produit scalaire et distance point-droite

Posté par laure_ laure_

Soit A (xA ; yA) un point du plan. Soit D une droite d'équation ax+by+c=0. (avec a et b non tous 2 nuls).
Le but du problème est de calculer la distance entre le point A et la droite D. Dans tout ce qui suit, nous noterons H (xH ; yH) le projeté orthogonal de A sur D.

1.Soit vecteur n (a ; b). Démontrer que le vecteur n est donc orthogonal à la droite D.
(On pourra utiliser qu'un vecteur directeur u de la droite D qui est vecteur u (-b ; a). En déduire que vecteur AH et vecteur n sont colinéaires et que :
|vecteur AH*vecteur n| = AH * ||vecteur n||.

2. Démontrer que : vecteur AH*vecteur n = a(xH - xA) + b(yH - yA). Puis, en utilisant le fait que H est un point de la droite D, en déduire : vecteur AH*vecteur n = -(axA + byA + c).                                                                          
3. Déduire des questions précédentes que:
       |axA + byA + c|
AH= ........................                                                Racine carré (a²+b²)    

4. Applications :
a) Soient A(2 ;7) et D la droite d'équation 3x - y +2 = 0.
Calculer la distance entre le point A et la droite D.
b) Déterminer l'équation du cercle de centre oméga(5 ;1) et tangent à la droite D d'équation x+y-4=0.

J'aimerais avoir la correction à partir du 2. en déduire AH.n=-(axA+byA+c). Car je bloque sur tout le reste de l'exercice. Merci bien de votre aide.

Posté par cqfd67 cqfd67

bonjour,

il ya une faute dans ta formule: il s agit de |vecteur AH.vecteur n| = AH * ||vecteur n||
Il s'agit du produit scalaire

dans un repere orthonormé comment calculer u.v avec u(x,y) et v(x',y') ?

Posté par disdrometre disdrometre

bonjour,

ce que je comprends, tu as réussis la première question,

donc nous savons que le vecteur n est donc orthogonal à la droite D,



or H appartient à D donc



donc

d'autre part

or car   et sont colinéaires
or

donc en prenant la valeur absolue du produit scalaire


donc

K.

Posté par laure_ laure_

j'ai compris. ok merci. pour le 4, je dois faire comment? j'utilise quel formule.

Posté par drioui (invité)

4)Soient A(2 ;7) et D la droite d'équation 3x - y +2 = 0.
Calculer la distance entre le point A et la droite D.
d(A,D)=|3*2 -7+2|/(3²+1²)
      =1/10
      =10/10

Posté par drioui (invité)

b) Déterminer l'équation du cercle de centre oméga(5 ;1) et tangent à la droite D d'équation x+y-4=0.
tu calcule la distance de à D qui est le rayon r du cercle
l'equation du cercle est  (x-5)²+(y-1)²=r²

Posté par laure_ laure_

dc pour le b)
d(,D)= |5*1 - 1+(-4)| / (1²+1)²
c ça? Quelle est la formule à appliquer?
  

Posté par drioui (invité)

d(,D)= |5*1 + 1+(-4)| / (1²+1²)²=2/2=2

Posté par drioui (invité)

le rayon  du cercle est r=2
l'equation du cercle est  (x-5)²+(y-1)²=(2)²