Probleme de barycentre

Posté par Loul (invité)

Bonjours à tous

Je suis coincé sur 2 exercice sur les barycentres
Voila l'énoncé du 1er:

Soient A ,B ,C trois points du plan ,, des réels dont la somme n'est pas nulle.
On appelle G le barycentre de (A,),(B,),(C,)

1)Montrer que:M P; MA²+MB²+MC²=(++)MG²+GA²+GB²+GC²

2)Déterminer le lieu des points M du plan tels que:MA²+MB²+MC²=k , k réel donné

3)Application: Soit ABC un triangle rectangle en A avec BC=2a (a +*) et I le milieu du segment BC
a)Montrer que si: (AB)-(GB)-(GC)=(0) alors G est symétrique de I par rapport à A
b) Déterminer et construire :
C={M P | 4MA²-MB²-MC²= -4a² }
Vérifier que A


Pour le 1), en decomposant MA²+MB²+MC² sa me donne =(++)MG²+GA²+GB²+GC² mais je suis pas sur que je peux car ce ne sont pas des vecteurs

Pour le 2) et 3) je vois pas se qu'il faut faire

Voila le 2eme exercice:
On suppose que:++=0

1)Montrer que (MA)+(MB)+(MC)= où est un vecteur constant

2) Montrer que:
MP : MA²+MB²+MC²=2(MA).+AB²+AC²

3) Determiner F défini par
F={MP |MA²+MB²+MC²=k où k est un reél donné }

4)Application:Soit ABC un triangle tel que:
BC=5a  CA=3a   AB=4a  a+*

Déterminer et construire H tel que:
H={MP| MA²+2MB²-3MC²=5a²}

Désolé mais je ne sais pas comment metre les vecteurs
Merci pour tout aide

Posté par Matouille2b Matouille2b

Salut Loul

Pour la question 1 il suffit simplement de remarquer que:
MA^2 = MA.MA et d'introduire le point G dans chacun des vecteurs MA et d'utiliser la bilinéarité du produit scalaire

Pour la qustion 2 il faut utiliser le 1 et étudier selon les valeurs du réel k quel ensemble représente les points M

MA²+MB²+MC²=k
ssi
(++)MG²+GA²+GB²+GC²=k
ssi
MG²=1/(++)(k - (GA²+GB²+GC²))=R

Si R< 0 ie k ... alors l'ensemble des points M st l'ensemble vide

Si R = 0 ie k= ..  alors M=G

Si R > 0 ie k .. alors c'est l cercle de centre G est de rayon R...

Il faudra certainement que tu différencie le cas ou la somme des coefficients est > 0 du cas ou elle est < 0

Posté par Loul (invité)

Bonjour Matouille2b

Merci de ton aide

Je n'ai pas tres bien compris cette partie:

Si R< 0 ie k ... alors l'ensemble des points M st l'ensemble vide

Si R = 0 ie k= ..  alors M=G

Si R > 0 ie k .. alors c'est l cercle de centre G est de rayon R...

Il faudra certainement que tu différencie le cas ou la somme des coefficients est > 0 du cas ou elle est < 0

Posté par Mit (invité)

Bonjour à tous

J'aurai besoin d'aide pour des exercice de DM

Voila l'énoncé:

Soient A ,B ,C trois points du plan ,, des réels dont la somme n'est pas nulle.
On appelle G le barycentre de (A,),(B,),(C,)

1)Montrer que:M P; MA²+MB²+MC²=(++)MG²+GA²+GB²+GC²

2)Déterminer le lieu des points M du plan tels que:MA²+MB²+MC²=k , k réel donné

3)Application: Soit ABC un triangle rectangle en A avec BC=2a (a+*) et I le milieu du segment BC
a)Montrer que si: (AB)-(GB)-(GC)=(0) alors G est symétrique de I par rapport à A
b) Déterminer et construire C :
C={M P | 4MA²-MB²-MC²= -4a² }
Vérifier que A C


Voila pour le 1) j'ai transformer toute les droite en vecteur et en decomposant j'ai reussi a trouvé le resultat

Pour le 2) comme d'apres 1) MA²+MB²+MC²=(++)MG²+GA²+GB²+GC²
alors MA²+MB²+MC²=k
Puis je trouve GM=-(k-GA²-GB²-GC²)/(++)

Pour le 3) je décompose les vecteur et je trouve (GI)=2(AI) donc G est le symetrique de I par rapport à A

Pour le 4) en utilisant le 2) je me retrouve avec GM=2a²+2GA²-1/2GB²-1/2GC² mais je vois pas trop comment faire le cercle comme je ne connais pas les longueur de GA,GB et GC

y'aurai aussi un autre exercice de se type où j'aurai besoin d'aide mais je metrai l'énoncé plus tard

Voila Merci pour tout aide  @++



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Posté par nomis nomis

salut!
1)
=a=b=c
aMG²+2aMG.GA+aGA²+bMG²+2bMG.GB+bGB²+cMG²+2cMG.GC+cGC² = (a+b+c)MG²+2MG.(aGA+bGB+cGC)+aGA²+bGB²+cGC²

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Posté par nomis nomis

et donc
= (a+b+c)MG²+aGA²+bGB²+cGC²


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Posté par nomis nomis

2)
aMA²+bMB²+cMC² =k
<=>(a+b+c)MG²+ aGA²+bGB²+cGC²  = k
<=>(a+b+c)MG² = k - aGA²-bGB²-cGC²  
<=> MG²=(k-aGA²-bGB²-cGC²)/(a+b+c)
<=> MG = (k-aGA²-bGB²-cGC²)/(a+b+c)

M appartient donc a un cercle de centre G et de rayon (k-aGA²-bGB²-cGC²)/(a+b+c)


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Posté par Mit (invité)

Salut

Merci de m'aidé mais j'avais deja fait les question que tu a repondu ^^'

MG = (k-aGA²-bGB²-cGC²)/(a+b+c)
On devrait pas changé de sens pour metre GM a la place de MG???
parce que sinon on prend M comme centre du cercle?
Tu me corrige si je me trompe

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Posté par pgeod pgeod

si MG est une distance, c'est la même chose que GM !

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Posté par garnouille garnouille

c'est une distance entre les deux ponits et donc, MG = GM.....

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Posté par geo3 geo3

Bonsoir
4)AI est la médiane relative à l'hypothénuse => AI=BC/2 = rayon du cercle circonscrit qui passe par A = a  et GI=2a  et GA = a
GM=rac |2a²+2GA²-1/2GB²-1/2GC²| ;  || = valeur absolue   ; rac = racine carrée
Théorème de la médiane dans BGC  => GB² + GC² = GI² + BC²/2 = 4a² + 4a²/2 = 6a² =>
GM=rac |2a²+2GA²-1/2GB²-1/2GC²| = rac |2a² + 2a² - 6a²/2| = rac|a²| = a  =>
le lieu = le cercle de centre G et de rayon a qui passe effectivement par A .

A plus geo3

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Posté par Mit (invité)


Oups en faite j'avais faux dans tout se que j'ai fait

Désoler Nomis d'avoir pensé que t'avai faux

En faite c'etais plus un probleme sur les produits scalaire que sur les barycentre

Merci bcp

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Posté par garnouille garnouille

ceci n'explipe pas celà...
dis où tu en es..
on verra ce qui est possible si on passe par là...
NG

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