somme et produit

Posté par master_och master_och

Voici une belle énigme:

On donne à Pierre le produit de deux nombres entiers compris (au sens large) entre 2 et 100, et à Sophie la somme des deux mêmes nombres.
On demande à Pierre s'il peut déterminer quels étaient les nombres de départ. Pierre : Non, je ne peux pas trouver ces deux nombres. Sophie : Je le savais. Pierre : Dans ce cas, je connais les deux nombres. Sophie : Alors moi aussi.

Quels sont ces 2 nombres ?

Posté par master_och master_och

Je précise que cette énigme a une unique solution et qu'elle ne peut être résolue qu'à l'aide d'un programme informatique.
Désolé pour ceux qui ne connaissent aucun language informatique.
Bonne chance à tous les autres

Posté par philoux (invité)

Salut master och

déolé, je l'avais déjà posé là, en la complexifiant quelquepeu...



J'y avais scanné les 2 soluces pour les deux énoncés...

Philoux

Posté par philoux (invité)

J'infirme, de plus, ce que tu dis : ...qu'elle ne peut être résolue qu'à l'aide d'un programme informatique...

La résolution faite n'est que déductive "à la main" (le cerveau, plutôt )

Philoux

Posté par master_och master_och

Salut Philoux
J'ai jeté un coup d'oeil à ton lien et je m'aperçois que c'est pas la même énigme .
C'est une énigme similaire mais pas lâ mêma désolé.

Posté par philoux (invité)

Bien sûr que ce n'est pas la même puisque, celle-ci, je l'ai inventée/adaptée/complexifiée à partir d'une plus simple...

Mais si tu regardes la correction word que j'avais faite, c'est exactement le même principe que la tienne : toi, tu t'es arrêté à deux échanges de P et S, moi je suis allé à trois échanges de P et S.

Et, je te le redis, pas besoin de l'informatique : juste du raisonnement...

Philoux

Posté par master_och master_och

En effet en lisant ta résolution je trouve que ton énigme est beacoup plus simple puisque tu t'es limité uniquement à des sommes <9 alors que mon énigme n'impose rien,la somme peut être 200 et c'est au raisonnement d'elliminer cette valeur s'il ya une raison.
Ton énigme a une unique solution pour 1<s<10 alors que la mienne a une unique solution pour 4<s<200 et ce n'est même pas la même solution .  

Posté par master_och master_och

Si tu relie profodément mon énigme tu trouvera que sa résolution est beaucoup plus compliqué .

Posté par master_och master_och

Philoux
J'aimerai bien savoir si t'es d'accord ou non avec ce que j'ai dis.

Posté par philoux (invité)

S'il faut absolument te répondre :

je n'ai pas pris le temps de bien réfléchir à ton pb, pour 2 raisons :

- il ressemble "bigrement" au mien, hormis le fait de "monter" à 200,

- s'il faut réellement de l'informatique pour le résoudre, je le laisse aux programmeurs qui aiment.

Ce n'est que mon avis...

Philoux

Posté par master_och master_och

Bah c'est ce que j'ai dis depuis le début que cette énigme n'est accessible qu'à ceux qui connaissent un language informatique et j'insiste sur cela.

Posté par savoie (invité)

Bonjour Master Och,

Cette énigme que tu proposes, je confirme qu'elle peut être résolue sans informatique. Elle est certainement mon énigme "préférée" : j'avais dans mon jeune temps (!!! : il n'y a pas loin de 20 ans, à une époque où on ne résolvait pas les énigmes par informatique...) mis un certain temps à aboutir. Je confirme, il y a une solution unique !

Posté par master_och master_och

Bonjour savoie
j'insiste encore sur la nécessité d'un outil informatique car les cas sont trés nombreux et trés difficiles(presque impossible) à denombrer manuellement.
Donc si t'es sûre de ce que tu dis j'aimerai bien voir ta méthode .

Posté par savoie (invité)

Je confirme que j'avais mis du temps à aboutir... et des kilos de papier ! Il ne s'agissait probablement que d'une méthode très classique, faite par élimination. Tout est dans la bonne utilisation des nombres premiers. Pour te montrer ma bonne fois, je te donnerai bien la réponse à l'énigme ici : je m'en souviens par coeur ! mais c'est dommage pour ceux qui sont prêts à se creuser les méninges. Il y a de quoi d'ailleurs avec cette superbe énigme.  

Posté par master_och master_och

D'accord je t'attends , mais est-ce que tu peux me dire quelle est ta solution avant la démonstration pour se mettre d'accord dès le début??

Posté par minkus minkus

Bonjour,

Je confirme l'existence d'une demo simple en 4 ou 5 etapes de raisonnement "cerebral". Je la retrouve et je la poste.

minkus

Posté par master_och master_och

J'attends ...

Posté par Youpi Youpi

Je trouve "sans informatique":


Mais j'ai pu me tromper car je me suis un peu embrouillée en le faisant.

Posté par master_och master_och

ta solution?

Posté par Youpi Youpi

13 et 4

Posté par master_och master_och

bah bravo c'est correct! mais t'es sûre que t'as  pas utilisé un programme??

Posté par Youpi Youpi

Jurée si je savais programmer j'aurais répondu au challenge 159 !

Posté par master_och master_och

Vraiment bravo est-ce-que je peux voir ton raisonnement??

Posté par savoie (invité)

Bon Master Och, OK c'est une très belle énigme. Mais essaie de nous croire quand on te dit que nous avons résolu celle-ci sans support informatique ! C'est cérébral mais d'autant plus intéressant !

Merci Youpi tu as juste !

Posté par master_och master_och

Mais j'ai rien dis !j'ai juste voulue savoir son raisonnement car je vois pas comment le résoudre sans informatique cela m'interesse beaucoup de savoir ce raisonnement.

Posté par minkus minkus

Cette énigme que tu proposes, je confirme qu'elle peut être résolue sans informatique. Elle est certainement mon énigme "préférée" : j'avais dans mon jeune temps (!!! : il n'y a pas loin de 20 ans, à une époque où on ne résolvait pas les énigmes par informatique...)

Savoie, je suis d'accord avec toi. Moi ca fait pas loin de 20 ans aussi que je connais cette enigme et j'etais un peu jeune pour la resoudre a l'epoque. Cela dit elle m'a marquee car c'etait une des premieres que je rencontrais ou "le fait de ne pas savoir" permettait de savoir qque chose en fait. D'autres exemples sont les histoires de personnes qui ne voient pas ce qu'ils ont sur le front mais voient les autres...etc

car les cas sont trés nombreux et trés difficiles(presque impossible) à denombrer manuellement.

il n'y a pas tant que ca de cas car le premier renseignement elimine pas mal de cas: les nombres premiers, les carres de nombres premiers...

Posté par Youpi Youpi

C'est beaucoup par tatonnement et un peu long à poser, mais en gros j'élimine d'abord les produits qui ne sont pas produits de deux nombres premiers (les deux nombres ne sont pas tous deux premiers), puis je regarde dans les sommes celle qui ne peuvent être la somme de deux nombres premiers (sauf 1) (par exemple 17)
Puis je pose les nombres et j'élimine à la main les cas qui ne marchent pas.
Là ou je triche un peu c'est que n'ai pas vraiment étudié tous les nombres, mais  au bout d'un moment en faisant des recoupement on se rend compte que la solution 4 - 13 marche donc je cherche pas plus loin.

J'ai tout à fait conscience que ça n'a rien de très rigoureux, mais j'avoue que je fais souvent comme ça pour les enigmes, à l'instinct et à la bidouille. Mais ça marche pas toujours (ch Challenge 159)

Posté par minkus minkus

D'ailleurs cela me fait penser au theoreme des 4 couleurs qui a ete demontre avec l'aide de l'informatique car la les cas sont vraiment impossibles a denombrer a la main (en tout cas a l'ech elle de temps humaine). Et pourtant hier j'ai vu un doc sur les autistes de haut niveau avec une mathematicienne francaise (thesarde) qui est en train de demontrer le thm des 4 couleurs "a la main".

Posté par master_och master_och

youpi
"j'élimine d'abord les produits qui ne sont pas produits de deux nombres premiers"je crois que tu veux dire qui sont premiers.
en plus de cela tu dois elliminer les produits qui sont constitué d'un nombre premiers et son carré comme l'a dit Minkus et encore un petit détail que vous avez oublié c'est
lorsque un produit P est décomposable en un unique couple
(n1,n2)tel que n1 et n2 sont compris entre 2 et 100 comme par exemple 477=53 x 9= 3 x 159 car ce genre de produit permettra à pierre de duire 53 et 9 dés le début .
Mais le probléme c'est que même en illiminant tous ces cas ce qui prendra beaucoup temps il estera encore plein de travail ce n'est que le début.  

Posté par Youpi Youpi

comme par exemple 477=53 x 9= 3 x 159 car ce genre de produit permettra à pierre de duire 53 et 9 dés le début

Je te rassure j'ai tenu compte de ce genre de cas, tous les cas que tu peux éliminer tu les elimines.
J'ai conscience que mon explication est très succinte mais c'est difficile de la détailler car j'ai poser pou chaque somme possible les deux nombres possibles pour cette somme puis je regarde si je retrouve avec ces deux nombres des produits identiques dans d'autres somme (je sais pas si c'est très claire).
En éliminant 13 - 4 se retrouve seul cas possible comme somme faisant 17.

Posté par savoie (invité)

Pour moi la démarche a été de d'abord travailler sur la somme : on élimine toutes les sommes de 2 nombres premiers, et toutes les sommes d'un nombre premier supérieur à 50 et d'un autre nombre.

Cela élimine déjà beaucoup de cas. Le reste est faisable... à la main !

Posté par minkus minkus

Bon la demo que j'avais est dans un vieux magazine de maths et il est peut-etre dans mon casier au boulot Alors voila la version trouvee sur internet.

Posté par master_och master_och

Youpi
J'ai rien à dire bravo
Puisque j'ai dis qu'il n y a qu'une seule solution valable
donc d'arréter tes calculs dés que t'a trouvé un solution
mais si je l'avais pas dis il sera presque impossible de dire que 13 , 4 est l'unique solution.
Quand à savois chui désolé maisje confirme pas ta demarche.  

Posté par Youpi Youpi

C'est tout à fait exact master_och il est  presque impossible de dire que 13 , 4 est l'unique solution.
Mais si je ne peux pas le démonter de manière rigoureuse, on se rend contre lorsque l'on étudie des sommes de plus en plus grandes que les cas s'liminent de moins en moins et donc on "sent" qu'il n'y aura pas d'autres solutions. ce n'est evidement pas une démonstration mais ça permet d'être presque sûr que 13 - 4 est la seule solution.

Posté par master_och master_och

En effet lorsque j'ai trouvé cette énigme dans un autre site de mathématiques on ne m'a pas dis qu'il y a une unique solution c'est pour cela que j'étais obligé de vérifier tous les cas même aprés avoir trouvé une solution valable car j'ai voulue trouvé toutes les solutions.
Et c'est pour cette raison que j'ai dis l'utilisation est  indispensable.
Bon il est vrai que Minkus nous a donné la solution compléte à travers son lien mais en voyant la longueur de cette résolution je crois que l'utilisation d'un programme sera beaucoup plus simple et plus sûre car on sait jamais le calcul est trés long et on peut se tromper facilement.
Enfin j'avoue qu'un programme n'est pas necessaire mais il est énormément plus utile, et merci à tous ceux qui ont participé .  

Posté par master_och master_och

En lisant la solution posté par Minkus je m'aperçois que même elle a été établit à l'aide d'un programme .
c'est ce que j'ai compris de cette phrase:"Sachant que  les deux élèves  sont d'excellents logiciens".

Posté par minkus minkus

Non Master_Och cette phrase "classique" dans ce genre d'enigme signifie que les eleves font des raisonnements logiques "parfois" et deduisent donc le max de ce qu'ils peuvent deduire avec chaque info.

Posté par minkus minkus

"parfaits" et pas "parfois"

Posté par master_och master_och

bonjour Minkus
Bon peut être, mais en tout cas j'avoue que j'ai eu tort de dire que cet énigme n'est fesable qu'à l'aide d'un programme informatique j'ai dû dire qu'un programme la facilitera énormément.
Merci pour le lien .

Posté par philoux (invité)

>master_och

si tu avais lu la soluce avec les tableaux du lien que je t'avais fourni 14 minutes après que tu aies posté ton énoncé, tu aurais pu voir la méthode employée correspondant aux explications que les différents GM t'ont fournies...

Philoux

Posté par master_och master_och

Je ne sais pas si t'as jeté un clein d'oeil au lien de Minkus ou pas mais en voyant 10 sommes qui donnent chaqu'une un grand nombre de produits possibles et en tenant compte qu'on peut se tromper au calcul peut-être tu comprendra pourquoi j'ai dis qu'un programme est indispensable...

Posté par master_och master_och

et en plus il est déja trés difficile d'aboutir à ces 10 sommes sans se tromper

Posté par savoie (invité)

master-och, je vois que tu tiens à ta programmation. Je vais donc essayer de te proposer dans le w.e. une solution digeste, sans l'appui d'un programme. A suivre donc (c'est vrai qu'il ne faut pas avoir peur de quelques additions et multiplications pour cette énigme ...)

Posté par master_och master_och

salut Savois
c'est pas la peine de proposer une solution elle est déja posté par Minkus.
Mais si t'as une méthode différente j'aimerai bien la voir .

Posté par savoie (invité)

Bonjour Master-och,

Je viens de regarder la solution postée par Minkus. La méthode que je propose est effectivement la même : je ne suis pas sûr qu'il y en ait d'autre d'ailleurs. Il me reste donc à montrer qu'elle est "humainement" (et non informatiquement) faisable. Pour cela il s'agit de réduire (de façon raisonnée) au maximum le nombre d'opérations à réaliser pour éliminer les solutions impossibles. Et d'arriver donc à la solution unique.

Je ne vais pas pouvoir faire cela ce w-e comme promis initialement mais un soir de la semaine prochaine.

Posté par savoie (invité)

Bonjour Master-Och,

Voici ci-dessous la résolution complète du problème. Comme tu pourra le constater, pour les 2 premières parties (qui ne nécessitent pas de calculs importants) la métode est la même que celle donnée dans le lien de Minkus. En revanche la dernière partie permet la résolution du problème sans appui informatique.

Désolé pour la présentation : j'aurai souhaité faire mieux mais je n'arrive pas à faire l'équivalent d'nue présentation word dans ce forum. Bonne lecture...
___________________________________________________________

Enigme à résoudre :

Une personne a choisi 2 nombres entiers « a » et « b » entre 2 et 100. Elle rencontre P et S, à qui elle donne respectivement le produit et la somme de ces deux nombres. Puis elle leur demande : savez-vous me dire quels sont ces deux nombres ? Un dialogue s'installe :
P : je ne sais pas quels sont ces 2 nombres.
S : je le savais.
P : alors maintenant je sais quels sont ces 2 nombres.
S : alors maintenant moi aussi je sais quels sont ces 2 nombres.

Pouvez-vous trouver ces deux nombres ?
__________________________________________________________

Résolution de l'énigme :

Il y a 4 conditions à vérifier.
1ère condition : P dit : je ne sais pas quels sont ces 2 nombres.
2ème condition : S dit : je le savais.
3ème condition : P dit  : alors je sais quels sont ces 2 nombres.
4ème condition : S dit  : alors moi aussi je sais quels sont ces 2 nombres.

Regardons comment traduire ces conditions.

________________________________________________


A -/ 1ère condition à vérifier :

Notons NP = nombre premier

Pour que P puisse dire « je ne sais pas », la solution ne peut pas être :

Critère 1 : a et b sont 2 NP. Exemple : P = 7 x 11.
Critère 2 : a et b sont, l'un un NP, l'autre son carré. (alors P est le cube d'un NP). Exemple : P = 5 x 25.

Comme a et b sont inférieurs à 100, on ne peut pas non plus avoir :

Critère 3 : a est NP supérieur à 50 et b un autre nombre. Exemple : P = 59 x 2
Critère 4 : a est un NP supérieur à 34 (soit 100/3 arrondi au nombre supérieur) et b une combinaison (dans le sens : combinaison = multiplication de) de NP tous supérieurs à 3. Exemple : P = 37 x 21
Critère 5 : a est un NP supérieur à 20 (soit 100/5) et b une combinaison de NP tous supérieurs à 5.
Critère 6 : a est un NP supérieur à 15 (soit 100/7 arrondi au nombre supérieur) et b une combinaison de NP tous supérieurs à 7.
Critère 7 : a et b sont l'un et l'autre une combinaison de nombres premiers tous supérieurs à 10 (soit supérieurs à 100/11 arrondi au nombre supérieur). Condition inutile car a et b sont inférieurs à 100.
Critère 8 : a est un NP supérieur à 10 (soit racine de 100), et b est une combinaison de a avec un autre NP. Exemple : P = 11 x 22.
________________________________________________________

B -/ 2ème condition à vérifier :

Puisque S dit « je le savais », S ne peut pas être l'addition de 2 nombres a et b qui répondent aux critères ci-dessus. Recherchons les sommes S possibles :

Critère 3 (critère très efficace !) : S ne peut pas être supérieur ou égal à 53 + 2. Donc S < 55.
Critère 1 : S ne peut pas être la somme de 2 nombres premiers, donc S est impair, et S est égal à un nombre impair non premier + 2.

Il ne reste que les solutions suivantes : S = 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 51, 53.

Parmi ces 11 S possibles :
Les critères 2 à 7 n'éliminent aucun S supplémentaires, car a et b sont impairs donc S pair.
Le critère 8 élimine les solutions où a est un NP > 10 et S = a + 2a = 3a. Soit S = 33, 39, 51. Parmi ces nombres seul 51 était encore dans la liste des possibles, et donc est désormais lui aussi éliminé.

Il ne reste que les 10 solutions suivantes : S = 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37, 41, 47, 53.
Nous appellerons ces nombres le « Groupe des 10 S ».
____________________________________________________

C-/ 3ème et 4ème conditions à vérifier :


Après la 2ème condition, P en sait au moins autant que nous. Donc il sait que S appartient au « Groupe des 10 S ». Pour que P puisse dire : « alors maintenant je sais quels sont ces 2 nombres. », c'est donc qu'il connaît P (évidemment) et S. Faisons donc comme P, toutes les décompositions possibles a et b, et recherchons S.

Pour faire ces calculs, prenons l'un de ces S : S = 11.

« Tableau S = 11 »
// a et b   //  P   //  Quels sont, pour P, les S possibles ? //  Observations (voir ci-après).
// 2 et 9   // 18 // 11*, 9         //
// 3 et 8  // 24  // 14, 11*, 10    //
// 4 et 7  // 28  // 16, 11*        //  4ème condition non remplie.
// 5 et 6  // 30  // 17*, 13, 11*  //  3ème condition non remplie.

Sont suivis de * les sommes appartenant au « Groupe des 10 S »
Les // délimitent les colonnes d'un tableau.

Faisons quelques observations :

Dans le cas : P = 30, on peut avoir S = 11 ou S = 17. Donc P ne peut pas conclure : la 3ème condition n'est pas remplie.

Dans tous les autres cas, P ne trouve qu'une valeur de S appartenant au « Groupe des 10 S ». Donc la 3ème condition est remplie. Mettons nous maintenant à la place de S : pour conclure à son tour (4ème condition), il faut impérativement qu'il ne lui reste qu'un seul P répondant à la 3ème condition. Dans le cas de S = 11, il y a 3 solutions pour P, donc la 4ème condition n'est pas remplie.

Donc S = 11 n'est pas une solution de l'énigme.

Faisons une deuxième série d'observations, de méthode :

Il est évident que, plus S sera grand, plus le nombre de calculs à faire est important. Il faut donc les éviter en trouvant des moyens pour éviter les calculs inutiles. On a ainsi :
Pour une valeur de P, il y a bien sûr au moins 1 valeur S appartenant au groupe des 10 S. Si on en trouve 2, la 3ème condition n'est pas remplie. Inutile de calculer les autres S !
________________________________

Pour S = 17.

« Tableau S = 17 »
//  a et b  //  P  //  Quels sont, pour P, des S possibles ? // Observations
// 2 et 15 // 30 //  17*, 13, 11* // 3ème condition non remplie.
// 3 et 14 // 42 // 23* (2 + 21) // Comme 17 est de toute façon une solution, la 3ème condition n'est pas remplie.
// 4 et 13 // 52 // 26, 17* // 3ème condition remplie
// 5 et 12 // 60 // 32 (2+30), 23* (3+20) // Comme 17 est de toute façon une solution, la 3ème condition n'est pas remplie.
// 6 et 11 // 66 // 35* (2+33) // Idem
// 7 et 10 // 70 // 37* (2+35) // Idem
// 8 et 9 // 72 // 38 (2+36), 27* (3+24) // Idem

Seul P = 52 permet de remplir la 3ème condition. Donc S = 17 et P = 52 permet de remplir la 4ème condition. Les nombres 4 et 13 sont donc une solution de l'énigme.

Faisons une nouvelle série d'observations, de méthode :
Si pour chaque S, on trouve au moins 2 P remplissant la 3ème condition, alors la 4ème condition n'est pas remplie.
Voici une méthode permet de trouver plus facilement un P qui remplisse la 3ème condition. On sait que S est impair, donc entre a et b, l'un est pair et l'autre impair. Donc P est toujours pair. Lorsque nous recherchons, pour un P, les S possibles, commençons par S somme d'un NP et d'un exposant de 2 (hormis 2 lui-même : 2², 23, 24, …). Il n'y aura qu'un seul S impair, donc la 3ème condition sera remplie.
Exemples des tableaux ci-dessus :
Tableau 11 : a = 3 et b = 8 : pour P = 24, S = 11 ou S pair. Donc 3ème condition remplie.
Tableau 11 : a = 4 et b = 7 : pour P = 28, S = 11 ou S pair. Donc 3ème condition remplie.
Tableau 17 : a = 4 et b = 13 : pour P= 52, S = 17 ou S pair. Donc 3ème condition remplie.

Cette méthode permet de réduire considérablement les calculs. Appliquons-là pour les autres S :
__________________________________________


Pour S = 23 :
a = 4 et b = 19 : la 3ème condition est remplie.
a = 8 et b = 15 : on ne sait pas. Passons à la suite.
a = 16 et b = 7 : la 3ème condition est remplie.
A 2 reprises, la 3ème condition est remplie, donc la 4ème condition ne l'est pas. S = 23 n'est pas une solution de l'énigme.



Pour S = 27 :
a = 4 et b = 23 : la 3ème condition est remplie.
a = 8 et b = 19 : la 3ème condition est remplie.
A 2 reprises, la 3ème condition est remplie, donc la 4ème ne l'est pas. S = 27 n'est pas une solution de l'énigme.


Pour S = 29 :
a = 4 et b = 25 : on ne sait pas. Passons à la suite.
a = 8 et b = 21 : on ne sait pas. Passons à la suite.
a = 16 et b = 13 : la 3ème condition est remplie.
Il n'y a pas d'autres solutions du type S = NP + 2n : Recherchons en commençant par a =2, puis 3, etc.… s'il existe un autre P remplissant la 3ème condition.
a = 2 et b = 27 : P = 54. Les S possibles sont : 29* (2+27), 21 (3+18), 15 (6+9).  Il existe donc un seul S appartenant au Groupe des 10 S : la 3ème condition est remplie.
A 2 reprises, la 3ème condition est remplie, donc la 4ème ne l'est pas. S = 29 n'est pas une solution de l'énigme.


Pour S = 35 :
a = 4 et b = 31 : la 3ème condition est remplie.
a = 8 et b = 27 : on ne sait pas.
a = 16 et b = 19 : la 3ème condition est remplie.
A 2 reprises, la 3ème condition est remplie, donc la 4ème ne l'est pas. S = 35 n'est pas une solution de l'énigme.


Pour S = 37 :
a = 4 et b = 33 : on ne sait pas.
a = 8 et b = 29 : la 3ème condition est remplie.
a = 16 et b = 21 : on ne sait pas.
a = 32 et b = 5 : la 3ème condition est remplie.
A 2 reprises, la 3ème condition est remplie, donc la 4ème ne l'est pas. S = 37 n'est pas une solution de l'énigme.


Pour S = 41 :
a = 4 et b = 37 : la 3ème condition est remplie.
a = 8 et b = 33 : on ne sait pas.
a = 16 et b = 25 : on ne sait pas.
a = 32 et b = 9 : on ne sait pas.
Il n'y a pas d'autres solutions du type S = NP + 2n : Recherchons en commençant par a =2, puis 3, etc.… s'il existe un autre P remplissant la 3ème condition.
a = 2 et b = 39 : P = 78. Les S possibles sont : 41* (2+39), 29* (3+26), … Déjà 2 S appartenant au Groupe des 10 S donc la 3ème condition n'est pas remplie.
a = 3 et b = 38 : P = 114. Les S possibles sont : 59 (2+57), 41* (3+38), 25 (6+19). Il existe donc un seul S appartenant au Groupe des 10 S : la 3ème condition est remplie.
A 2 reprises, la 3ème condition est remplie, donc la 4ème ne l'est pas. S = 41 n'est pas une solution de l'énigme.


Pour S = 47 :
a = 4 et b = 43 : la 3ème condition est remplie.
a = 8 et b = 39 : on ne sait pas.
a = 16 et b = 31 : la 3ème condition est remplie.
A 2 reprises, la 3ème condition est remplie, donc la 4ème ne l'est pas. S = 47 n'est pas une solution de l'énigme.


Pour S = 53 :
a = 4 et b = 49 : on ne sait pas.
a = 8 et b = 45 : on ne sait pas.
a = 16 et b = 37 : la 3ème condition est remplie.
a = 32 et b = 21 : on ne sait pas.
Il n'y a pas d'autres solutions du tyne S = NP + 2n : Recherchons en commençant par a =2, puis 3, etc.… s'il existe un autre P remplissant la 3ème condition.
a = 2 et b = 51 : P = 102. Les S possibles sont : 53* (2+51), 37* (3+34), … Déjà 2 S appartenant au Groupe des 10 S donc la 3ème condition n'est pas remplie.
a = 3 et b = 50 : P = 150. Les S possibles sont : 77 (2+75), 53* (3+50), 35* (5+30) … Déjà deux S appartenant au Groupe des 10 S donc la 3ème condition n'est pas remplie.
a = 4 et b = 49 : P = 196. Les S possibles sont : 100 (2+98), 53* (4+49), 35* (7+28), … Déjà 2 S appartenant au Groupe des 10 S donc la 3ème condition n'est pas remplie.
a = 5 et b = 48 : Visiblement il y a beaucoup de solutions possibles, passons au suivant pour éviter des calculs trop nombreux.
a = 6 et b = 47 :  P = 282. Les S possibles sont : 143 (2+141), 97 (3+94), 53* (6+47) Il existe donc un seul S appartenant au Groupe des 10 S : la 3ème condition est remplie.
A 2 reprises, la 3ème condition est remplie, donc la 4ème ne l'est pas. S = 53 n'est pas une solution de l'énigme.



D-/ Conclusion finale :

la solution P = 52 et S = 17, soit a = 4 et b = 13, est la solution unique de l'énigme.

Posté par master_och master_och

Salut Savoie
Merci pour l'effort que t'as mis pour resoudre cette énigme.
Mais dans ton paragraph B t'as dis" S ne peut pas être la somme de 2 nombres premiers, donc S est impair" peux tu m'expliquer cette phrase stp??

Posté par savoie (invité)

Deux éléments de réponse à ta question :

- On sait déjà à ce stade (paragraphe B), que S < 55. Il est facile pour tous les nombres pair X inférieur à 55 de trouver 2 NP (impairs) dont la somme est égale à X.

- Par ailleurs, je me demande s'il n'existe pas une conjecture disant ceci (en dehors des cas triviaux 1, 2, 3, 5):
tout nombre entier pair est la somme de 2 nombres premiers.
tout nombre entier impair est la somme de 3 nombres premiers.

Quelqu'un peut-il me confirmer que cette conjecture existe bien ?  

Posté par master_och master_och

Je crois que t'a raison j'ai fait un program qui verifie ta proposition"tout nombre entier pair est la somme de 2 nombres premiers" est j'ai trouvé qu'elle est vrai pour tout nombre paire inferieur à 100.
revenons à notre sujet :en voyons la longueur de ta demonstration je tiens toujours à dire qu'un programme facilitera beaucoup le travail.
les vérification que t'as fait et à savoir combien de temps ceux ont necessités peuvent être vérifiés par un program en moin d'une seconde c'est comme ci je te dis soit la suite U_ndéfinie ainsie U_n+1=U_n²+U_n et U₀=1 et je te demande de calculer U₁₀₀ un programmeur la calculera en moins d'1 minute alors que quelqun qui veux faire ses calculs manuellement ne pourra calculer U₁₀₀ qu'aprés au moin 1 heure et à savoir s'il s'est trompé ou non.
Mais en tout cas je te remerrcie pour ton effort.

Posté par Youpi Youpi

C'est vrai ce que tu dis Master_och, mais c'est tellement plus gratifiant quand tu as réussi avec seulement un papier un crayon et ton cerveau ! n'est ce pas là tout l'intérêt de chercher à résoudre des énigmes.