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espaces euclidiens

Posté par djibril1515 (invité) 21-05-06 à 16:03

Bonjour a tous

Mon exercice est le suivant : Determiner inf\int_0^{pi} (sin(t)-a-bt)^2 dt     a,b

Voila j'aimerai savoir si ce que j'ai fais est juste car je n'y crois pas trop :

E=vect(f,g,h)
F=vect(g,h)

avec  f(t)=sin(t) ; g(t)=1 ; h(t)=t

On définit le produit scalaire <u.v>=\int_0^{pi} u(t)v(t) dt

On sait que : inf\int_0^{pi} (sin(t)-a-bt)^2 dt=d²(f,F)

Or d²(f,F)=\frac{Gram(f,g,h)}{Gram(g,h)}

Gram(f,g,h)=\frac{pi^5}{24} - \frac{pi^3}{3}

Gram(g,h)=\frac{pi^4}{12}

Donc d²(f,F)=\frac{12pi}{5} - \frac{4}{pi}

Merci de me dire si c'est juste et où sont les erreus si ils y en a...
Encore merci

Posté par djibril1515 (invité)re : espaces euclidiens 26-05-06 à 21:05

c bon ou pas?

Posté par
LeHiboure : espaces euclidiens 26-05-06 à 23:43

Bonsoir,

Ne serait-il pas plus simple de développer le carré et calculer l'intégrale de chaque terme, ce qui ne pose guère de difficulté, puis de traiter le problème comme celui du miniumum d'une quadrique dont les variables indépendantes sont a et b ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : espaces euclidiens 27-05-06 à 00:15

Bonsoir;
(*)djibril1515,je trouve les mêmes valeurs pour Gram(f,g,h) et Gram(g,h) ce qui te donne:
2$\fbox{d^2(f,F)=\frac{\frac{\pi^5}{24}-\frac{\pi^3}{3}}{\frac{\pi^4}{12}}=(\frac{\pi^5}{24}-\frac{\pi^3}{3})\times\frac{12}{\pi^4}=\frac{\pi}{2}-\frac{1}{4\pi}} Sauf erreur.
(*)LeHibou,ce que tu proposes n'est pas plus simple et tu n'as qu'à essayer les deux méthodes pour t'en convaincre.


Posté par
Marie-Cre : espaces euclidiens 17-04-08 à 16:57

salut
Je remonte ce topic
j'aimerais savoir si ce que j'ai fait est juste

on sait que le minimum est atteint pour le projeté orthogonal
on a sin(t)=pf +sin(t)-pf

soit F=vec(0,t)
pf=a+bt
(sint-pf|t)=0 et (sin(t)-pf|1)=0

on résout donc le système

[cost-a-\frac{1}{2}bt^2]^\pi_0=0
[tcost -sint -\frac{1}{2}at^2-\frac{1}{3}bt^3]^\pi_0=0

donc a =-2 et b=3\pi^2(\pi-1)


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