distance d un point à une droite

Posté par petitemimi petitemimi

Bonjour je dois faire un exercice mais je bloque déjà à la première question ! Voici l'énoncé :
On considère la droite d passant par le point A(2;1;-3) dirigée par le vecteur et le point B(5;0;-2).
1)démontrer que le point B n'appartient pas à d.
L'objectif est de calculer la distance de B à d. Donc j'ai prouvé que le veteur et le vecteur Ab n'était pas colinéaire. Mais je n'arrive pas à calculer la distance de B à d, j'ai pourtant chercher les méthodes mais je n'en trouve pas qui se rapproche de l'exercice. Pourriez vous me dire comment faire ?
Merci d'avance !

Posté par mattTS mattTS

bonjour, tu as oublié de nous donner les coordonnées de u

Posté par petitemimi petitemimi

Ah oui oups !
(0;-1;1)

Posté par petitemimi petitemimi

Et aussi ils en reparlent dans une autre question que voici :
Déterminez le réel k pour lequel le réel BM est minimal (BM est alors la distance de B à d). Cependant on a 2 inconnues donc je ne vois pas comment faire on trouve :
BM²=2K²-4K+11 en l'exprimant en fonction de k. En calculant le discriminant on ne trouve pas de solutions !
Car en question 2) Il faut exprimer les coordonées (x;y;z) du point M en fonction de k !
et quand on calcule BM² sans k on trouve x²+y²+z²-10x-4z+29, donc est-ce qu'il y a une relation entre les 2 ?
Comment trouver le BM minimal ? Pourriez vous m'aidez ?

Posté par fiston fiston

Je vais essayer de t'aider alors accroche toi, c'est long

u(0;-1;1) donc d a pour équation cartésienne 0x-1y+1z+r=0 avec d appartenant a R
or A(2;1;-3) appartient  a d, donc 0*2-1*1+1*(-3)+r=0
on en déduit que r=4
Ainsi, d a pour équation cartesienne -y+z+4=0

Selon une formule du cours que j'espere que tu connais, la distance  de B à d que l'on peut appeler D
est: D=?0*5+(-1)*0+1*(-2)?/(?((-1)²+1²)))=?2
(le numérateur en valeur absolue selon la formule car une distance est positive)
J'espere pour toi que je ne me suis pas trompé, car cela m'arrive...
Essaye en tout cas de retrouver dans ton cours la formule sur l distance d'un point a une droite en fonction de son equation cartesienne.

A la prochaine, Petite Mimijavascript:smiley('');

Posté par petitemimi petitemimi

Mais c'est quoi r ? On n'avait pas appris qu'on pouvait donner des équations aux droites de l'espace avec leurs coordonnées !

Posté par petitemimi petitemimi

En tout cas merci beaucoup de vos explications !
Pour ce qui est des distances d'une doite à un point je n'ai pas travailler dessus cette année, et pour l'année dernière on avait appris avec la perpendiculaire à la doite passant par le point ! Donc pourriez vous me donnez la formule svp ?

Posté par littleguy littleguy

Bonsoir

Tu as raison, je crois que fiston s'est un peut trompé (ax+by+cz+d=0 est une équation de plan, pas de droite) :

On reprend autrement :

M(x,y,z) appartient à (d) si et seulement si et dont colinéaires, c'est-à-dire si et seulement s'il existe un réel k tel que .

Cette égalité vectorielle se traduit par le système :
x-2 = 0 donc x =2
y-1 = -k donc y = 1-k
z+3 = k donc z = -3+k

Soit donc M appartenant à (d) :

BM² = (2-3)²+(1-k-0)² + (-3+k+2)²

En développant il vient BM² = 2k²-4k+11

- Algébriquement parlant, cette expression est de la forme ak²+bk+c (avec a > 0), elle est donc minimale lorsque k=-b/(2a)

- Géométriquement parlant la distance BM est minimale lorsque M est le projeté orthogonal de B sur (d) (si tu n'es pas convaincue, trace une droite, place un point B extérieur à cette droite, un point M sur la droite, et observe...)

Il suffit alors de relier ces deux ponts de vue pour trouver la distance de B à (d)

En espérant ne pas t'avoir embrouillée davantage.

Posté par petitemimi petitemimi

Mais moi quand j'avais calculer ak²+bk+c je trouvai un discriminant négatif donc il ne pouvait pas y avoir de solution ?
Si si je suis convancu que la plus petite distance est celle de la perpendiculaire, mais comment calculer la distance puisqu'on n'a pas les coordonées du point du profeté orthogonal de B sur d ?
Et je ne vois pas comment relier les 2 points de vues ?
C'est assez compliqué !

Posté par littleguy littleguy

Peu importe que le discriminant soit négatif : tu cherches pour quelle valeur de k l'expression ak²+bk+c est minimale.

- Soit tu utilises ce que je t'ai déjà dit : a >0, donc minimum, et atteint pour k=-b/(2a)

- Soit tu dérives ak²+bk+c pour connaître les variations de ak²+bk+c (tu obtiendras bien sûr la même chose)

La valeur de k correspondante te permettra de trouver grâce au sytème déjà donné les coordonnées du fameux point que tu cherches.

Posté par petitemimi petitemimi

Ok donc c'est plus simple que je calcule -b/2a
et ensuite je trouverai le BM minimal, c'est bien ça ?
En gros k =1 ? Mais ça me parait bizare ! puisque -b=4 et 2a =4

Posté par littleguy littleguy

Pourquoi bizarre ?

Prends ta calculatrice, trace la courbe d'équation y=2x²-4x+11, et regarde pour quelle valeur de x la fonction est minimale...(choisis une bonne fenêtre)

Posté par petitemimi petitemimi

Ca me parraisait bizarre parce qu'au début on disait AM=K et on précise souvent que k1 ! Donc c'est pour ça, mais ici ça marche puisque comme vous l'avez dit c'est en x=1 que sur le graphique la valeur est minimale !
Donc la distance de B à d est 3 ? 9

Merci pour vos indications !

Posté par petitemimi petitemimi

Enfait je crois qu'on s'est trompé sur le calucl de BM² car en le recalculant je trouve : 2k²-12k+35,
et j'ai remplacé les x, y et z qu'après avoir dévelopé chaque membres, pourriez vous vérifiez, svp ?