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mauvaise compréhension d'un énoncé

   
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autremauvaise compréhension d'un énoncé

#msg547797 Posté le 21-05-06 à 15:43
Posté par Profilletonio letonio

bonjour à tous,
Je ne comprends pas bien l'énoncé de cet exo.

En intégrant par partie \int_0^{x} 1/(t^2+1) dt , calculer
\int_0^{x} (1/(t^2+1))^2 dt

Qu'est-ce que je dois comprendre? Je suppose que je ne dois pas intégrer
\int_0^{x} 1/(t^2+1) dt par partie vu que je connais déjà une primitive...
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547823 Posté le 21-05-06 à 15:59
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

(Re)bonjour letonio

En fait, la première intégrale, tu peux l'exprimer de 2 manière différentes : soit en la calculant explicitement, soit en l'exprimant en fonction de la deuxième (par une intégration par parties)
Ainsi, en commençant par la seconde méthode, tu pourras exprimer la seconde intégrale en fonction de la première.

Kaiser
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547824 Posté le 21-05-06 à 15:59
Posté par neo (invité)

En fait, je crois que tu peux calculer la deuxième intégrale avec une relation de récurrence que tu établiras entre les deux intégrales grâce à une IPP.

Neo
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547825 Posté le 21-05-06 à 15:59
Posté par neo (invité)

désolé
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547829 Posté le 21-05-06 à 16:01
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

y'a pas de mal !
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547858 Posté le 21-05-06 à 16:21
Posté par Profilletonio letonio

Je crois avoir trouvé

\int_0^{x} 1/(1+t^2)dt= [t/(1+t^2)]-\int_0^{x} -2t/(1+t^2)^2 dt
= [t/(1+t^2)]- [1/(1+t^2)]  entre 0 et x
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547865 Posté le 21-05-06 à 16:24
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Tu t'es trompé : il manque un carré dans l'intégrale (en faisant l'IPP).
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547866 Posté le 21-05-06 à 16:24
Posté par Profilletonio letonio

= x/(1+x^2) - 1/(1+x^2)+1
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547868 Posté le 21-05-06 à 16:25
Posté par Profilletonio letonio

Ah oui mince
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547870 Posté le 21-05-06 à 16:25
Posté par Profilletonio letonio

Je suppose qu'on refait une intégration par partie qui ne pose plus de problème...
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547875 Posté le 21-05-06 à 16:26
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Non, il suffit d'utiliser l'astuce \Large{t^{2}=(t^{2}+1)-1} !
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547876 Posté le 21-05-06 à 16:27
Posté par Profilletonio letonio

Bon je me suis sûrement planté vu que j'ai tendance à aller un peu trop vite, mais je trouve que ça fait arctan x ... Je vérifie.
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547878 Posté le 21-05-06 à 16:29
Posté par Profilletonio letonio

Oups c'est assez normal
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547882 Posté le 21-05-06 à 16:29
Posté par Profilletonio letonio

En bref j'ai tourné en rond quoi :/
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547893 Posté le 21-05-06 à 16:34
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Pas vraiment !

\Large{\bigint_{0}^{x}\frac{dt}{1+t^{2}}=[\frac{t}{1+t^{2}}]_{0}^{x}+2\bigint_{0}^{x}\frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}dt=\frac{x}{1+x^{2}}+2\bigint_{0}^{x}\frac{(t^{2}+1)-1}{(1+t^{2})^{2}}dt=\frac{x}{1+x^{2}}+2\(\bigint_{0}^{x}\frac{dt}{1+t^{2}}-\bigint_{0}^{x}\frac{dt}{(1+t^{2})^{2}}\)}

Kaiser
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547895 Posté le 21-05-06 à 16:35
Posté par Profilletonio letonio

Bon il est vraiment temps que j'essaie de comprendre le but de l'exo

En utilisant ton astuce, j'ai trouvé une relation :
\int_0^{x} 1/(1+t^2)dt= x/(1+x^2)+ 2\int_0^{x} 1/(1+t^2)- 2\int_0^{x} 1/(1+t^2)^2

re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547896 Posté le 21-05-06 à 16:36
Posté par Profilletonio letonio

Je l'avais trouvé avant
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547900 Posté le 21-05-06 à 16:38
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Mais je n'en doute pas !
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547904 Posté le 21-05-06 à 16:39
Posté par Profilletonio letonio

Ok d'où le résultat recherché facile à trouver...
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547905 Posté le 21-05-06 à 16:40
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Eh oui !
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547906 Posté le 21-05-06 à 16:40
Posté par Profilletonio letonio

d'où le résultat recherché facile à trouver...
Je veux dire facile à extraire de la relation qu'on a trouvée.
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547921 Posté le 21-05-06 à 16:45
Posté par Profilletonio letonio

Je dois en déduire la limite de cette intégrale quand x-> +oo

Et je trouve que ça tend vers pi/4
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg547934 Posté le 21-05-06 à 16:49
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Je trouve également ce résultat !
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg548007 Posté le 21-05-06 à 17:23
Posté par Profilletonio letonio

Au secours!
J'essaie de faire le 2) qui est je suppose une application de cette méthode, mais je ne m'en tire pas.
2) Calculer \int_x^{1/e} 1/t (ln(1/t)^{-2} dt
et je dois ensuite en déduire la limite quand x tend vers 0.

J'ai essayé de faire une intégration par partie à partir de
\int_x^{1/e} 1/t (ln(1/t)^{-1} dt= - \int_x^{1/e} 1/t. 1/ln(t) dt
à partir de
\int_x^{1/e}(ln(1/t)^{-1} dt
Je ne sais pas comment commencer. Pourrais-tu m'indiquer par où commencer? Et si je dois effectivement m'inspirer du premier exercice?
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg548026 Posté le 21-05-06 à 17:32
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

Tu as oublié une parenthèse à chaque fois !
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg548046 Posté le 21-05-06 à 17:42
Posté par Profilletonio letonio

La première parenthèse était de trop...
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg548053 Posté le 21-05-06 à 17:45
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

si je comprends bien, c'est \Large{\frac{1}{tln(\frac{1}{t})^{2}}} ?
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg548064 Posté le 21-05-06 à 17:47
Posté par Profilletonio letonio

oui c'est ça
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg548068 Posté le 21-05-06 à 17:48
Posté par Profilletonio letonio

désolé j'ai du mal avec le latex
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg548076 Posté le 21-05-06 à 17:51
Posté par Profilkaiser kaiser Moderateur

D'abord, tu peux remarquer que \Large{ln(\frac{1}{t})^{2}=ln(t)^{2}}.
Ensuite, dans l'intégrale, reconnais (presque) la dérivée d'une composée.
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg548136 Posté le 21-05-06 à 18:37
Posté par Profilletonio letonio

ok c'est vu... Je pouvais chercher longtemps...

Je trouve que la limite de mon intégrale quand x tend vers 0 est 1
re : mauvaise compréhension d'un énoncé#msg548138 Posté le 21-05-06 à 18:38
Posté par Profilletonio letonio

J'essayais de m'inspirer du premier exercice :-/

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