Challenge n°172 : Sommes

Posté par puisea puisea

Bonjour,

On donne la somme: 1 + 2 +  ..... + 99 + 100 des nombres entiers de 1 à 100.

Si, dans cette somme, on supprime des signes d'addition (en remplaçant, par exemple, 5 + 6 par 56, ou 10 + 11 + 12 par 101112), on obtient une nouvelle somme.

Quel est le nombre minimum de signes d'addition qu'il faut supprimer pour obtenir un total de 9876 ?

Si vous pensez que cela est impossible, répondez 0.

Bonne chance à tous

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Si on accole deux nombres (quelque soit leur nombre de chiffres), on obtient un nombre dont la différence avec la somme des deux nombres précédents est un multiple de 9.

Exemple :
Soit le nombre X et le nombre Y de n chiffres.
Si on accolle X et Y, on obtient Z=X.10ⁿ+Y.
Z-(X+Y) = X(10ⁿ-1) qui est bien un multiple de 9.

Cette propriété ne dépendant pas des nombres à accoler, elle s'étend de manière évidente à la suppression de plusieurs signes « + » consécutifs.

Ici la somme des nombres de 1 à 100 est égal à 5050 et la somme à atteindre 9876, soit 4826 de plus.
Ce nombre n'est pas un multiple de 9….
Il est donc impossible de trouver une solution.
Ma réponse est donc 0.

Posté par borneo borneo

Bonjour, ma réponse est 0 problème impossible.

En effet, la somme normale = 5050

la somme voulue est 9876 donc on ajoute 4826

chaque fois qu'on retire un +, on ajoute un multiple de 9 ou de 99 (qui est un multiple de 9)
Or 4826 n'est pas un multiple de 9. Donc on ne peut pas y arriver.
Merci pour l'énigme

Posté par vince909 vince909

Bonjour,

Je pense qu'il est impossible d'obtenir 9876, et donc ma réponse est O.

Explication à suivre...

Posté par borneo borneo

Complément d'explication : quand on retire un + dans les nombres à 1 chiffre, entre n et n+1 on fait + n*10 + n+1 - n - n+1 c'est à dire + 10n - n = +9n

Pour un nombre à 2 chiffres, on fait + n*100 + n+1 - n - n+1 = + 100n - n = + 99n

Et là je me voyais partie pour une équation diophantienne de 9x + 99y mais j'ai réalisé que ça faisait 9*(x + 11y) c'est à dire un multiple de 9

pour trois nombres consécutifs à 1 chiffre, on fait + 100*n + 10*(n+1) + (n+2) - n - (n+1) - (n+2) = aussi un multiple de 9.

Et ainsi de suite.

Posté par manpower manpower

Bonjour,

, donc pour obtenir une somme de 9876 il faut augmenter la précédente de 4826.
Examinons les substitutions possibles:

En remplaçant la somme de deux chiffres a+b par ab on augmente la somme d'un multiple de 9 (ab=9a+(a+b))
et en remplaçant la somme de deux nombres (à deux chiffres) c+d par cd on augmente la somme d'un multiple de 99 (cedf=99(ce)+c+e+d+f)).
En combinant ces substitutions, on doit avoir une égalité (de Bezout) du type avec x et y entiers.

Reste à étudier les subtitutions de 3 et 4 chiffres consécutifs
Pour 3 chiffres consécutifs, abc=100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)
donc ce type de remplaçant génère une augmentation encore "multiple" de 99 et 9.
Pour 4 chiffres consécutifs, abcd=1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+(a+b+c+d)
donc ce type de remplaçant génère une augmentation "multiple" de 999, 99 et 9.

Ainsi le problème se résume à trouver 3 nombres entiers a,b,c vérifiant
ce qui finalement sans chercher à dénombrer les changements
se résume à trouver un entier n tel que ce qui est . (donc )

N.B.: Au passage on a comme résultat une condition nécessaire (suffisante?)
pour le problème plus général (somme de 1 à n pour atteindre un entier N): est divisible pour 9.

Merci pour l'énigme.

Posté par Livia_C Livia_C

Bonjour,
Réponse:0
Merci pour l'énigme.

Posté par prof2 (invité)

Je pense que cela est impossible, donc 0.
La somme initiale est S = 5050 et la nouvelle somme S'=9876.
Si on efface un seul signe + , on remplace dans S deux nombres entiers naturels consécutifs n et n+1 par un nouvel entier N, et alors S'= S+N-(2n+1) ce qui équivaut à
4826+(2n+1)= N : or, 0<n100, on en déduit que 4827<N5027, cela offre deux possibilités: N=4849 ou 4950, donc n =48 ou 49, on vérifie que ces nombres ne conviennent pas;
Effacer un seul signe + ne convient donc pas.

Si on efface deux signes +, on remplace dans S trois nombres entiers naturels cosécutifs n, n+1 et n+2 par un nouvel entier N, et alors S'= S+N-(3n+3) ce qui équivaut à
4826+(3n+3)= N : or, 0<n100, on en déduit que 4829<N5129, donc pas de solution.
Effacer deux signes + ne convient donc pas.

Si on efface trois signes +, on remplace dans S quatre nombres entiers naturels cosécutifs n, n+1,n+2 et n+3 par un nouvel entier N, et alors S'= S+N-(4n+6) ce qui équivaut à
4826+(4n+6)= N : or, 0<n100, on en déduit que 4832<N5232, donc pas de solution.
Effacer trois signes + ne convient donc pas.

Si on efface, à partir d'un entier n de la somme S, un nombre k de signes +, k étant supérieur ou égal à 4, alors l'entier N qui remplace les k entiers n, n+1,..., n+k-1, aura au moins cinq chiffres, donc N sera supérieur à 10000, mais comme on a: 4826+n+(n+1)+...+(n+k-1)=N et que n +(n+1)+...+(n+k-1)5050, alors N9876, donc c'est impossible.

Posté par evariste evariste

réponse : 0
Il n'y a pas de solution avec 9876.
Une condition nécessaire pour qu'il y ait une solution pour un nombre N fixé est que N-5050 soit divisible par 9.

Posté par piepalm piepalm

La somme initiale vaut 5050 ; lorsque l'on supprime un signe+, on augmente la somme d'un multiple de 9 (puisque l'on retire le nombre qui précède le signe + et on le rajoute 10^n fois, n nombre de chiffres du nombre après le signe + enlevé.
Or 9876-5050=4826 n'est pas multiple de 9 le problème est donc impossible et la réponse 0

Posté par geo3 geo3

Bonsoir
La réponse est
Je pense que c'est impossible.
Voici un soupçon de justification;
; 9876-5050 = 4826 non divisible par 9
*
supprimer 2 + consécutifs pour des nombres au delà de 10 ce n'est pas possible car pour le + petit 101112 > 9876
*
supprimer le + entre k et k+1 pour k<10 dont la différence = 10k+k+1 - (k+k+1)= 99k  divisible par9
supprimer le + entre j et j+1 pour j>9 dont la différence = 100j+j+1- ( j+j+1) = 99j divisible par 9
*
supprimer les 2 + entre j-1,j,j+1 pour j<10 dont la différence = 100(j+1)+10j+j+1 - (j-1+j+j+1)= 108j+99 = 9.(12j-11)  divisible par9
*
*supprimer les  3+ entre i,i+1,i+2 et i+3 pour k<10 dont la différence = 1000i+100.(i+1)+10.(i+2)+i+3 - (i+i+1+i+2+i+3)= 1107i+117 =
9.(123i+13)  divisible par9

Jusqu'ici quand dans la question il était dit "Si vous pensez que c'est impossible dites-le" mais ça ne l'était pas.
Ici je pense que ça l'est. On verra.

A plus

Posté par lulu83 lulu83

je dirai 0

Posté par savoie (invité)

Bonjour,

Je propose 0, correspondant à la réponse « impossible »

En effet 1+2+…+100 = 5050
Dès que l'on procède à la manip proposée, faisant disparaître un ou plusieurs signes d'addition, même en plusieurs endroits de l'énumération, le nouveau nombre N trouvé est égal à 5050 + un multiple de 9.
N = 5050 + 9 * n
Or 9876 - 5050 = 4826 n'est pas multiple de 9. Le problème est impossible à résoudre.

Merci pour cette énigme.

Posté par minusc minusc

Bonjour

Première remarque, 1+2+...+100=5050

   Ainsi, si le nombre minimal etait de 1 suppression d'un signe somme, alors il faudrait rajouter 4826. Mais si on supprime ce signe + entre le 48 et 49, alors la somme vaut 5050+4849-48-49=9802, si on le supprime entre le 49 et le 50, alors la somme vaut 5050+4950-49-50=9901...
Il faudrait donc enlever au minimum deux signes + si cela était possible

   Mais on peut remarquer que lorsque on supprime un signe +, alors on rajoute un multiple de 9.
Si 0 <  a < 9 : Somme+10a+(a+1)-(a+a+1)=Somme+9a
Si 9 <= a < 100 : Somme+100a+(a+1)-(a+a+1)=Somme+99a

   Et cette remarque reste valable quel que soit le nombre de signe + retirés à la suite...

Or 9876-5050=4826, qui n'est pas un multiple de 9.

Je pense donc qu'il n'est jamais possible d'obtenir 9876, quel que soit le nombre de signe + que l'on retire...
Ma réponse est donc 0.


(J'espère que je vais éviter le poisson des enigmes à plus de 3étoiles, çà me changerait !! )

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

Je pense que cela est impossible donc ma réponse est 0

1+2+3+...+98+99+100 = n(n+1)/2 avec n=100 soit 5050
Pour atteindre 9876, il faut ajouter 4826.
Chaque fois qu'un signe + est enlevé, cela revient à ajouter un multiple de 9 ( de la forme 10n+(n+1) - (n+(n+1)) = 9n ).
C'est la même chose pour plusieurs signes + consécutifs, on rajoutera 9n + 99(n-1) + 999(n-2) .....
Or 4826 n'est pas un multiple de 9 donc c'est impossible.

A+, KiKo21.

Posté par master_och master_och

Je viens de verifier tous les cas (à l'aide d'un programme biensûre)où le nombre de + à supprimer est inferieur à 10(car si le nombre de plus à supprimer est >= 10 on aura des sommes à n chiffre où n>4 donc on pourra pas obtenir 9876) et je n'ai trouvé aucun cas qui donne 9876.

Donc je pense bien que c'est impossible et ma réponse sera donc 0.

Posté par sylac (invité)

je repondrais 0 à causa du fait que ça se finis par 6

Posté par benitoelputoamo benitoelputoamo

Bonjour,

0. C'est impossible

Merci pour l'énigme

Posté par jacques1313 jacques1313

Ma réponse sera 0.

En effet, en enlevant des + consécutifs, on rajoute un multiple de 9 à la somme. Or, La différence entre 9876 et la somme (5050) et n'est pas un multiple de 9.

Posté par caylus caylus

Bonjour,
Cela est impossible, et je réponds.



Je dis impossible car 9876-5050= 4826 qui n'est pas un multiple de 9.

En effet,  soit les nombres consécutifs a,b,c,d,e

On remplace a+b+c+d+e par abcde
a.10^4+b.10^3+c.10^2+d.10+e -(a+b+c+d+e)
=a(10^4-1)+b(10^3-1)+c(10^2-1)+d(10-1)+e-e
=a.9.(10^3+10^2+10^1+1)+b.9.(...)+...
=9* ... : multiple de 9

Posté par cohlar cohlar

0... j'espère que ça ne me vaudra pas encore un poisson

Posté par PMP1 (invité)

ça me semble un peu trop facile mais je dirais que c'est impossible parce que la somme de départ ayant la valeur de 5050, il faut lui ajouté 4826.
On remarque que (je ne sais pas q'il existe un théorème pour cela) les nombres comme 12-1-2, 23-2-3..., sont tous des multiples de 9. 4826 n'étant pas un multiple de 9, je pense qu'il n'y a pas de solution.

Ma réponse est donc 0

Posté par chaudrack chaudrack

Bonjour à tous!

Alors, si on enlève une addition pour la remplacer par la jonction entre 2 chiffres (ou nombres) consécutifs, on obtient plusieurs équations possibles:

1ère possibilité: on enlève 1 addition: elle sera enlevé sur 2 nombres consécutifs > 9 (sinon, c'est insuffisant!)

comme la somme des 100 premiers entiers = 5050,on a alors

5050 + (100x + (x+1)) - x - (x+1) = 9876
soit x = 48.74 ce qui est impossible puisque ce n'est pas un entier!

2ème possibilité: on enlève 2 additions: Hypothèse 1: elle sera enlevé sur 2 * 2 nombres consécutifs > 9

5050 + (100x + (x+1)) - x - (x+1) + (100y + (y+1)) - y - (y+1)= 9876

soit y = -x + 48.74 ce qui est impossible puisque y ne peut pas être un entier!

3ème possibilité: on enlève 2 additions: Hypothèse 2: elle sera enlevé sur 2 nombres consécutifs > 9 et 2 < à 9

5050 + (100x + (x+1)) - x - (x+1) + (10y + (y+1)) - y - (y+1)= 9876

soit y = -11x + 536.22 ce qui est impossible puisque y ne peut pas être un entier!

Si on continue sur la même base de raisonnement, on s'apperçoit qu'a chaque fois, le nombre 4826 (soit 9876 - 5050) doit être divisible ou par 9, ou par 99 ce qui ne tombe jamais juste. Je pense ainsi qu'il n'y a pas de solution pour cette énigme et donc

Ma réponse est 0.

Posté par philoux (invité)

Bonjour

Réponse proposée : 0 car aucune possibilité de suppression de signes "plus" ne permet d'obtenir 9876.

Résolution proposée :

La somme initiale vaut S1 = 1+...+100 = 5050

Ôter un/des signe(s) "plus" consiste à retirer la/les somme(s), A, des nombres agglomérés et à ajouter le/les nouveau(x) nombre(s), B, constitué(s) par agglomération(s).

Comme S1 = 5050 et S2 = S1-A+B = 5050+B-A = 9876

B-A = 4826 = 2.19.127 (4826 n'est pas un multiple de 9)

Envisageons les différents cas d'agglomération.

A) 2 nombres agglomérés (p) et (p+1)

Distinguons p inférieur ou égal à 8 et p supérieur ou égal à 9

A-1) p <= 8
A=p+p+1=2p+1 et B=10p+p+1=11p+1 => B-A=9p
Comme 4826 n'est pas divisible par 9 et que, de plus, 9p<72, 4826 n'est pas atteignable.

A-2) p>=9
A=p+p+1=2p+1 et B=100p+p+1=101p+1 => B-A=99p
Comme 4826 n'est pas divisible par 9 (et donc 99), 4826 n'est pas atteignable.
A noter que 99p < 4826 => p<49 donc le cas 99100 n'est pas à étudier.

A-3) Somme de plusieurs agglomérations de 2 entiers
Sommer deux ou plusieurs agglomérations de 2 entiers consiste à sommer des multiples de 9 qui doivent être égaux à 4826, ce qui n'est pas possible.

B) 3 nombres agglomérés (p), (p+1) et (p+2)

Distinguons p inférieur ou égal à 7 et p supérieur ou égal à 8

B-1) p <= 7
A=p+p+1+p+2=3p+3 et B=100p+10(p+1)+p+2=111p+12 => B-A=108p+9=9(12p+1)
Comme 4826 n'est pas divisible par 9 et que, de plus, 9p<72, 4826 n'est pas atteignable.

B-2) p> = 8
A=3p+3 et B>=8910 => B-A > 8883 trop élevé, 4826 n'est pas atteignable.

B-3) Somme de plusieurs agglomérations de 2 ou 3 entiers
Sommer deux ou plusieurs agglomérations de 2 ou 3 entiers consiste à sommer des multiples de 9 qui doivent être égaux à 4826, ce qui n'est pas possible.

C) 4 nombres agglomérés (p), (p+1), (p+2) et (p+3)

Distinguons p inférieur ou égal à 4 et p supérieur ou égal à 5

C-1) p <= 4
A=p+p+1+p+2+p+3=4p+6 et B=1000p+100(p+1)+10(p+2)+p+3=1111p+123 => B-A=1107p+117=9(123p+13)
Comme 4826 n'est pas divisible par 9, 4826 n'est pas atteignable.

C-2) p> = 5
A=4p+6 et B>=5678 => B-A > 5652 trop élevé, 4826 n'est pas atteignable.

D) 5 nombres agglomérés sont impossibles car B-A>12345-15 supérieur à 4826.

Donc, sauf erreur, 9876 n'est pas accessible par des suppressions de signes "plus".

Merci pour cette énigme sympa qui pouvait aussi se résoudre autrement qu'à la main...

Pour info, à moins qu'elle soit encore cloturée ou déjà résolue, une extension à cette énigme est la JFF : Somme toute, j'en suis retourné...:*::*::*:

Philoux

Posté par wiat (invité)

C'est impossible (0)
En effet, la somme de 1 à 100 n'est pas multiple de 3, alors que 9876 l'est.

Posté par Torpedo (invité)

Salut !

Je réponds 0 car il me semble qu'il n'y a pas de solution. En effet, 9876-5050 n'est pas un multiple de 9. (5050 est la somme de départ 5050 = 1+2+...+99+100)

Or il me semble que l'opération qui consiste à enlever des signes d'addition à la somme de base de la façon décrite dans l'énoncé conduit à incrémenter cette somme d'une valeur qui est toujours un multiple de 9.

Par exemple si on rassemble deux termes : 13 + 14 devient 1314 = 13 + 14 + 99*13
Trois termes : 8 + 9 + 10 devient 8910 = 8 + 9 + 10 + 999*8 + 99*9 = 8 + 9 + 10 + 9*(111*8 + 11*9)
Et ainsi de suite.

A++ et merci pour cette énigme !

Posté par pmoon pmoon

Bonjour à tous,
je suis un petit nouveau !
Pour l'enigme proposée, ma réponse est 0 (pas de solution)
En effet 9878 - 5050 = 4828, qui n'est pas un multiple de 9. Or, en utilisant un tel procédé, la différence avec la somme des 100 premiers entiers est forcémment un multiple de 9.
Bravo pour les énigmes !

Posté par sebisp (invité)

un seul entre 97 et 98

Posté par aurélb (invité)

pour moi, c'est impossible, donc réponse 0

Posté par Dcamd Dcamd

Je tente sans être vraiment certain lol    0

Posté par chanty (invité)

Bonjour à tous.

Bon, vous allez dire que c'est la solution de facilité, mais je répondrai 0.
Pas 0 addition bien sûr, mais je pense que c'est impossible qu'on tombe sur 9876.
C'est pas du pif mais mon raisonnement est un peu trop long alors j'ai un peu la flemme de l'écrire, d'autant que je n'utilise pas le Latex.

Merci pour l'énigme.

Posté par celinenounours (invité)

Réponse : 0

La somme des nombres entiers de 1 à 100 fait 5050. Pour trouver une somme égale à 9876, il faut s'arranger pour additionner 4826 et c'est là que le bas blesse !!!!

J'appelle S la somme des nombres entiers de 1 à 100
Dès qu'on fait un regroupement de deux chiffres, on additionne un nombre multiple de 9
par ex. 910, on additionne 891 par rapport à S (910-10-9=891) avec 891 = 9 x 99
ou 3132, on additionne 3069 par rapport à S (3132-32-31=3069) avec 3069 = 9 x 341

Lorsqu'on fait un regroupement de trois chiffres, on additionne un nombre multiple de 9
Par ex. 123, on additionne 117 par rapport à S (123-3-2-1=117) avec 117 = 9 x 13
ou 789, on additionne 765 par rapport à S (789-9-8-7=765) avec 765 = 9 x 85

Lorsqu'on fait un regroupement de quatre chiffres, on additionne un nombre multiple de 9
Par ex. 3456, on additionne 3438 par rapport à S (3456-6-5-4-3=3438) avec 3438 = 9 x 382

On ne peut pas faire d'autres regroupement. On a donc des regroupements qui sont tous multiples de 9 or il nous manque 4826 pour obtenir 9876 qui n'est pas un multiple de 9. C'est pourquoi il n'y a aucune combinaison de regroupement(s) qui puisse nous permettre d'obtenir 9876.

Posté par Delool (invité)

Bonjour et merci pour l'énigme qui m'a fait chercher pendant un bon moment.
J'ai déjà essayer de faire un programme sur ma calculatrice
(je n'ai que ça comme logiciel de calcul formel)
Comme ça prenait beaucoup trop de temps, je m'y suis mis à la main.
J'ai donc découvert le pot au rose :

1+2+3+...+100=5050
Or on veut 9876. Il faut donc additionner 9876-5050=4826.
On remarque que ce nombre n'est pas un multiple de 9.
Et toute l'astuce est là !!!

A chaque fois que l'on enlève un signe +, cela revient à ajouter un certain multiple de 9 à la somme initiale.
Par exemple, 34-3-4 est un multiple de 9.
De même, 1516-15-16 est un multiple de 9 (etc).

J'en conclus donc qu'il n'y a pas de solution.

Ma réponse est 0.

Posté par infophile infophile

Bonjour

Je répond 0 (je joins la méthode plus tard)

Posté par Cauchy Cauchy

La somme de depart est de 5050 et il faut obtenir 9876 donc il faut rajouter 4826 pour arriver au resultat.Or les opérations autorisées permettent de rajouter des multiples de 9 et 4826 n'est pas divisible par 9 donc cela est impossible je repond 0.

Posté par masterfab2 masterfab2

pas possible 0

Posté par pretty_nana10 pretty_nana10

Salut,

moi je réponds : 0

en espérant que ce soit la bonne réponse , j'ai réussi à arriver à 9865, mais c'est le maxi ... en supprimant 3 additions ....

Bye

Posté par vince909 vince909

Bonsoir,

Je profite de l'accalmie du forum des énigmes pour poster quelques explications quand au résultat que j'ai proposé samedi (à savoir qu'on ne peut pas obtenir un total de 9876).

Tout d'abord, constatons que lorsqu'on retire un de l'expression de la somme, on ajoute un multiple de 9 à la valeur de cette somme.
Si on retire le signe entre les nombres et , on obtient selon :

Si , on obtient .
Si et , on obtient .
Si , on obtient .

Bon, en retirant un , on va finalement ajouter le nombre obtenu en concaténant et , mais on va également retirer ces derniers de la somme. Donc au final :

Si , on ajoute .
Si et , on ajoute .
Si , on ajoute .

Donc dans tous les cas on ajoute un multiple de 9 à la somme !

Si on retire deux non consécutifs, le premier va ajouter et le second va ajouter , donc au total on va ajouter . Encore un multiple de 9.

Si on retire deux consécutifs, le premier va ajouter le nombre , et le second va ajouter avec (ou ou selon la position de ce . Donc on ajoute là encore un multiple de 9.

Donc, modifier l'expression de la somme en retirant des lui ajoute globalement un multiple de 9. Or, l'expression initiale de la somme donne une valeur de 5050 (on a ).

Pour arriver à 9876, il faut donc ajouter 4826 à cette somme. Or, 4826 n'est pas divisible par 9, donc il n'est pas possible d'ajouter ce nombre à la somme en retirant des . Donc, il n'est pas possible d'obtenir 9876 !

Merci pour l'énigme !

Posté par lilouf lilouf

Bonjour,

Je réponds à l'énigme sans conviction :
je dirai 0
j'ai gagné un , non ?

Tanpis le principal c'est de participer !!!!


Bonne journée !
Lilouf

Posté par ramilina (invité)

0

Posté par minkus minkus

Bonjour à tous,

Comme Gauss l'avait trouvé en deux minutes à l'âge de 10 ans, la somme des nombres de 1 à 100 est 5050. Il faut donc réussir à augmenter cette somme de 4826.

Or, comme qqun ici l'avait déjà expliqué pour une autre énigme, toute suppression de signe augmente la somme d'un multiple de 9. La différence 4826 n'étant pas multiple de 9, cela s'avère impossible.

Ma réponse est donc 0, problème impossible.

Sauf erreur,

minkus

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

La somme des nombres de 1 à 100 vaut 100*101/2 = 5050.

Chaque fois que l'on supprime un signe +, on ajoute à ce total un multiple de 9.
Par exemple, remplacer 50+51 par 5051, revient à remplacer 50 par 5000, c-à-d ajouter 99*50 = 9*11*50.
De même, remplacer 8+9+10 par 8910, revient à remplacer 8 par 8000 et 9 par 900 (+7992 et +891, tous deux multiple de 9).

Or, 9876-5050 = 4826 qui n'est pas multiple de 9. Donc, pas de solution, la réponse est: 0.

A+,
gloubi

Posté par jugo jugo

La somme des entiers de 1 à 100 vaut 5050.
La différence entre 9876 et 5050 vaut 4826.

Hors, à chaque fois qu'on supprime un signe d'adddition, on augmente la somme d'un nombre multiple de 9 :

si on supprime le signe entre n et n+1, la somme devient :
S - n + 10n = S + 9n    si n+1<10 ou
S - n + 100n = S + 99n    si n+1>=10

Il en va de même si on supprime plusieurs signes consécutifs.

Comme 4826 n'est pas divisible par 9, il n'y a pas de solution.

réponse : 0

Posté par prince-de-moi (invité)

salut a tous!
je trouve 0

Posté par meak meak

Ma réponse est 0 (IMPOSSIBLE)
***
En effet, grâce au critère de divisibilité par 9:
(A mod 9) + (B mod 9) = (A+B*10ⁿ mod 9)
Donc une suppression d'un plus quelconque ne changera rien au reste de la somme dans la division euclidienne par 9
Or 1+2+...+100=5050 (merci Gauss) et 5050%9=(5+5)%9=1
Comme 9876%9=(9+8+7+6)%9=(30%9)=31, il est impossible d'atteindre 9876.

Posté par dada2605 (invité)

slt  c'est impossible

Posté par pai82 (invité)

0
explication:
somme de 1 a 100= 5050=S
9876-5050=4826
si on enleve un signe d'addition cela revient a ajouter a S un multiple de 9.
en effet a+b devient ab-a-b=a*9*10^(p-1)ou p represente le nombre de chiffres de b(on obtient le meme genre de resultat avec a+b+c+...).
Il faut donc que 4826 soit un multiple de 9 ce qui est faux donc c'est impossible

Posté par Avangogo Avangogo

Je trouves que c'est impossible : 0

Posté par michelD michelD

Je pense qu'il n'y a pas de solution, je réponds donc ZERO

Une première remarque : Si on supprime le dernier plus pour faire apparaitre 99100, le somme est supérieure à 9876. Si on supprime le 98ième plus pour faire apparaitre 9899, la somme dépasse encore 9876... Après quelques calculs, on découvre que l'on ne doit pas supprimer le 49ième "+" ni aucun des suivants pour la même raison.
Le problème se "restreint" donc à la somme 1+2+3+...+48+49=9876-(50+51+...99+100)=6051.

Deuxième remarque : Dans la somme 10+11+...+49, la suppression de 2 "+" successifs par exemple 101112 rend obligatoirement la somme >6051.

Troisième remarque : Dans la somme 10+11+...+49, il ne peut y avoir plus de 5 "+" supprimés en effet 1011+1112+1213+1415+1516 > 6051

Quatrième remarque : Dans une somme quelconque 1+2+...+49 la suppression d'un "+" augmente la somme. 1+2<12,   9+10<910, 14+15<1415. Par conséquent si une somme déjà modifiée dépasse 6051, inutile de poursuivre la suppression d'un +

Cinquième remarque : Si dans la somme partielle S'=10+11+...+49 on supprime un "+", celui de rang n, on démontre aisément que S' est une fonction affine croissante de n. En effet
   10+11+...+[n][n+1]+...49
  =10+11+...............+49-n-(n+1)+100n+(n+1)
  =      (10+49)*40/2      -2n-1+101n+1
  =1180+99n.
Par conséquent si on supprime le 12ième plus par exemple (12+13 devient 1213) et que la somme dépasse déjà 6051, inutile de supprimer un plus situé plus à droite.
Autre conséquence si on souhaite connaitre le rang d'un plus éventuel à enlever pour qu'une somme S' soit égale à un nombre donné, il suffit de résoudre l'équation S'=1180+99n d'inconnue n pour connaitre son rang, ce qui est immédiat.

Sixième remarque : En ce qui concerne la somme 1+2+...+9, il y 2^8 possibilités de l'écrire mais "seulement" 185 donnent une somme modifiée <=6051

Avec toutes ces remarques : j'ai bien du me résoudre à tester à la machine les solutions restantes, je n'ai (malheureusement) trouvé aucune solution convenable.
Pourvu que j'évite la cette fois...

A+

Posté par hervé (invité)

Bonjour.
Je pense que c'est impossible.
Donc, réponse 0.
A+