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Géométrie : exprimer le côté d un octogone en fonction du rayon
Bonjour,
Voici le problème qui m'est proposé et malgré de nombreuses heures passées dessus, je ne parviens pas à déterminer où réside mon erreur. J'attends donc votre aide.
Soit P un octogone régulier de côté inscrit dans un cercle (c) de rayon R. Exprimer x en fonction de R
Je vous indique dans un premier temps ma construction opur que vous puissiez ensuite vous retrouver dans ma démonstration.
Construction:
Soit le cercle (c) de centre o et [AB] un diamètre de (c). En prenant 2R comme ecartement du compas, en positionnant la pointe de ce dernier sur A puis B et en traçant les arcs de cercle correspondant, j'obtiens la médiatrice au segment [AB]. Elle coupe le cercle (c) en deux points, D et C. Je trace ensuite les bissectrices des angles AÔC, CÔB, BÔD et DÔA. Ces bissectrices coupent le cercle (c) en quatre points E, F, G et H. On obtient l'octogone AECFBGDH.
Démonstration:
Soit OFC un triangle isocèle avec OF=OC=R et CT la hauteur issue de C. De plus, on a TÔC=45°
Aire (FOC)= (OF*CT)/2 avec CT= sin45*R d'où Aire (FOC)=(R²*sin45)/2
Aire (demi-cercle de diamètre [CF])= (Pi*(x/2)²)/2
Aire (c)= pi* R²
D'où : (Pi*R²)/8 = (R²sin45)/2 + (Pi*x²)/8
Pi*R² = 4R²sin45 + Pi*x²
x²=(R²(Pi-4sin45))/Pi
x=(R* Rac(Pi-4sin45))/Rac(Pi)
Il me semble que le réultat à trouver est R*rac(2-rac(2))
Ce que je voudrais surtout comprendre, c'est pourquoi mon raisonnement est incorrect.
Je vous remercie très sincèrement pour votre aide.
Bien cordialement,
Claire
Bonjour, sans entrer dans les détails, il y a une relation simple entre la longueur du côté de l'octogone (la corde), l'angle au centre (360°/8) et le rayon.
ds ton raisonnement je ne vois pas ce que vient faire le cercle de diamètre x????
il ne représente rien par rapport au cercle c; fais ton dessin et représente ce cercle , il "déborde" de c......
bonjour
En exprimant de 2 façons l'aire d'un triangle d'angle au centre O : pi/4
Soit AOE le triangle isocèle en O de rayon R
En projetant E sur OA tu as E' tel que EE'=R/V2 => aire(AOE)=OA.EE'/2=R²/(2V2)
Soit O' le milieu de AE=x => AO'=x/2 et OO'²+AO'²=OA² => OO'=V(R²-(x/2)²)
Aire(AOE)=AE.OO'/2=(x/4).V(4R²-x²) avec x<2R
AInsi :
R²/(2V2)=(x/4).V(4R²-x²) => (V2)R²=xV(4R²-x²) => 2R^4=x²(4R²-x²) => (x²)²-4R²x²+(1/2)(2R²)²=0
(x²)²-2(2R²)x²+(1/2)(2R²)²=0
(x²)²-2(2R²)x²+(2R²)²-(1/2)(2R²)²=0
( x²-2R² )²-2(R²)²=0
(x²-2R²-R²V2)(x²-2R²+R²V2)=0
x²=R²(2-V2) puisque x<2R
x=RV(2-V2)
Vérifie...
Philoux
"ds ton raisonnement je ne vois pas ce que vient faire le cercle de diamètre x????
il ne représente rien par rapport au cercle c; fais ton dessin et représente ce cercle , il "déborde" de c......"
Mascate,
Je t'ai mis un schéma de mon dessin.Pour moi, le demi-cercle de diamètre x correspond à la partie qui déborde du triangle FOC et qui est incluse dans le cercle. Ainsi, l'aire du cercle divisée par 8 sera égale à l'aire du triangle + aire de du demi-cercle de diamètre x. X correspondant à la longueur d'un côté du polygone.
Je suis vraiment désolée mais je ne comprends pas pourquoi cela ne convient pas. J'attends vos explications avec impatience.
Claire
si tu prends :
* mon explication de 12:51,
* ton dessin de 13:41,
et si tu remplaces mes C, B, T par respectivement mes A, E, E'
et appelles O' le milieu de BC
Tu as, sauf erreur, l'explication...
Philoux
pardon
et si tu remplaces mes A, E, E' par, respectivement, tes C, B, T
Philoux
En projetant E sur OA tu as E' tel que EE'=R/V2 => aire(AOE)=OA.EE'/2=R²/(2V2)
bonjour philloux,
dès le début, je coince; pourquoi EE' n'est pas égal a (R*racine(2))/2 autrement dit à R*sin 45?
merci
Oui claire
je te rappelle que ton "R*racine(2))/2" est égal à mon "R/V2" 
car (V2)/2 = 1/V2...
Philoux
Merci pour ces précisions.
Je poursuis ma réflexion et te tiens informé de mon avancement...
Soit O' le milieu de AE=x => AO'=x/2 et OO'²+AO'²=OA² => OO'=V(R²-(x/2)²)
Aire(AOE)=AE.OO'/2=(x/4).V(4R²-x²) avec x<2R
Pourquoi aire (AOE) est (x/4).V(4R²-x²)et non (x/4).V(R²-x²)
Je ne vois pas d'où sort le 4 dans la deuxième parenthèse.
N'hésite pas à me dire si tu en a assez de mes questions...
Oups, "si tu en as"...
Pardon pour l'othographe
R²-(x/2)² = R²-x²/4 = (1/4)(4R²-x²)...
N'hésite pas à me dire si tu en a assez de mes questions...
Pas de souci, Mahclaire, pour au moins 2 raisons :
* on voit que tu cherches à comprendre en reprennant les explications fournies,
* tu t'exprimes très bien et c'est agréable à lire (ça change de beaucoup sur l'île, avec le "sms"...)
Philoux
Bonjour mahclaire, ton petit exo sent le concours de PE...
Ce qui me met sur la voie : c'est là qu'on rencontre des gens qui maîtrisent mieux la langue française que les maths
PE1 ou PE2 ?
Bonjour
Je prépare le concours d'entrée en PE2. J'étais déjà en PE1 l'an passé mais ai échoué le concours aux oraux. Normalement, je suis plus matheuse que littéraire mais il est vrai que sur les exercices qui me sont proposés mon côté de matheuse ne saute pas aux yeux.
Prépares-tu également le concours? Es-tu en PE2?
A bientôt
Sans m'immiscer, le "PE" c'est quoi ?
Première Embauche ?
ok, je sors...
Philoux
mahclaire, je suis de l'autre côté de la barrière. J'ai passé le concours de PE il y a quelques années, après une première carrière intéressante, mais trop prenante.
J'ai eu mon concours sans faire de PE1, en le préparant avec le CNED, car je travaillais en même temps.
Dans ce concours, il faut avant tout du bon sens. Comme j'ai deux enfants, ça m'a aidée à voir les problèmes concrètement.
Tu es à la bonne adresse pour te faire aider en maths
Prof des écoles
Ceux (et surtout celles) qui apprennent à lire et compter à nos chères têtes blondes. Un concours qui recrute à bac plus 3, plus une année de préparation (appelée PE1). Depuis la réforme, c'est un job où on est aussi bien (ou aussi mal 
) payé que prof certifié. Ce qui explique que ça intéresse de plus en plus de monde... car la violence n'est tout de même pas aussi flagrante dans une école maternelle que dans un collège de ZEP.
Voilà, c'est fini... Je suis parvenue à comprendre ton raisonnement et te remercie très sincèrement pour ton aide. Sans toi, je ne serais pas parvenu au résultat. Il va tout de même me falloir veiller à respecter les règles de calcul lors du concours de professeur des écoles.
J'ai néanmoins une dernière question à te poser:
comment montrer que deux nombres sont invesement proportionnels?
Prenons un exemple :
-s'il y a 40 personnes, chacune payera 3 euros
-s'il y a 50 personnes, chacune ne payera alors que 2.40 euros.
Soit, si le nombre t recherché est le prix payé par personne lorsque celles-ci sont au nombre de 50, on a t=(40*3)/50
Il me semble cependant être ici dans un cas particulier puisque, dans les deux cas, la somme totale d'euros versée est identique, soit 120 euros
Comment procéder alors pour déterminer si x est inversement proportionnel au nombre de côtés de P?
Merci
Oui claire
dire que 2 nombres sont inversement proportionnels signifie que leur produit vaut un
Quel est l'énoncé exact reliant x à P ?
Philoux
Voici l'énoncé:
Soit P un polygone régulier(il s'agit en l'occurence de l'octogone).
L'affirmation suivante est-elle vraie : x est inversement proportionnel au nombre de côtés de P. Justifiez
Je dois t'avouer que je ne saisis pas bien l'énoncé :
J'ai pris 4 exemples :
* un triangle, n=3, x=RV3
* un carré, n=4, x=RV2
* un hexagone, n=6, x=R
* un octogone, n=8, x=RV(2-V2)
On constate effectivement (et celà se conçoit intuitivement *) que si n croît, x décroît;
En revanche, pour le justifier, je laisse la main à d'autres GM plus compétents...
Bon courage à toi !
Philoux
Si le nombre n tend vers l'infini, le polygone devient un cercle et le côté du polygone tend vers zéro...
Encore un grand merci pour ton aide. Je vais donc poster ma dernière question dans un nouveau topic afin que d'autres personnes puissent la lire...
bien cordialement,
Claire
Tu peux laisser ta question ici en reformulant très clairement ta requête afin d'éviter aux GM de tout lire depuis le début (mets ainsi ta question concise en gras)
Philoux
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