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question sur les polynômes.

   
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maths supquestion sur les polynômes.

#msg503810 Posté le 15-04-06 à 15:17
Posté par Profillyonnais lyonnais

salut à tous

J'ai une petite question à vous poser.
Voila, je suis bloqué dans cet exercice :

On m'a demandé :

a°) montrer que pour n\in \mathbb{N}* , 3$ \rm X^{2n}-1 = (X^2-1)\prod_{k=1}^{n-1}(X^2-2Xcos(\frac{k\pi}{n})+1)
-> pas de problème.

Mais ensuite on me dit :

b°) en déduire que  3$ \rm \fbox{\prod_{k=1}^{n-1}sin(\frac{k\pi}{2n})=\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}}

et là je vois pas du tout comment faire. J'ai pensé utiliser la propriété :

pour un polynome de degré n : 3$ \prod_{k=1}^{n} z_k = \frac{(-1)^na_0}{a_n}  mais j'y arrive pas

merci d'avance pour votre aide !

re : question sur les polynômes.#msg503815 Posté le 15-04-06 à 15:21
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Bonjour lyonnais

Commence par simplifier ton égalité par \Large{X^{2}-1} et ensuite, évalue le polynôme en une valeur particulière.

Kaiser
re : question sur les polynômes.#msg503823 Posté le 15-04-06 à 15:25
Posté par Profillyonnais lyonnais

ah je vois ce que tu veux dire kaiser merci

Si j'écris mon égalité sous la forme :

3$ \rm \frac{X^{2n}-1}{X^2-1} = \prod_{k=1}^{n-1}(X^2-2Xcos(\frac{k\pi}{n})+1)

je fais apparaître le produit.

Reste à trouver X pour que :

sin(\frac{k\pi}{2n}) = X^2-2Xcos(\frac{k\pi}{n})+1

C'est ça ?
re : question sur les polynômes.#msg503832 Posté le 15-04-06 à 15:31
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Dans ta première égalité, à gauche, tu peux simplifier.
Par contre, pour la dernière, ça ne va être exactement ça car n'oublie pas que le résultat fait apparaître une puissance de 2.
Sinon, je te suggère de remplacer X par (juste pour voir ce que ça donne).
re : question sur les polynômes.#msg503838 Posté le 15-04-06 à 15:35
Posté par Profillyonnais lyonnais

je suis désolé kaiser , mais je ne comprend pas très bien.

Si je simplifis ma première égalité de gauche, je tombe sur le membre de droite non ?

Sinon, tu me suggères de remplacer X par quoi ?

je dois y aller, ma mère me cris dessus, j'ai un Rendez-vous
je revient dans la soirée.

Merci pour ton aide en tout cas
re : question sur les polynômes.#msg503843 Posté le 15-04-06 à 15:37
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Désolé, je voulais dire "remplacer X par 1".
Pour la simplification à gauche, pense à la factorisation de \Large{a^{n}-b^{n}}.
re : question sur les polynômes.#msg503937 Posté le 15-04-06 à 16:23
Posté par Profilelhor_abdelali elhor_abdelali Correcteur

Bonjour;
Pour \fbox{x\in\mathbb{C}-\{\pm1\}} on a donc:
3$\fbox{\frac{x^{2n}-1}{x^2-1}=1+x^2+(x^2)^2+..+(x^2)^{n-1}=\Bigprod_{k=1}^{n-1}(x^2-2xcos(\frac{k\pi}{n})+1)} et en faisant tendre x vers +1 on obtient donc 3$\fbox{n=\Bigprod_{k=1}^{n-1}2(1-cos(\frac{k\pi}{n}))=\Bigprod_{k=1}^{n-1}4sin^2(\frac{k\pi}{2n})=(2^{n-1}\Bigprod_{k=1}^{n-1}sin(\frac{k\pi}{2n}))^2} et vu que 3$\fbox{\forall k\in\{1,..,n-1\}\\\frac{k\pi}{2n}\in]0,\frac{\pi}{2}[} on voit que 4$\blue\fbox{\Bigprod_{k=1}^{n-1}sin(\frac{k\pi}{2n})=\frac{sqrt n}{2^{n-1}}}
re : question sur les polynômes.#msg504495 Posté le 16-04-06 à 02:35
Posté par Profillyonnais lyonnais

ok merci à vous 2 !!

C'était pas si dur que ça en fait quand on regarde ce qu'a fait elhor ( et bonne intuition kaiser )

dodo maintenant
re : question sur les polynômes.#msg755088 Posté le 25-11-06 à 05:05
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Bonjour,

Dans le même genre, mais en plus simple...
(inspiré de : http://maths-forum.com/showthread.php?p=139187)

3$\fbox{\forall n\in\mathbb{N}^*,\quad\bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}=\frac{n}{2^{n-1}}}

Démonstration.
Posons Q(z)=1+z+z^2+...+z^{n-1}
Pour z\neq 1, on a également :
Q(z)=\frac{z^n-1}{z-1}=\frac{\bigprod_{k=0}^{n-1}\left(z-e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right)}{z-1}=\bigprod_{k=1}^{n-1}\left(z-e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right)

On fait tendre z vers 1 dans les deux expressions de Q(z) :
n=\bigprod_{k=1}^{n-1}\left(1-e^{i\frac{2k\pi}{n}}\right)=\bigprod_{k=1}^{n-1}e^{i\frac{k\pi}{n}}\left(e^{-i\frac{k\pi}{n}}-e^{i\frac{k\pi}{n}}\right)=\bigprod_{k=1}^{n-1}e^{i\frac{k\pi}{n}}\left(-2i\sin\frac{k\pi}{n}\right)
On prend le module de chaque membre :
n=2^{n-1}\bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}
D'où le résultat.

Nicolas
re : question sur les polynômes.#msg755361 Posté le 25-11-06 à 12:28
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

On peut en déduire la réponse au problème de ce fil :
(Je recopie ce qui a été proposé sur http://www.maths-forum.com/showthread.php?p=139234)

3$\begin{array}{rcl} \\ \left(\Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}\right)^2 &=& \Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}\cdot\Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}\\ \\ &=& \Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}\cdot\Bigprod_{k=1}^{n-1}\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{k\pi}{2n}\right)\\ \\ &=& \Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}\cdot\Bigprod_{k=1}^{n-1}\cos\frac{(n-k)\pi}{2n}\\ \\ &=& \Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}\cdot\Bigprod_{k=1}^{n-1}\cos\frac{k\pi}{2n}\\ \\ &=& \Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}\cdot\cos\frac{k\pi}{2n}\\ \\ &=& \Bigprod_{k=1}^{n-1}\frac{1}{2}\sin\frac{k\pi}{n}\\ \\ &=& \frac{1}{2^{n-1}}\Bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{n}\\ \\ &=& \frac{1}{2^{n-1}}\frac{n}{2^{n-1}}\\ \\ &=& \left(\frac{\sqrt{n}}{2^{n-1}}\right)^2 \\ \end{array}

Donc :
3$\fbox{\forall%20n\in\mathbb{N}^*,\quad\bigprod_{k=1}^{n-1}\sin\frac{k\pi}{2n}=\frac{\sqrt n}{2^{n-1}}}
re : question sur les polynômes.#msg755373 Posté le 25-11-06 à 12:34
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Qu'est-ce que c'est agréable à lire !

En manque de Latex Nicolas ?
re : question sur les polynômes.#msg755380 Posté le 25-11-06 à 12:36
Posté par ProfilNicolas_75 Nicolas_75 Correcteur

Mince, je suis découvert !
Bonjour fusionfroide

(Je suis très intéressé par la trigonométrie [entre autres !])
re : question sur les polynômes.#msg755384 Posté le 25-11-06 à 12:37
Posté par Profilfusionfroide fusionfroide

Ok

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