relation entre 3 réels strictement positifs...

Posté par Doigts de fée (invité)

Bonjour,

j'aurais besoin d'une toute petite indication pour que je puisse me lancer et réussir a démontrer que, pour 3 réels strictement positifs a, b et c, on a (a+b)(a+c)(b+c) > ou = 8abc
J'ai posé a<b<c<0 (J'ai conscience qu'en plus, c'est terriblement simple......)

Et je voudrais aussi savoir, avec 3 réels a, b et c compris entre 0 et 1 strictement, pour démontrer que (1/a)+(1/b)+(1/c)+abc < ou = a+b+c+(1/abc)
j'ai dit que, comme ils sont entre 0 et 1, (1/abc) > 1/a +1/b + 1/c et abc <a+b+c, l'égalité est vérifiée.
Est-ce que ca suffit ?

Merci beaucoup

Posté par Doigts de fée (invité)

Je rectifie, j'ai posé 0 < a < b < c

Posté par watik watik

bonsoir.

permettez moi de vous aider.

pour montrer que (a+b)(a+c)(b+c) > ou = 8abc pour a,b et c >0

on va d'abord montrer le résultat intermédiaire suivant:

a+b >=2rc(ab); avecle m^me hypothèses pour a et b.

rc() d'signe la racine carré.

vous savez que (a-b)²>=0

donc a²+b²-2ab>=0

donc a²+b²-2ab -2ab+2ab>=0   ; en ajoutant et retranchant 2ab.

donc (a+b)²-4ab>=0

donc (a+b)²>=4ab  ;

comme a et b sont strictment postifs on peut prendre la racine carré des
deux membres sans changer de sens car la fonction racine carré est
strictement croissante sur R+.

donc a+b>=2rc(ab)

c'est le résultat intérmédiaire que j'ai voulu montré.

on peut l'utiliser pour a,b et c qui sont tous strictement positifs
et l'on a:

a+b>=2rc(ab)
a+c>=2rc(ac)
b+c>=2rc(bc)

on a alors:
(a+b)(a+c)(b+c)>=2rc(ab)(a+c)(b+c)              (A)

; en multipliant les membres de  première inégalité par (a+c)(b+c)
qui positif.

ensuite :
(a+c)(b+c)>=2rc(ac)(b+c)                                    (B)
; en multipliant les membres de  deuxième inégalité par (b+c) qui positif.

en multipliant (B) par 2rc(ab) qui est positif on obtient:

2rc(ab)(a+c)(b+c)>=2rc(ab)*2rc(ac)(b+c)    

et en reportant dans (A) ob obtient:

(a+b)(a+c)(b+c)>=2rc(ab)(a+c)(b+c)
                              >=2rc(ab)*2rc(ac)(b+c)            
        

donc

(a+b)(a+c)(b+c)>=2rc(ab)*2rc(ac)(b+c)                    (C)

comme :

b+c>=2rc(bc)  en multipliant les deux membres de cette inégalité
par 2rc(ab)*2rc(ac) qui est positif on obtient:

2rc(ab)*2rc(ac)(b+c)  >= 2rc(ab)*2rc(ac) 2rc(bc)

en repoertant dans (C) on obtient:

(a+b)(a+c)(b+c)>=2rc(ab)*2rc(ac)(b+c)
                             >= 2rc(ab)*2rc(ac) 2rc(bc)

donc :

(a+b)(a+c)(b+c)>=2rc(ab)*2rc(ac)(b+c)
                             >= 2rc(ab)*2rc(ac) 2rc(bc)

maintenant calculons :
2rc(ab)*2rc(ac) 2rc(bc) =8rc(abacbc)=8rc(a²b²c²)=8abc

donc finalement:

(a+b)(a+c)(b+c)>=8abc pour tout a,b etc >0.

remarquez qu'à aucun moment je n'ai supposé que 0 < a < b < c comme
vous avez assayé.

voila j'espère que j'ai répondu à votre question.

bonsoir et bon courage.