Challenge n°161

Posté par puisea puisea

Bonjour, nouvelle énigme :

Une famille est composée de quatre enfants dont les âges sont différents. La somme de l'âge de l'aîné et de l'âge du bejamin est égale à la somme de l'âge des deux cadets. De plus le produit des âges du plus jeune et du plus vieux est égal à la moitié du produit de l'âge des deux autres. Sachant que l'aîné à moins de 25 ans, quelles sont toutes les combinaisons possibles d'âges des enfants de cette famille ?

Bonne chance à tous !

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Il y a 6 solutions qui sont dans l'ordre (de l'ainé au benjamin).

6     4     3     1
12    8     6     2
15    12    5     2
18    12    9     3
20    15    8     3
24    16   12     4

Posté par jacques1313 jacques1313

Je propose les combinaisons suivantes (réponses en années) :

1 3 4 6
2 5 12 15
2 6 8 12
3 8 15 20
3 9 12 18
4 12 16 24

Zut, Nofutur 2 m'a grillé.

Posté par Pierre Carré (invité)

Bonjour !

Les âges des enfants peuvent être

(24,16,12,4)
(20,15,8,3)
(18,12,9,3)
(15,12,5,2)
(12,8,6,2)
(6,4,3,1)

Au plaisir.

Posté par master_och master_och

J'ai trouvé 6 combinaisons les voilà (les ages sont classé par ordre croissant):
1  ,  3 ,  4 , 6

2  ,  5 , 12 , 15

2  ,  6 ,  8 , 12

3  ,  8 , 15 , 20

3  ,  9 , 12 , 18

4  , 12 , 16 , 24

Posté par Youpi Youpi

Voici ma solution (6 cas possibles):

- 1  3  4  6
- 2  6  8  12
- 3  9  12  18
- 4  12  16  24
- 2  5  12  15
- 3  8  15  20

explications: si on note a, b, c, d les quatres âges avec a>b>c>d.
on a+d=b+c    (1)
et ad=bc/2   <=>   bc=2ad    (2)

on élève  (1) au carré:
=>   a²+2ad+ d²=b²+2bc+ c²  
<=>  a²+2ad+ d²=b²+4ad+ c²  
<=>  a²-2ad+ d²=b²+ c²  
<=>  (a-d)²=b²+ c²

donc on cherche du côtés des triplets de Pythagore pour trouver les b, c et (a-d) possibles  (avec a-d<25)
ensuite en revenant au fait que a+d=b+c on trouve les solutions

En éspèrant ne pas avoir oublié de solutions au passage.

Posté par ptitjean (invité)

salut,

Je trouve 6 solutions possibles
encore une fois, merci matlab, j'ai un peu honte d'avoir autant la flemme de chercher une solution papier

1     3     4     6
2     6     8    12
2     5    12    15
3     9    12    18
3     8    15    20
4    12    16    24

Enfin merci pour l'enigme
Ptitjean

Posté par titibzh titibzh

A cet obelix il est vraiment tres fort, mais je sur que c'est idefox qui lui souffle les réponses
Merci pour l'énigme

Posté par artemisfowl II (invité)

il y a 5 possibilités

Posté par geo3 geo3

BONJOUR
Avec Excel on trouve 6 combinaisons possibles:
(1, 3, 4, 6)         ; (2, 6, 8, 12)       ; (2, 5, 12, 15)
(3, 8, 15, 20)      ; (3, 9, 12, 18)     ; (4, 12, 16, 24)

A plus geo3

Posté par jugo jugo

J'ai trouvé 6 possibilités :

>   1    3    4     6
>   2    5   12   15
>   2    6    8    12
>   3    8   15   20
>   3    9   12   18
>   4   12   16   24

_{( Je suppose qu'on parle de nombres entiers d'années )}

Posté par goupi1 (invité)

Bonjour
24  16  12  4
20  15   8  3
18  12   9  3
12   8   6  2
6   4   3  1
Il existe d'autres solutions avec des nombres non entiers ce qui n'est pas demandé explicitement dans l'énoncé. Par exemple
10  7,5  4  1,5 mais je ne pense pas que ce soit ce genre de solutions qu'on demande.

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Si les âges recherchés sont des nombres entiers d'années, on a les 6 solutions suivantes:

1)   6 ans,  4 ans,  3 ans, 1 an
2)  12 ans,  8 ans,  6 ans, 2 ans
3)  15 ans, 12 ans,  5 ans, 2 ans
4)  18 ans, 12 ans,  9 ans, 3 ans
5)  20 ans, 15 ans,  8 ans, 3 ans
6)  24 ans, 16 ans, 12 ans, 4 ans

Cas général (âges non entiers)
Nommons a, b, c, d les âges des 4 enfants, avec a > b > c > d

Supposons a et d connus (25 > a > d)

Là, je triche. Je saute une démonstration laborieuse. En fait il faut que d soit inférieur à a/(3 + 2 racine(2)).
Bon, passons...

Par exemple a = 23 et d = 2

a + d = b + c = 25
a * d = (b * c) /2 = 46

Il reste donc à résoudre:
{ b + c = 25     (i)
{ b * c = 92    (ii)

de (i) on tire b = 25 - c
et (ii) devient (25 - c) * c = 92

Equation du second degré de solution c = 20.516 ou c = 4.484

Dans le 1er cas, b = 4.484 < c donc ne convient pas,
D'où la seule solution : a = 23, b = 20.516, c = 4.484, d = 2

OUF! On a eu de la chance ...
Bon, çà vaut ce que çà vaut.

A+,

Posté par Torpedo (invité)

Salut,

Je propose les ages suivants :

1, 3, 4, 6 ans
2, 6, 8, 12 ans
2, 5, 12, 15 ans
3, 9, 12, 18 ans
3, 8, 15, 20 ans
4, 12, 16, 24 ans

Posté par borneo borneo

Bonjour, je trouve les combinaisons suivantes :

24 16 12 4
20 15 8 3
18 12 9 3
15 12 5 2
12 8 6 2
6 4 3 1

merci pour l'énigme

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

Après avoir calculé C₂₄⁴ = 10626,
j'ai limité ma recherche aux combinaisons a < b < c < d < 25
qui donnaient le même écart d'âge entre le petit cadet et le benjamin ( b - a ),
et entre l'aîné et le grand cadet ( d - c )
car a + d = b + c b - a = d - c
ce qui ramène le nombre de combinaisons à 946.

J'ai ensuite construit quelques combinaisons avec les âges les plus élevés car il y en a peu,
et à la vue de l'allure du rapport ( b.c ) / ( a.d ) et des valeurs des bornes de l'intervalle couvert par ce rapport
(celui recherché étant de 2),
j'ai encore limité mes recherches à un âge pour le benjamin allant de 1 à 4 ans soit 421 combinaisons
car à partir de 5 ans, on obtient tout le temps un rapport inférieur à 2.

Pour éviter de passer en revue les 421 combinaisons, j'ai réduit les différents intervalles en encadrant au plus près le rapport égal à 2.

Je trouve 6 combinaisons :

1  -  3  -  4  -  6
2  -  5  - 12 - 15
2  -  6  -  8  - 12
3  -  8  - 15 - 20
3  -  9  - 12 - 18
4  - 12 - 16 - 24

J'espère ne pas en avoir oublié...

A bientôt, KiKo21.

Posté par philoux (invité)

Bonjour

Réponse proposée : 6 fratries

Méthode proposée :

soit a>b>c>d>0 les quatre âges avec les valeurs maximales : 24>23>22>21

a+d=b+c et ad=bc/2
(a+d)²=(b+c)² et -4ad=-2bc

a²+2ad+d²=b²+2bc+c² et -4ad=-2bc

a²-2ad+d²=b²+c²

b²+c²=(a-d)² => b, c et a-d sont des triplets pythagoriens

Les premiers triplets primitifs sont connus :
A) 3k, 4k et 5k
B) 5k', 12k' et 13k'
C) 8k", 15k" et 17k"

A-k=1
b=3, c=4 et a-d=5 => (a,d)=(6,1),(7,2)
2 quadruplets dont seul (6,1) vérifie a+d=b+c

A-k=2
b=6, c=8 et a-d=10 => (a,d)=(11,1),(12,2),(13,3),(14,4),(15,5)
5 quadrupletsdont seul (12,2) vérifie a+d=b+c

A-k=3
b=9, c=12 et a-d=15 => (a,d)=(16,1),(17,2),(18,3),(19,4),(20,5),(21,6),(22,7),(23,8)
8 quadruplets dont seul (18,3) vérifie a+d=b+c

A-k=4
b=12, c=16 et a-d=20 => (a,d)=(21,1),(22,2),(23,3),(24,4)
4 quadruplets dont seul (24,4) vérifie a+d=b+c

A-k=5
b=15, c=20 et a-d=25 => impossible

-------------

B-k'=1
b=5, c=12 et a-d=13 => (a,d)=(14,1),(15,2),(16,3),(17,4)
4 quadruplets dont seul (15,2) vérifie a+d=b+c

B-k'=2
b=10, c=24 => impossible

-------------

C-k"=1
b=8, c=15 et a-d=17 => (a,d)=(18,1),(19,2),(20,3),(21,4),(22,5),(23,6),(24,7)
7 quadruplets dont seul (20,3) vérifie a+d=b+c

C-k"=2
b=16, c=30 => impossible


En espérant ne pas en avoir oublié : sans être passé par un moyen de calcul (programmation ou excel), y'a des risques...

Merci pour l'énigme,

Philoux

Posté par franz franz

J'ai trouvé 6 solutions :
6,4,3,1
12,8,6,2
15,12,5,2
18,12,9,3
20,15,8,3
14,16,12,4

Posté par aurélb (invité)

4 12 16 24
3 8 15 20
1 2 18 19
3 9 12 18
2 5 12 15
2 6 8 12
1 3 4 6

apres de longues heures d'essais et si je ne me suis pas trompée...
merci pour l'enigme

Posté par manpower manpower

Bonsoir,
^{décidément ce n'est pas le mois où j'ai vraiment le temps de détailler...}

Si on considère que les âges sont tous des nombres entiers, je trouve 6 solutions :

Par ordre décroissant des âges:







Merci pour cette énigme.

Posté par hervé (invité)

bonjour.
Je trouve 6 possibilités :
1   3   4   6
2   5  12  15
2   6   8  12
3   8  15  20
3   9  12  18
4  12  16  24
A+

Posté par vince909 vince909

Bonsoir,

Je trouve 6 combinaisons d'âges possibles pour remplir les conditions décrites dans l'énoncé. De gauche à droite, les âges de l'aîné au benjamin :

6 - 4 - 3 - 1
12 - 8 - 6 - 2
15 - 12 - 5 - 2
18 - 12 - 9 - 3
20 - 15 - 8 - 3
24 - 16 - 12 - 4

Merci pour l'énigme !

Posté par nikole nikole

salut
le probleme revient a une equation du second degre
son delta est la somme de deux carres
comme racine de delta doit etre un entier donc la somme des carres doit etre un carre
c'est le cas de
9+16=25
36+64=100
81+144=225
144+256=400
donc on a 4 cas possibles qui verifient que l'aine a  moins que 25 ans
(1;3;4;6)
(2;6;8;12)
(3;9;12;18)
(4;12;16;24)
merci pour l'enigme

Posté par piepalm piepalm

Je trouve  6 solutions:
6, 4, 3 et 1 ans
12, 8, 6 et 2 ans
15, 12, 5 et 2 ans
18, 12, 9 et 3 ans
20, 15, 8 et 3 ans
24, 16, 12 et 4 ans

Posté par savoie (invité)

Bonjour,

Je trouve les 6 possibilités suivantes (du plus jeune au plus agé):
1 3 4 6
2 5 12 15
2 6 8 12
3 8 15 20
3 9 12 18
4 12 16 24

Merci pour cette énigme.

Posté par infophile infophile

Bonjour

Une étoile, une étoile...

Je trouve couples (a,b,c,d) tel que a>b>c>d avec a l'aîné, b le premier cadet, c le second cadet et d le benjamin :



Je joins la méthode plus tard

Merci pour l'énigme

Posté par Livia_C Livia_C

Les combinaisons possibles d'âges des enfants de cette famille sont:

1, 3, 4, 6

2, 6, 8, 12

3, 9, 12, 18

4, 12, 16, 24

2, 5, 12, 15

Posté par papou_28 (invité)

soit x l'âge du benjamin.
Soit y et z l'âge des deux cadets et t l'age de l'ainé.
x+t=y+z (1)
x*t=1/2*y*z. (2)

(2)==> x= y*z/(2*t)
y*z/(2*t) + t = y+z
y*z + 2t² =2t(y+z)
2t² - 2t(y+z) + y*z =0
d = 4(y+z)² - 4*2*y*z
d= 4(y² + z² + 2*y*z) - 8y*z
d= 4y² + 4z² + 8*y*z - 8*y*z
d=4y²+ 4z²

t1= (2(z+y) + 2racine(z²+y²))/4
t2 = (2*(z+y)+2racine(z²+y²))/4

t1= (z+y+racine(z²+y²))/2
t2 (z+y-racine(z²+y²))/2

par symétrie avec x et t, on obtient (x est solution du même polynome):
t = (z+y+racine(z²+y²))/2
x =(z+y-racine(z²+y²))/2

Ainsi :
t,x,,y,z sont des nombres entiers.
Donc racine (z²+y²) doit être entier.

D'où
y = 3 et z = 4 ==> t=6 et x=1
y= 6 et z = 8 ==> t=12 et x= 2
y= 9 et z =12 ==> t=18 et x = 3
y=12 et z =16 ==> t=24 et x =4
y=15 z = 20 ==> t= 30 c'est trop.....

Les quadruplets (age du benjamin, cadet, cadet, ainé) possibles sont : (1,3,4,6)  (2,6,8,12) (3,9,12,18) et (4,12,16,24)

Posté par petrius (invité)


1) 3 9 12 18
3+18=21
12+9=21
3*18=54
9*12=108
54=108/2
18 < 25

2) 2,6,8,12

2+12=14
6+8=14
2*12=24
6*8=48
24=48/2
12<25
3) 4,12,16,24

4+24=28
12+16=28
4*24=96
12*16*192
192/2=96
24<25

4) 1,3,4,6

1+6=7
4+3=7
1*6=6
4*3=12
12/2=6
6<25

Posté par chardassau chardassau

-  ainé:12          benjamin:1
   cadet(1):3        cadet(2):8

-  ainé:10          benjamin:1
   cadet(1):4        cadet(2):5

-  ainé:10          benjamin:1
   cadet(1):5        cadet(2):4

-  ainé:12          benjamin:1
   cadet(1):8        cadet(2):3

-  ainé:24          benjamin:2
   cadet(1):6        cadet()2:16

-  ainé:20          benjamin:2
   cadet(1):8        cadet(2):10

-  ainé:20          benjamin:2
   cadet(1):10        cadet(2):8

-  ainé:24          benjamin:2
   cadet(1):16        cadet(2):6

Posté par evariste evariste

6 solutionq :
1,3,4,6
2,5,12,15
2,6,8,12
3,8,15,20
3,9,12,18
4,12,16,24

Posté par minkus minkus

Bonjour,

Je trouve 4 quadruplets qui verifient les conditions, a savoir (avec les ages dans l'ordre croissant):

(1;3;4;6) (2;6;8;12) (3;9;12;18) (4;12;16;24)

Les 3 derniers se deduisent du premier en multipliant les ages par 1, 2 ou 3. C'est un peu comme les triplets pythagoriciens quand on en a trouve un on en a une infinite, sauf qu'ici on est limite par 25.

NB:Je trouve la question un peu vague. Il y a 4 groupes d'ages possibles mais si on dit que les enfants s'appellent Pim, Pam,Pom et Poum sans preciser lequel est l'aine etc...et qu'on demande les ages "possibles" des enfants alors les solutions se multiplient car il y a plusieurs repartitions possibles, autrement dit plusieurs bijections de l'ensemble des ages vers l'ensemble des prenoms. Pour chaque quadruplet cela donnerait 4! = 24 solutions donc 4*24=96 en tout.

minkus

Posté par masterfab2 masterfab2

6 4 3 1
12 8 6 2
24 16 12 4

Posté par Sabor-Sophia (invité)

Bonsoir :
Les combinaisons possibles d'âges des enfants de cette famille sont :
4 , 12 , 16 , 24
ou 2 , 6 , 8 , 12
ou 1 , 3 , 4 , 6
(Ce que j'ai pu trouver ...)
Au revoir

Posté par puisea puisea

Merci à tous de votre participation.

Posté par borneo borneo

Merci à toi pour cette énigme, vraiment corsée pour une étoile.
Après avoir cherché la méthode "intelligente" en vain, je me suis tournée vers mon joujou préféré, qui après un peu de moulinage, m'a fidèlement servi toutes les réponses.

Posté par Youpi Youpi

Pourtant il y avait une solution nécessitant très peu de calcul, mais il semble qu'il n'y ai que moi et Philoux qui l'ayons utilisée (ou peut-être d'autres challengers mais ils ne l'ont pas explicité).

Lis le post de Philoux il a beaucoup plus détaillé que moi.

Posté par Youpi Youpi

Par contre je n'ai pas fait comme Philoux en écrivant tous les couples (a,d) possibles, j'ai directement pris ceux qui vérifiés a+d=b+c car il n'y en avait obligatoirement qu'un possible par triplets...

Posté par goupi1 (invité)

Bonjour, comme souvent je confonds vitesse et précipitation et j'ai oublié de relever une réponse. Il faut dire que quand j'ai déjà un poisson, je réponds avec une "désinvolture" coupable.

Posté par borneo borneo

Youpi, quand on voit la solution, on se dit "bon sang, mais c'est bien sûr !!" mais quand on voit les minutes qui passent, et les autres qui répondent, et qu'on a sous la main un instrument capable de trouver les réponses en quelques dizaines de minutes... on craque. Surtout quand on essaye vainement de revenir au classement

D'autant que comme le dit bien Philoux, on n'est jamais sûr d'avoir toutes les solutions.

Posté par minkus minkus

Bonjour,

Tu as raison Youpi. Moi aussi j'ai bien senti le coup des triplets pythagoriciens (cf mon post) mais comme j'ai repondu a l'enigme au boulot entre deux cours je n'ai pas eu le temps de faire tous les calculs et quand j'en ai trouve un (et donc 4 par multiplication) je me suis arrete la.

minkus

Posté par Youpi Youpi

en fait ici on est normalement sûr d'avoir toutes les solutions (mis à part les étourderies possibles) car les nombres (a-d),b,c doivent obligatoirement être  des triplets de pythagore et comme il y a seulement 6 triplets qui conviennent il ne peux y avoir que 6 solutions au plus.

Mais je te rassure il m'arrive d'utiliser Excel lorsque je ne trouve pas d'"astuces" pour résoudre une énigme à la main ou tout simplement pour accélérer les temps de calcul.
Par contre je n'ai jamais recours à la programmation, je laisse ça aux spécialistes.

Posté par Youpi Youpi

Salut Minkus !

Posté par philoux (invité)

En effet, Youpi, je n'ai vu que plus tard cette simplification, qui allégeait quelque peu la résolution

il semble que la réflexion pure revienne en force (cf. remarque de savoie sur un autre post) : ne désespère pas, Youpi, on va y arriver...

Pour borneo : ta remarque va être le couteau qui enfonce la plaie de minkus...

Philoux

Posté par philoux (invité)

oups

minkus a répondu entre temps : salutatoi !

Philoux

Posté par minkus minkus

oui je crois que je vais aller me faire un Hara-kirus

un hara-kirus des hara-kiri

Posté par minkus minkus

salut a tous

Posté par philoux (invité)

non minkus

comme scénario : un hara-kirio des hara-hirii

Philoux

Posté par infophile infophile

Bonjour

Effectivement la méthode mathématiques n'était pas si difficile, j'ai fait plus compliqué :

Soit d l'âge du benjamin, on a pour les autres enfants :

d ; d+x ; d+x+y ; d+x+y+z

avec x,y et z les années d'écarts entre eux.

On sait que benjamin + ainé = cadet + cadet donc:

d+d+x+y+z = d+x+d+x+y

d'où x = z donc d+x+y+z = d+2x+y

Puis en utilisant : benjamin*ainé = cadet + cadet/2, on obtient :

2d*(d+2x+y)= (d+x)(d+x+y)
2d²+d4x+2dy = d²+dx+dy+dx+x²+xy
d²+2dx+dy = x²+xy

Puis en faisant varier x de 1 à 11 ainsi que d, on obtient à la main assez rapidement toutes les possibilités.

Mais il y avait beaucoup mieux

Kévin

Posté par borneo borneo

Certes, mais il y avait aussi beaucoup moins bien...