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Base duale
Bonjour,
Un petit exercice me pose probleme en voici l'enoncé:
Soit B=(2,X-1,2X²+1) est une base de R2[X]
La Question est déterminer sa base duale.
Tout d'abord j'ai posé:
e1=2
e2=X-1
e3=2X²+1
alors B=(e1,e2,e3). Soit B*=(e1*,e2*,e3*) sa base duale
P(a,b,c)
R2[X], P=aX²+bX+c=2A+B(X-1)+C(2X²-1)
En developpant et en identifiant on trouve:
A=(-1/4)a+(1/2)b+(1/2)c
B=b
C=(1/2)a
donc e1*(P)=A=(-1/4)a+(1/2)b+(1/2)c
e2*(P)=B=b
e3*(P)=C=(1/2)a
Je pense avoir fini ou n'être pas loin de la reponse mais vu que je suis un peu perdu dans les bases duale je prefere être sur de moi avant d'écrire quelquechose.
Merci d'avance pour votre aide.
Tout cela semble correct sauf que je trouve A=a/2+b/2-(1/4)c.
En effet, e1*(e1)=1...
Refait le calcul et tu verra que normaelement le resultat de mon systéme est correcte.
On trouve bien la meme chose alors ok. Mais sinon tu ne vois pas comment je peut faire par la suite car j'ai tout en fonction de a, b, c mais moi je veut la base duale de ma base alors que la j'ai la base duale d'un polynome quelconque, non?
bonjour
par définition un ième élément de la base duale c'est une forme linéaire de l'espace des polynomes dans R,qui associe à chaque élement P sa ième composante
donc il suffit d'exprimer e1,e2 et e3 dans la base canonique de R2[X]
par exemple e1*(e1)=2 e1*(e2)=-1,après tu prends P=ae1+be2+ce3
DONC e1(P)=2*a-b+..ETC
TU ne pas exclure a,b et c car la notion de la base duale est liée à l'élement de l'espace de départ
cordialement LADY
bonjour,
merci pour ta reponse donc ce que j'ai fait est correct
B*=((-1/4)a+(1/2)b+(1/2)c,b,(1/2)a) ?
bonjour,
svp j'ai vraiment besoin d'aide, si quelqu'un pouvait m'aider je lui en serai trés reconnaissant.
Bonjour.
Reprenons ton idée : P = aX² + bX + c = A.2 + B(X - 1) + C(X² + 1). Par identification, je trouve les mêmes résultats que toi :
Maintenant, nous savons que (0 ou 1).
Donc :
Tu as donc la réponse : les trois formes linéaires sont définies par :
.
Cordialement RR.
oui c'est ce que je pensais, merci de ton aide, et donc dans ma base on remplace a,b et c et on a:
B*=(0,1,1) c'est ca?
puisque e1=2 alors e1*=0
e2=X-1 alors e2*=1
e3=2X²-1 alors e3*=1
Pas du tout, les éléments de la base duale sont des formes linéaires donc des applications (linéaires). Elles associent à chaque polynôme P un nombre réel. Tu les connais donc par l'intermédiaire de l'action qu'elles exercent sur aX² + bX + c. Par exemple e2* est définie par :
e2*(aX² + bX + c) = b.
Il me semble comprendre ce que tu cherches : au même titre que P = aX² + bX + c a pour coordonnées (a,b,c) dans la base (X²,X,1), tu souhaiterais trouver les coordonnées de e1*, e2* et e3*. Seulement pour cela, il faudrait que tu disposes d'une base "canonique" dans E*.
Si tu veux, on peut poursuivre dans cette voie.
Cordialement RR.
Je veux bien merci à toi.
En faite tu as vu on me donne la base B=(2,X-1,2X²+1) et en faite je doit trouver sa base duale.
Pour cela j'ai cherché e1*(P), e2*(P) et e3*(P) mais je ne sais pas du tout quoi faire par la suite.
Reprenons.
Quand on te demandait en seconde de chercher une fonction affine f sachant que f(1) = -1 et f(3) = 3, tu répondais, après quelques calculs : cette fonction est définie par f : x --> f(x) = 2x - 3.
Tu donnais la fonction f par son action sur chaque réel x. Dans ton problème actuel tu dois trouver trois formes linéaires du dual de . Ce sont donc, par définition, trois applications linaires de
. Pour les caractériser, il suffit de trouver l'image de chaque polynôme P. C'est ce que je t'ai donné dans mon premier post. La base duale cherchée est :
Maintenant, si tu tiens vraiment à trouver des coordonnées de ces trois formes, il faut te donner une base de référence du dual.
As tu vu en cours la duale de la base canonique ? Elle est définie par les formes
telles que, pour tout entier k, et tout polynôme P,
.
Si P = aX² + bX + c, .
Donc . Ainsi, les coordonnées de
sont (-1/4,1/2,1/2).
Je te laisse finir, le LaTeX me fatigue terriblement !
Cordialement RR.
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