bien voir la figure attachee
j'explique sa construction
du point A je trace la demi-droite [AB) telle que BAO63,75 degres=arctan2
je relie B à E, j'aurai un angle droit en B car [AE] diametre du grand cercle et B appartient a ce cercle
j'aurai alors le point C INTERSECTION DU DEMI CERCLE ET DE (BE)
ensuite je TRACE (AO) qui coupe l'autre demi cercle en D
j'aurai aussi un angle droit en C ([OE] diametre et C un point du demi cercle)
je trace [AD] donc aussi j'ai un angle droit en D
comme tanBAO=2-->BE/BA=2
or C milieu de [BE] car O milieu de [AE] et (OC)//(AB)
donc BC/BA=1 -->BC=BA
ABCD etant un rectangle (3 angles droits) et ayant deux cotes consecutifs egaux, il devient un carre
l'aire de ABCD=l'aire de ABE
car COE et ADO superposables
l'aire de ABE=ABxBE/2=ABx2AB/2=ABxAB=AB²
calcul de AB en fonction de x
pythagore
AE²=AB²+BE²
(4x)²=AB²+(2AB)²
16x²=5AB²
AB²=16/5 x²

d'ou
l'aire de ABCD=16/5 x²

Posté par savoie (invité)

Bonjour,

Je propose :
aire du carré = 16 x² / 5

Merci pour cette belle énigme

Posté par borneo borneo

Bonjour,
dans le triangle rectangle ABC rectangle en C on a AB^2=AC^2+CB^2

donc x^2 = 5/4 AC^2

AC^2 = 4/5 x^2 ce qui est l'aire du carré demandé

ma réponse : aire du carré = 4/5(x²)

Posté par jugo jugo

Pour obtenir le carré ABCD sur mon dessin, il faut :
(2y)² + y² = x² soit y² = x²/5

le carré a pour aire : 4 y² = 4x²/5

Posté par philoux (invité)

bonjour

réponse : 4x²/5

Méthode : repère en O jonction des deux 1/2 cercles de rayon x. J'ai supposé que le carré passait par O => C est en -2x;0 et on déduit simplement, dans le triangle OCD, que d=2x/V5; des droites de pentes V19 et -1/V19 permettent de placer les 3 autres points et de vérifier.

Très jolie énigme , qu'on aurait pu complexifier en demandant le carré de surface maximale, ce qui aurait demandé de vérifier qu"il n'y en avait pas d'autres...

Merci pour l'énigme,

Philoux d'un cybercafé d'Ouistreham...

Posté par soizic (invité)

bonjour à tous
Si on met le demi-cercle rouge (sur le dessin) dans le 'creu' du demi-cercle bleu, on a alors le demi-cercle de rayon 2x qui est complet.
Son aire est donc de *(2x)².

Posté par papou_28 (invité)

L'aire du carré en fonction de x est égale à

Posté par luc14 (invité)

Bonjour à tous !
Considérons la figure ci-contre.

Le triangle de côté [DC] est inscrit dans un demi-cercle donc il est rectangle.
Nommons c le côté du carré ABCD, nous avons d'après Pythagore:
  
L'aire du carré étant égale à c²,

A+

Posté par PythagoreJimmy (invité)

Je n'ai pas très bien compris le sens de : « On place 4 points A, B, C, D sur le pourtour de cette figure de telle sorte que ABCD soit un carré. » Donc, comme j'avais tout de même envie de faire l'énigme j'ai fait comme ça :
Soit C le grand cercle et C1 et C2 les deux petits demi-cercles.
Soit O le centre du cercle C.


                                                                                                   (AC) est perpendiculaire à (DB)

      Le carré ABCD est composé de 4 triangles rectangles
identiques : AOB, AOD, DOC, et BOC, tous rectangle en O.
La hauteur de chacun de ces triangles est égale à :  x    
Leur base est également égale à  : x
Avec Pythagore, je calcule le coté AB (égal à AD, CD et BC)
AB² = AO² + OB²
AB² =  x² + x²
AB² = 2x²
          _____
AB = (2x²)
L'aire A1 du carré ABCD est de AB²
         _____
A1 = ((2x²))²
A1 = 2x² cm3



L'aire du carré ABCD est donc de  A1 = 2x² cm3

Posté par PythagoreJimmy (invité)

Je vien de me rendre compte que j'ai fait une erreur d'innatention: je voulait mettre 2x² cm² et pas 2x² cm³!

Posté par laotze laotze

Bonjour à tous:

je pense que l'aire du carré ici vaut .

L'explication suit.
@ tout de suite!

Posté par laotze laotze

Réponse en image:

Je nomme les cercles f(rayon 2x) et les cercles e et c de rayon x.
Je choisis ensuite un point A sur c et je pose OA=2y
Je cherche A tel que AK=y=0.5*OA.

Je trouve d'après Pythagore:

4y²+y²=4x² <=> y=

J'utilise ensuite l'homothétie de centre O(qui n'est pas sur figure mais à l'extrême gauche de la figure(je l'ai effacé maladroitement)) de rapport 2 qui transforme K (centre de f, pas très visible non plus) en C et A en D (H_O;2(c)=d donc D appartient à d).

On a donc: AD=DC=OA=2y
Par une symétrie central de centre K, on transforme c en e et donc A en B.

On a AB=2y

D'après les propriétés des triangles inscrits dans des cercles et dont les hypothénuses sont les diamètres,on a un losange (AB=AD=DC=OA=2y) avec un angle de 90°:

ABCD est donc un carré.

A_ABCD= 4y² =

NB:On pourrait aussi généraliser le calcul de l'aire ABCD pour les cercles c et e de différents rayons tels que r_c+r_e=r_f.

Posté par jesness (invité)

je crois que l'aire est x²

Posté par kimkim88 (invité)

Bonsoir,
Vu que la formule de l'aire du carré est côté*côté alors l'aire du carré =
x²*x²=x₄

Posté par maroc (invité)

slt tout le monde
je crois que l'aire du carré ABCD est 16x²/5

Posté par maroc (invité)

slt tout le monde
je crois que l'aire du carré ABCD est 16x²/5

Posté par Torpedo (invité)

Salut,

L'aire du carré ABCD sera :

Voir ci-joint un schéma qui indique comment placer ABCD pour obtenir un carré. En se creusant la tête je pense qu'on peut démonter que c'est la seule possiiblité : pour cela il suffirait de montrer que deux des sommets du carré, au moins, sont sur le grand demi-cercle (de rayon 2x).

En effet dans ce cas, soit A et B deux points distincts sur le grand demi-cercle, et A', B' leurs symétriques par le centre O du grand cercle, ABA'B' est un rectangle. On construit les intersections des côtés du rectangle avec les deux petits demi-cercles : C et D. Si ABCD est un carré tel que AB = BC = a, cela implique que le grand côté du rectangle ABA'B, AB', est égal à 2a. Par Pythagore sur le triangle ABA' on obtient a qui est une constante dépendante de x : . Ce qui donne l'aire du carré, en fonction de x, .

Pour la construction du carré, j'ai procédé comme suit sous GeoGebra : pour une valeur x donnée j'ai calculé a. Le cercle de centre O et de rayon a/2 (en bleu sur la figure) me donne les points C et D. On tire ensuite les perpendiculaires aux extrémités du segment CD pour obtenir A et B. Toujours en utilisant la relation de Pythagore on peut montrer que le sommet A est à l'extrémité gauche du grand demi-cercle. Il est donc également l'une des extrémités du demi-cercle de rayon x situé à gauche.

A++

Posté par jacques1313 jacques1313

Amis sinologues, bonsoir...
Si on rajoute la partie “complémentaire”, on obtient la figure du Yin et du Yang qui admet un centre de symétrie : celui du grand cercle (d'équation X²+Y²=4x²).
Il suffit donc de trouver la largeur du rectangle inscriptible dans le grand cercle dont la longueur est le double de cette largeur et il existera une configuration (cf. figure) où chaque carré sera inscriptible dans chacune des deux parties.

2Y=X
Y²=4x²-X²

D'où 5X²=16x².

Donc l'aire du carré vaut X²=3,2×x.

Posté par jacques1313 jacques1313

Je viens de m'apercevoir avec horreur que j'ai oublié de remettre le carré sur le x. Mais j'espère que les correcteurs feront néanmoins preuve de mansuétude.

Posté par kiko21 kiko21

L'énoncé ne précise pas que si le carré ABCD est inclus dans la forme formée par les 3 demi-cercles.
Un triangle inscrit dans un demi-cercle avec pour grand côté (hypoténuse) le diamètre est un triangle rectangle.
J'en dessine un dans chaque petit demi-cercle symétriquement par rapport à X pour formé ADC.
J'obtiens B en traçant un triangle semblable dans le prolongement du petit triangle de droite.
Pour que ABCD soit un carré et non un rectangle, il faut que AD / DX = 2.
D'autre part, on sait que (AX)² = (AD)² + (DX)² (Pythagore)
On trouve AD = (2/5)x et DX = (1/5)x
Pour conclure :
L'aire du carré ABCD est (4/5)x² soit 0,8x²

Posté par kiko21 kiko21

Rayon, diamètre...
c'est le rayon des 2 petits demi-cercles qui est égale à x.
Donc le diamètre est 2x.
Donc l'aire de ABCD est (4/5)(2x)² = (16/5)x² soit 3,2x²

Posté par ptitjean (invité)

salut,

je trouve une aire de
Avec la figure

Ptitjean

Posté par titibzh titibzh


...

Posté par benitoelputoamo benitoelputoamo

ENFIN!!!

Après 3 jours de dur labeur, je poste une réponse. L'aire du carré en fonction de x est f(x) = 3x² (enfin je crois).

Merci pour l'énigme,
Benoit

Posté par TieOum (invité)

Réponse : l'aire du carré est 4.x²/5

Posté par master_och master_och

salut
ma reponse est 16x²/5

Posté par master_och master_och

Aprés avoir effectué beaucoup de calculs compliqués que j'ai arrêté dés que j'ai trouvé une solution (c.a.d que je ne sais pas si c'est l'unique solution ou non)voici un schema qui permet de présenter la façon dont on doit placer le carré de tel façon que ses 4 sommets soient situés au pourtour des 3 demi-cercles.
la partie la plus compliquée du probleme est faite ensuite il sera trés facile de calculer l'aire de ce carré.
  

Posté par infophile infophile

Soit c le côté du carré, on a :

Posté par vince909 vince909

Bonjour,

Je trouve que l'aire du carré est de

Merci pour l'énigme

Posté par enigma34 (invité)

les diagonales du carré se coupent en O et perpendiculairement. alors le triangle OAb est rectangle en O. D'après le théorème de Pythagore, on peut écrire en fonction de x que
AB² = OA²+OB²
AB² = x²+x²= 2x²
en d'autres termes, nous avons exprimé l'aire du carré ABCD qui est de 2x²

Posté par chaudrack chaudrack

Bonjour, voici ma réponse.


J'ai considéré le schéma suivant tel que la droite a pour équation Y = 2X + 4x et l'equation de cercle, qui bien sur est X² + Y² = (2x)²
(Ne pas confondre X et x!!!)

ensuite, par un système d'équation, j'en ai déduit l'abscisse et l'ordonnée du point B (le plus haut), et apres un calcul de pythagore entre les abscisses et les ordonnées de A et B (A étant le point le plus a gauche), j'en ai déduit que AB = Racine (16/5) x, soit une aire du carré de:

16/5 x²

Voila, j'espèque que ma réponse est bonne! A bientôt

Posté par RIRINE771 (invité)

(2x+x)(2x+x)    

Posté par puisea puisea

Merci à tous de votre participation.

Posté par philoux (invité)

Bonjour,

Jolie démo que celle de jacques1313 ! (dommage pour le x²...)

Philoux

_{...il me semble que le yin yang est plus taoïste que chinois (?) : on doit pouvoir être taoïste sans être chinois...}