limite puissance/factorielle

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limite puissance/factorielle

Posté le 21-05-06 à 12:04

Posté par LePilou (invité)

Bonjour à tous,
j'ai lu une démonstration (introduction de la fonction exponentielle par des suites) qui utilisait un résultat que je ne sais pas démontrer :
$\lim_{n\to+\infty}\frac{x^n}{n!}=0$
Pourriez-vous m'éclairer s'il vous plaît ?
Merci d'avance

re : limite puissance/factorielle

Posté le 21-05-06 à 12:24

Posté par disdrometre

bonjour,

soit x > 0

il existe m entier tel que m > x ( on peut prendre m = E(x)+1 )

donc 0 < (x/m) < 1

soit n un entier tel que n> m

$x^n = x^m x^{n-m}$

$n! = (m!)(m+1)..(n) > (m!)(m+1)^{n-m}$

donc $\frac{x^n}{n!} = \frac{x^m}{m!} \frac{x^{n-m}}{(m+1)..(n)} < \frac{x^m}{m!} \frac{x^{n-m}}{m^{n-m}}$

or $3$ lim_{n \to +\infty} \frac{x^{n-m}}{m^{n-m}} =0$

tu déduis donc

$3$\fbox{ lim_{n \to +\infty} \frac{x^n}{n!} =0}$

K.

re : limite puissance/factorielle

Posté le 21-05-06 à 15:15

Posté par LePilou (invité)

Merci, c'est plus clair comme cela

RE:limite puisance/ factorielle

Posté le 21-05-06 à 21:27

Posté par costica48

Bonsoir!
soit k>2x,k naturrel .Si n>k, $\frac{x^n}{n!}=(\frac{x}{1}.\frac{x}{2}...\frac{x}{k-1}).(\frac{x}{k}.\frac{x}{k+1}...\frac{x}{n})$
Donc $0<\frac{x^n}{n!}<x^{k-1}.\frac{1}{2^{n-k+1}}=(2x)^{k-1}.\frac{1}{2^n}-->0$

re : limite puissance/factorielle

Posté le 21-05-06 à 23:59

Posté par neo (invité)

dommage que tu ne sois qu'en terminale
On peut faire une jolie démo avec l'équivalent de Stirling.

Neo

re : limite puissance/factorielle

Posté le 02-05-08 à 21:50

Posté par mathematico

oui mais pour x negatif???

re : limite puissance/factorielle

Posté le 02-05-08 à 21:55

Posté par disdrometre

je ferais la même démo avec |x|

si x est négatif !

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