ligne de niveau

Posté par maiine maiine

bjr tout le monde j'espere avoir un peu d'aide... voici mon énoncé:

dans un plan rapporté a un repere orthonormé, on considere les points A(-1;-2) et B(2;1). on cherche a determiner le lieu L des points M du plan tels que MA/MB=2.

partie A: methode geometrique
   1)demontrer que M L équivaut à
(MA-> - 2MB-> ).(MA-> + 2MB-> )=0
  
   2) en deduire que M L equivaut à MI->.MJ-> = 0 où I est le barycentre du systeme {(A;1),(B;-2)} et J est le barycentre du systeme {(A;1),(B;2)}.
  
   3)determiner et construire L

partie B: methode analytique
   1)En notant (x;y) les coordonnées du point M, exprimer MA et MB en fonction de x et y.

   2)demontrer que M L équivaut à:
x²+y²-6x-4y+5=0

   3) en utilisant les formes canoniques des trinomes en x et y, determiner et construire L

merci à tous d'avance

Posté par koul (invité)

mets ça MA/MB=2 au carré
la suite c'est la définition du barrycentre

Posté par maiine maiine

pourquoi je dois le mettre au carré?

Posté par maiine maiine

il faut peut etre que je fasse MA/MB=2 ( - )
                                            MA                                  

Posté par maiine maiine

pardon, petite erreur de touche

il faut peut etre que je fasse MA/MB=2 (MA-> - 2MB-> ).(MA-> + 2MB-> )=0

Posté par maiine maiine

personne ne me repond je suis vraiment embêtée... svp à l'aide!!!

Posté par Joelz (invité)

Salut maiine

En mettant MA/MB=2 au carré de chaque coté, tu as:MA²-4MB²=0
et c'est exactement (MA-> - 2MB-> ).(MA-> + 2MB-> )=0

Voila

Joelz

Posté par Joelz (invité)

Pour la suite, utilise ta propriété fondamentale du barycentre concernant un point quelconque M.

Pour la methode analytique,tu as:
MA=racine[(x+1)²+(y+2)²]
MB=racine[(x-2)²+(y-1)²]
Mappartient à L <=> MA²=4MB²
De la tu remplaces MA et MB par les racines et en arrangeant tu trouves bien x²+y²-6x-4y+5=0

On a: x²+y²-6x-4y+5=(x-3)²-9+(y-2)²-4+5=(x-3)²+(y-2)²-8
donc L est un cercle de centre (3,2) et de rayon racine de 8
(son equation est (x-3)²+(y-2)²-8=0)

Voial

Joelz

Posté par maiine maiine

ohh merci beaucoup je vais y travailler et essayé de comprendre

Posté par maiine maiine

je n'arrive pas avec les barycentres et je ne sais pas comment arranger l'operation pour retomber sur l'equation que l'on veut:

MA=racine[(x+1)²+(y+2)²]
MB=racine[(x-2)²+(y-1)²]
Mappartient à L <=> MA²=4MB²
De la tu remplaces MA et MB par les racines et en arrangeant tu trouves bien x²+y²-6x-4y+5=0

merci d'avance

Posté par Joelz (invité)

Salut maiine

Et bien en ce qui concerne la propriete fondamentale du barycentre, c'est une propriété de ton cours qui dit que pour tout M, avec G barycentre de (A,a),(B,b),(C,c), tu as:
a*vecteurMA+b*vecteurMB+c*vecteurMC=(a+b+c)vecteur MG.

Pour trouver MA=racine[(x+1)²+(y+2)²], j'ai juste calculer la longueur MA. Ensuite comme tu sais que si M appartient à L alors M verifie MA²=4MB². De la tu remplaces MA et MB par ce que tu as trouver et tu vas te retrouver avec une equation comportant du x et y.

Voila

Joelz

Posté par maiine maiine

coucou! j'ai appliqué la formule:
M avec I barycentre de (A;1) et (B;-2)
1*vecteurMA - 2*vecteurMB = 1-2 vecteurMI = - vecteurMI

et M avec J barycentre de (A;1) et (B;2)
1* vecteurMA + 2 * vecteurMB = 1+ 2 vecteurMJ = 3vecteurMJ

je pense que je me suis trompé parce que apres ça je ne vois pas ce que je pourrais faire...

Posté par pgeod pgeod


si      MA - 2 MB = - MI
et si  MA + 2 MB = 3 MJ

alors on peut en déduire que :

(MA - 2 MB). (MA + 2 MB) = (- MI) . (3 MJ) = -3 (MI.MJ)

donc            (MA - 2 MB). (MA + 2 MB) = 0
équivalent à :  -3 (MI.MJ) = 0
équivalent à :  MI.MJ = 0
équivalent à :  M est sur le cercle de diamètre IJ

...

Posté par maiine maiine

merci beaucoup pgeod!!!

par exemple pour MA=racine[(x+1)²+(y+2)²], je developpe avec les identités remarquables et ça me donne
MA= x²+2x+1+y²+4y+4

et pour MB j'ai x²-4x+4+y²-2y+1

je dois pouvoir simplifier autrement pour que se soit plus simple pour remplacer MA et MB dans MA²=4MB²

Posté par maiine maiine

personne ne peut m'aider?

Posté par Joelz (invité)

Regarde quand tu remplaces MA et MB dans MA²=4MB², les racines vont disparaitre ( c'est elevé au carré) et donc tu vas te retrouver sans racines.

Voila
Joelz

Posté par maiine maiine

donc je fais
(x+1)²+(y+2)²= 4 ((x-2)²+(y-1)²)

(x+1)²+(y+2)² - 4 ((x-2)²+(y-1)²) = 0

Posté par maiine maiine

x²+2x+1+y²+4y+4 = 4 (x²-4x+4+y²-2y+1)

Posté par Joelz (invité)

Oui voila de la tu ramene tous tes termes d'un coté et tu simplifiera par 3 et tu vas arriver au resultat

Joelz

Posté par maiine maiine

x²+2x+1+y²+4y+4-4x²+16x-16-4y²+8y-4 = 0
jusqu'ici c'est bon
-3x²-3y²+18x+12y-15
ce qui est égal à:
x²+y²-6x-4y+5

merci beaucoup Joelz