fonction polynôme 3ème degré

Posté par minium (invité)

bonjour!
je voudrais savoir comment à partir d
j'ai un arc de cercle AI (de parabole) représenté sur [0;2,5] passant par l'origine. Avec les données, j'en ai déduit la fonction f: 0,16x^{[/sup]
J'ai un autre arc de cercle IB (de parabole également) représenté sur [2,5;5] ne passant pas par l'origine. Elle est décallée de 5 vers la droite et de 2 vers le haut. J'en ai alors déduit la fonction g: -0,16(x-5)[sup]}+2 soit -0,16x^{[/sup]+1,6x-2
Les 2 demi-tangentes au point I sont incluses dans la même droite donc ces 2 arcs de cercle sont tangents au point I.
Ensuite, ils nous demandent: "On cherche une courbe du 3ème degré. Déterminer une fonction polynôme du 3ème degré: x-->ax^3+bx[sup]}+cx+d répondant aux conditions précédentes."

Je voudrais savoir comment on fait pour trouver une équation de troisième degré à partir de 0,16x^{[/sup] (comment s'appelle ce genre d'équation?!) et de -0,16x[sup]}+1,6x-2 (équation de second degré)??

merci d'avance!
minium

Posté par minium (invité)

je ne sais pas pourquoi les "carrés" n'ont pas marchés!
donc:
équation du 1er arc: 0,16x² (comment s'appelle ce genre d'équation?!)
équation du 2nd arc: -0,16(x-5)²+2 soit -0,16x²+1,6x-2
équation du 3ème degré: ax³+bx²+cx+d
voilà!
merci et désolée!!

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Bonjour,

Si tu veux de l'aide, je te suggère de poster un énoncé complet et clair.
Tu parles de "paraboles" puis d'"arcs de cercle".
Tu parles de "conditions précédentes", mais on ne sait de quoi il s'agit.
Etc...

Nicolas

Posté par minium (invité)

[le schéma est à la fin!]
Pour faire franchir une marche de 2m de hauteur à des chariots sur une distance horizontale de 5m, on cherche à construire un toboggan. La vue en coupe du toboggan est une courbe qui doit répondre aux contraintes suivantes:
-la courbe passe pas les points A, B et I le milieu de [AB].
-la fonction définissant la courbe obtenue dans le repère orthonormé (A;i,j) est dérivable.
-les demi-tangentes en A et b sont horizontales (pour se raccorder sans angle avec le plan).

1/ On cherche une courbe formée de deux arcs de paraboles AI et IB (arcs).
Déterminer une fonction f répondant aux conditions telle que sa représentation sur [0;2,5] soit l'arc AI.
Déterminer une fonction g répondant aux conditions telle que sa représentation sur [2,5;5] soit l'arc IB.

On considère la courbe C qui est la réunion de deux arcs de parabole.
    Montrer que les deux demi-tangentes au point I sont incluses dans la même droite.

La courbe obtenue convient-elle?

mes réponses à la question 1:
f(x)= 0,16x²
g(x)= -0,16(x-5)²+2 soit -0,16x²+1,6x-2

équation des 2 demi tangentes: y= 0,8x-1
.....................................................
2/ On cherche une courbe du troisième degré.
     Déterminer une fonction polynôme du troisième degré: x--> ax³+bx²+cx+d répondant aux conditions précédentes.

ma réponse à la question 2: ???? je ne comprend pas: quelle est cette courbe? est-ce la même que sur le schéma (est-ce la même que la réunion des 2 arcs)? et comment trouver l'équation?
.....................................................

merci d'avance et désolée de ne pas avoir mis le sujet complet dans mon premier message!

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

La question 2/ est différente de la 1/
On ne parle plus de parabole, mais de 3ème degré.
Tu as 4 inconnues : a, b, c et d.
Et 5 contraintes :
- la courbe passe par A,
- la tangente en A est horizontale,
- la courbe passe par B,
- la tangente en B est horizontale,
- la courbe passe par I

Nicolas

Posté par minium (invité)

euh...je vois pas trop ce que tu veux dire...!
déjà: est-ce que la fonction que l'on doit trouver représente la même courbe que celle du schéma?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Elle doit respecter les 5 conditions de l'énoncé.
(Elle aura donc la même allure que sur le schéma, oui.)

Posté par minium (invité)

ok! mais comment on fait pour trouver une équation de 3ème degré à partir d'une courbe?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Euh... pour la 3ème fois... sers-toi des contraintes de l'énoncé !

Soit y=f(x)=ax^3+bx²+cx+d

- la courbe passe par A : f(0)=0
- la tangente en A est horizontale : f'(0)=0
- la courbe passe par B : f(5)=2
- la tangente en B est horizontale : f'(5)=0
- la courbe passe par I : f(5/2)=1

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Ou, plus astucieux, remarquer que la courbe est probablement symétrique par rapport à I, et la fonction, une fois centrée sur I, impaire.



Avec les contraintes :
- la courbe passe par A :
- la tangente en A est horizontale :

Je trouve alors :


Sauf erreur.

Nicolas

Posté par minium (invité)

où est passé le bx²??

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

J'ai pris comme hypothèse que la fonction, une fois centrée sur I, était impaire. Donc pas de b !

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Je reformule...
L'énoncé te demande une fonction du 3ème degré.

En observant la figure, je rajoute des conditions pour simplifier la recherche.
Je cherche les polynômes du 3ème degré dont la courbe est symétrique par rapport à I
Ils sont nécessairement de la forme :

Posté par minium (invité)

Pourtant, en développant
-4/125(x-5/2)³+3/5(x-5/2)+1
on doit normalement trouvé une équation du 3ème degré de forme ax³+bx²+cx+d non??
et donc j'ai développé et j'ai trouvé:
-4/125x³+6/125x²
(et donc il y a un bx² mais il n'y a pas de cx ni de d!)
J'ai vérifié mon résultat sur la calculatrice graphique et ça marche...

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Où est le problème ?


Nicolas

Posté par minium (invité)

en fait, je ne comprend pas cette formule:
f(x) = a(x-5/2)³+c(x-5/2)+1
comment a tu fais pour trouver ça?
[je ne connais pas les formules du 3ème degré à part ax³+bx²+cx+d]

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75


Je pars de :


En observant la figure, je choisis de chercher les courbes symétriques par rapport à I.
Comment le traduire dans l'expression de ?

Je me place dans le repère
Soit un point.
Soit ses coordonnées dans
Soit ses coordonnées dans
On a :


L'équation de la courbe dans est :




Si la courbe est symétrique par rapport à l'origine dans , cela veut dire que :

doit être un polynôme de degré 3 impair, donc sans terme de degré pair.

Donc :




Nicolas

Posté par matovitch matovitch

J'arrive sans doute un peu tard, mais voila ma solution :

f'(x) = n(x-0)(x-5)
      = nx²-5nx

d'où : f(x) = (n/3)*x^3 - (5n/2)*x²

on résout ensuite : (n/3) * (5/2)^3 - (5n/2) * (5/2)² = 1
                <=> n = - 12/125

On conclut : f(x) = - 4/125 * x^3 + 6/25 * x²

Et voilà !

Ce topic m'a beaucoup aidé, car au départ je croyais que le chariot déscendait la marche (sans schéma), c'était juste, mais à l'envers ^^.

matovitch