Challenge n°187 : rugby

Posté par puisea puisea

Bonjour à tous, une nouvelle énigme :

A l'origine le rugby suivait des règles différentes que celles actuelles : la marque y était différente, et on ne transformait pas les essais.
Bien sûr, comme actuellement, une pénalité rapportait moins qu'un essai, mais il y avait tout de même 91 scores impossibles à obtenir ; l'un de ces scores était 48.

Combien de points rapportait une pénalité ? Combien de points rapportait un essai ?

Bonne chance à tous !

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Une pénalité rapportait 14 points alors qu'un essai rapportait 15 points.

Posté par evariste evariste

une pénalité : 14 points
un éssai : 15 points

Posté par Cauchy Cauchy

Bonjour,

ca me parait correct mais un peu tire par les cheveux de dire qu' un essai valait 93 points et une penalite 1 point. Je crois qu'on ne tirerait plus les penalites dans ce cas,ca devait etre du rugby champagne

En effet tous les scores entre 2 et 92 sont impossibles,ils sont au nombre de 91 et on a bien 48 impossible. Et tous les scores au-dessus de 93 sont possibles ils sont de la forme 93+1*k.

Posté par Judeau Judeau

Je me souviens avoir fait un exercice du même style en spécialité maths quand j'étais en terminale... Le raisonnement était à base de PGCD il me semble... Mais tout ça c'est loin maintenant, j'ai oublié alors je fais avec les moyens du bord : un programme java (et moi qui disais que le meilleur outil du programmeur, c'était le papier !)

J'ai fait tester toutes les combinaisons linéaires pour des pénalités et des essais inférieurs à 40 points et des scores totaux inférieurs à 200 points (j'ai pris large). Pour chaque couple (pénalité, essai), j'ai fait calculer le nombre de scores jamais atteints (inférieurs à 200). Et comme par hasard, on trouve 2 couples possibles qui donnent 91 scores infaisables (8, 27) et (14, 15). Le premier couple permet de faire un score de 48 avec 6 pénalités et aucun essai. C'est donc le deuxième qui est bon.

Par précaution, j'ai poussé les bornes un peu plus loin et la paire (3, 92) donne également 91 scores non faisables (mais 48 n'en fait pas partie, et puis 92 points pour un essai, ça fait quand même beaucoup...)

Conclusion : une pénalité rapportait 14 points et un essai 15 points

Posté par chaudrack chaudrack

Bonjour à tous, et merci pour cette énigme bien balaise!

J'ai d'abord cru que je n'y arriverai pas, et je me suis dis...

Pour ne pas faire 48, il faut:
que ni la pénalité, ni l'essai rapporte un nombre de points diviseur de 48,
que la somme des deux ne soient non plus pas un diviseur de 48,

Pour avoir un nombre fini de score impossible, il faut:
que la pénalité et l'essai ne soient pas tous les deux pairs
que le nombre de points de l'essai ne soit pas un multiple de celui de la pénalité

Les diviseurs de 48 sont 1,2,3,4,6,8,12,16,24 et 48.

Reste alors les chiffres possibles (d'autres existent mais on arrive quand même à faire 48!)

7 11
7 15
9 11
9 14
10 11
10 13
11 14
13 14
13 15
14 15

Apres vérification sur Excel, seuls 14 et 15 donnent 91 impossibilités de score dont 48!

Comme on nous précise qu'une pénalité rapportait moins qu'un essai,

J'en déduit que la pénalité valait 14 points et l'essai valait 15 points.

Pour info, les scores impossibles sont:

1,2,3,4,5,6,7,8,9,
10,11,12,13,16,17,18,19,
20,21,22,23,24,25,26,27,
31,32,33,34,35,36,37,38,39,
40,41,46,47,48,49,
50,51,52,53,54,55,
61,62,63,64,65,66,67,68,69,
76,77,78,79,
80,81,82,83,
91,92,93,94,95,96,97,
106,107,108,109,
110,111,
121,122,123,124,125,
136,137,138,139,
151,152,153,
166,167,
181

Posté par hervé (invité)

Bonjour.
Ma réponse est 11 et 17.
A+

Posté par celinenounours (invité)

Bonjour,

L'énoncé me parraissant incomplet, je me permet de préciser comment j'ai compris celui-ci.
J'ai considéré qu'on pouvait avoir un score compris entre 0 et 100 inclus. Si le nombre de points accordés lors d'une pénalité ou d'un essai est tel que 91 scores sont impossibles, cela signifie que dans l'intervalle donné, on ne peut former que 10 scores. C'est le cas si on attribue 22 points pour un essai et 11 points pour une pénalité. On pourra alors avoir les 10 scores suivants : 0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 et 99.

Une autre solution fonctionne : 30 points pour un essai et 20 points pour une pénalité qui nous donnent aussi 10 scores possibles : 0, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 et 100.

Il me semble que la borne supérieure aurait du être précisée... J'attends le verdict

Posté par minkus minkus

Salut

Dis Cauchy, les matches sans essai ce n'est pas très joli mais ca existe ! Donc les nombres du type 1*k sont possibles non ?

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Si 91 scores sont impossibles, le dernier score impossible est 2*91-1 = 181.
Ceci s'obtient avec des pénalités à 2, 3, 8 ou 14 points et des essais à, respectivement, 183, 92, 27, ou 15 points.
(valeur pénalite-1)*(valeur essai-1)=2*91=182.
Un score de 48 points étant impossible, on élimine les marques de 2, 3 et 8 points.

Seule possibilité, donc:
Une pénalité vaut 14 points, un essai 15 points.

A+,
gloubi

Posté par Matouille2b Matouille2b

Salut ...

On note a nombre de points que rapporte une pénalité et b le nombre de points que rapporte un essai
a<b

D'apres l'énoncé l'équation diophantienne au + bv = 48 n'admet pas de solution dans Z
Donc pgcd(a,b) ne divise pas 48

Or D(48) = {1,2,3,4,6,8,12,16,24,48}
En supposant que a et b sont des entiers compris entre 1 et 10 le seul cas possible est alors :
a=5 et b=10

J'espere que mon raisonnement est correct ...
Merci pour l'enigme ...

Posté par ireeti ireeti


une pénalité rapportait 14 points
un essai rapportait 15 points.
Amicalement ireeti

Posté par kiko21 kiko21

Bonsoir,

une pénalité rapportait points

et un essai  rapportait points

A partir d'un score "fleuve" de 182 points (13 pénalités), tous les scores suivants étaient réalisables.

Merci et à bientôt, KiKo21.

^{Faisait pas bon faire des fautes !! Avec l'essai transformé à 7 points et la pénalité à 3 points, il y a quand même plus de jeu...}

Posté par borneo borneo

Bonjour

une pénalité : 14 points

un essai : 15 points

je rédige ma solution et je la poste.

Merci pour l'énigme

Posté par borneo borneo

Bon, je vous donne ma solution.

On sait qu'on ne peut pas obtenir 48. Donc j'exclus 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 et 48.

Ensuite je fais de petits essais, je commence par 5 et 7, puis 5 et 9, et je me rends compte que je ne vais pas assez loin pour avoir mes 91 scores impossibles à obtenir. Je cherche une relation entre les deux nombres et le nombre de scores impossibles, et en observant, je trouve que

le dernier score impossible avec deux nombres x et y est  (x-1)(y-1) - 1

Je constate aussi qu'on a à peu près autant de scores possibles que de scores impossibles entre 1 et le dernier score impossible.

Donc comme il y a 91 scores impossibles, le dernier score impossible sera voisin de 181.

Mes deux nombres x et y ne doivent pas être pairs tous les deux, sinon on a un nombre infini de scores impossibles.

Je cherche donc deux scores tels que (x-1)(y-1) - 1 = 181 en éliminant 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 et 48.

Je teste 19 et 11 qui donnent 90 scores impossibles, de même que 21 et 10. Pour obtenir toutes les combinaisons je me sers tout simplement d'une grille excel pas très grande, je vais jusqu'à 300 par sécurité. 300 lignes, c'est très supportable.

Une fois que les formules sont écrites, c'est lui qui fait le boulot. Je trouve facilement la formule qui m'évite de pointer à la main les scores impossibles, je teste 14 et 15, et je trouve 91 scores impossibles. Je vérifie que 48 est impossible, et zou !

J'aime bien ce genre d'énigme, on apprend plein de choses sur les nombres en les observant

Merci

Posté par piepalm piepalm

Les valeurs pour un essai et une pénalité doivent être premières entre elles pour qu'il n'y ait qu'un nombre fini de valeurs impossibles à atteindre.
Si e est la valeur d'un essai et p celle d'une pénalité, toute valeur supérieure ou égale à (e-1)(p-1) peut être atteinte;
Tous calculs faits, la seule solution est e=22, p=7 (les autres valeurs qui donnent 91 nombres non atteints sont 183, 2 et 91, 3 pour lesquelles on peut obtenir 48)

Posté par savoie (invité)

Bonjour,

Voici ma proposition :
Soit P la valeur d'une pénalité.
Soit E la valeur d'un essai.
Soit N le nombre de scores inatteignables.
Soit Maxi le plus grand score inatteignable.

Nous devons rechercher P et E (avec P<E) pour N = 91.

On a donc évidemment :
P et E premiers entre eux (sinon N est infini).
P et E ne sont pas des diviseurs de 48.

Après quelques recherches (intuition non démontrée), j'observe :

Quels que soient P et E premiers entre eux :
Maxi = 2 x N - 1 (en fait cela nous sert à rien dans la suite de la recherche !)
N est impair lorsque P et E sont consécutifs et P pair, ce qui n'est pas forcément le cas lorsqu'ils ne sont pas consécutifs. J'ai donc orienté mes recherches sur P et E consécutifs.

E = P + 1 avec P pair.
Dans ce cas j'observe encore : N = (P - 1) x P / 2

Pour N = 91, cela donne P = 14, donc E = 15.
Après vérification, 48 n'est pas un score atteignable avec P = 14 et E = 15.

Je propose donc :
Une pénalité rapportait 14 points
Un essai rapportait 15 points.

Merci pour cette très belle énigme.

Posté par plumemeteore plumemeteore

Une pénalité rapporte 14 points, un essai 15 points.

Si a et b sont premiers entre eux, le plus grand nombre qu'on ne peut pas former en additionnant un multiple de a et un multiple de b est (a*b)-a-b. De zéro à ce maximum, exactement la moitié des nombres partagent cette impossibilité.
Il y a ici 91 sommes impossibles. La plus grande est donc (91*2)-1 = 181.
(p*e)-p-e = 181; (p*e)-p-e+1 = 182; (p-1)*(e-1) = 182
182 = 1*182, mais alors on pourrait former 48 avec 24 pénalités de 2 points
182 = 2*91, mais alors on pourrait former 48 avec 16 pénalités de 3 points
182 = 7*26, mais alors on pourrait former 48 avec 6 pénalités de 8 points
182 = 13*14 convient : p = 14, e = 15

Posté par jugo jugo

Si je ne me trompe pas, le nombre de scores impossibles à obtenir vaut :

(e-1).(p-1) / 2

avec  e : nombre de points pour un essai
et      p : nombre de points pour une pénalité

Il y a alors 4 possibilités pour que 91 scores soient impossibles à obtenir (on suppose bien sur que e et p sont des entiers) :

e = 15    -   p = 14
e = 27    -    p = 8
e = 92    -    p = 3
e = 183  -    p = 2

Les 3 derniers cas permettent d'obtenir 48 points, donc seul le 1er cas convient.


Une pénalité rapportait donc 14 points et un essai 15 points.


_{( Allez le stade ! )}

Posté par Droujty (invité)

la pénalité vaut 14 points
l'essai vait 15 points

Voili

Posté par Livia_C Livia_C

Bonjour,
J'ai trouvé:
une  pénalité  rapportait 14 points
un essai rapportait 15 points.
Merci pour l'énigme.

Posté par masterfab2 masterfab2

5 points une pénalité et 47 points un essai

Posté par manpower manpower

Bonjour,

après une lamentable erreur de programmation (comme quoi mieux vaut réfléchir...)

je penche pour l'éssai à et la pénalité à .

Merci pour l'énigme (finalement pas si dure... )

Posté par manpower manpower

Pfff...

avec la solution tout s'éclaire !

La différence entre les deux marques est nécessairement de 1 (pour ne pas avoir de trous, i.e. une infinité de score impossible).
On appelle n et n+1 les deux marques.
il manque n-1 score de 1 à n+1,
puis n-2 score de n+2 à 2n+2...
jusqu'à n(n+1) à partir de là il ne manquera plus aucun score !

Il manquera donc . Or d'où n=14 et le résultat.

Arff! Quel tanche! J'ai vraiment été aveugle là!

Posté par Wismerhill (invité)

Salut à tous,

encore une fois j'ai utilisé Delphi, et la réponse que je trouve pour avoir 91 scores impossibles :
un essai = 13 points
une pénalité = 12 points

Merci pour l'enigme
@+

Posté par puisea puisea

Merci à tous de votre participation à cette énigme.

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

Les Rrrrubypèdes ont assuré, c'était la moindre des choses !!
N'est-ce-pas Jugo J'espère que le ST gagnera en 1/2 contre le SF.

Je vous joins le logo de mon club Rrrruby-loisir (entente amicale enseignants-hospitaliers spécialisés...)

A+, KiKo21.

Posté par savoie (invité)

Bonjour,

Merci encore pour cette très belle énigme, qui de plus a vu quelques méthodes variées de résolution. D'ailleurs pas toujours toutes correctes me semble-t-il même si le résultat était bon.

Donc mon message n'est pas du tout une remise en question de quelques résultats (tous ceux qui ont les smiley les ont bien mérités, même avec une démonstration non fiable). Je fais d'ailleurs partie de ceux qui ont une démonstration pas très rigoureuse... loin de là.

Juste 3 questions :
Manpower : "La différence entre les deux marques est nécessairement de 1" : il me semble plutôt que les valeurs des 2 marques doivent être premières entre elles, et non égale à 1 ?

Jugo : "le nombre de scores impossibles à obtenir vaut :
(e-1).(p-1) / 2". Est-ce une certitude ?

Plumeteore : "Si a et b sont premiers entre eux, le plus grand nombre qu'on ne peut pas former en additionnant un multiple de a et un multiple de b est (a*b)-a-b" : là aussi, est-ce une certitude ?

Si ces 2 dernières remarques sont exactes, j'avoue avoir eu beaucoup de bol à privilégier, à un moment de mes recherches, une solution où l'écart entre P et E est égal à 1...

Posté par Nofutur2 Nofutur2

..
Ca me semble plus qu'improbable car la solution pénalité = 8, essai =27, donnait 91 scores inatteignables . Par contre le 48 n'en faisait pas partie.
En tout cas, très belle énigme.

Posté par borneo borneo

Ma première 4 étoiles... après plus d'un an d'efforts acharnés. Prenez-en de la graine, ceux qui vont passer des examens ou des concours : le travail paye.

^{Ma soluce, vous la trouvez bourin ?}

Posté par kiko21 kiko21

Re-Bonjour,

> Bornéo,

Ici, de toute façon, les "bourrins d'avants" étaient forcément avantagés, comme s'ils jouaient à la maison !!

> Wismerhill,

Viens t'entraîner dans le pré, je t'expliquerai les règles

A+, kiKo21.

^{Merci excel... Moi aussi, j'ai fait un peu comme toi, mais en tâtonnant un peu plus... French Flair oblige}

Posté par kiko21 kiko21

Bornéo,

J'oubliais... Félicitations pour tes 4 étoiles

J'ai bien aimé ton (x-1)(y-1) - 1 = 181 plus précis que mes tâtonnements.
Ce qui revenait à (x-1)(y-1)/2 = 91 comme d'autres l'ont précisé. Bien vu Bornéo !

A+, KiKo21.

Posté par Blackdevil Blackdevil

Bonjour à tous,

je me posais une question, existe-t-il une méthode pour calculer comme ici le nombre de "score impossible" avec deux nombres quelconques sans recourir à la programmation?

J'accepte des réponses de tous niveaux!

Merci d'avance!


David  

Posté par borneo borneo

Tout à fait, Blackdevil. Relis les explications données.

Posté par Blackdevil Blackdevil

Merci Borneo

Posté par Nofutur2 Nofutur2


.
C'est en effet une formule qui correspondait à tous mes résultats et que j'ai essayé (peut être bêtement tant elle peut paraître évidente pour certains) à démontrer.


Comme p et e sont premier entre eux, il existe u et v tel que au+bv=1 (avec u>0 et v>0).
On en déduit que e*p+1=e*p+a*u+b*v=a*u+(b*(a+v) est atteint…On démontre de la m^me manière que e*p+2, e*p+3, etc.. sont atteints.

Je vais comptabiliser les termes inférieurs à e*p qui ne sont pas atteints.
Il y a tous le points du schéma joint, c'est-à-dire la moitié des points du rectangle de côtés e+1 (de 0 à e) et p+1 (de 0 à p), auquel j'aurai retiré préalablement les deux points A et B correspondant au produit ep (on démontre facilement qu'e et p étant premiers entre eux, il est impossible de trouver deux entiers naturels a et b non nuls tels que a*e+b*p=ep ).
Soit X, le nombre de nombres non atteints.
X=ep-[(e+1)(p+1)-2)/2]=(2ep-ep-e-p-1+2)/2=(ep-e-p+1)/2=(e-1)(p-1)/2.
X=(e-1)(p-1)/2.

Pour X=91, il est ensuite facile de trouver les diviseurs et les diverses possibilités (voir démonstration de Jugo)…et cela sans programme.

Une très belle énigme vraiment.

Posté par borneo borneo



Salut Kiko21. Cette formule, je l'ai trouvée par tâtonnements. J'ai fait quelques exemples numériques et j'ai regardé si je pouvais trouver une formule. C'est parce que je ne connais aucune formule, en fait Un peu comme des petites bêtes qu'on oberve... les maths expérimentales, quoi !

Salut Nofutur2. Belle démo

Posté par jugo jugo

Belle démo effectivement.

J'ai trouvé cette formule en étudiant quelques cas et en les décomposant :

entre 1 et e, il y a e.(p-1)/p scores impossibles, entre e et 2e, il y en a e.(p-2)/p etc, aux arrondis près.
Si on additionne tout ça, on obtient e.(p-1)/2 qui ne marche pas surement à cause des arrondis.

Je l'ai donc ajusté à (e-1)(p-1)/2 parce que cette formule devait forcément être symétrique pour p et e, et que du coup, ça avait l'air de marcher ... mais je n'ai pas eu le temps de le démontrer (et je ne sais pas si j'aurais su faire).

Bravo donc Nofutur2 pour cette démo extrêmement parlante.


Kiko21 : bien sûr que le ST battra le SF - enfin là c'est pareil, je n'ai pas eu le temps de le démontrer, je conjecture ... donc ... on verra ...
Pour les rugbymen des planètes lointaines à 3 mains, j'avoue que je n'avais pas pensé au raffut à 2 mains, mais en même temps, ça permet de prendre une touche à 2 mains tout en s'appuyant impunément sur l'adversaire ... que peut dire l'arbitre alors ? ...

Posté par manpower manpower

Più, j'suis fatigué en ce moment...

Correction: -> Quelle tanche !

Merci Nofutur2 d'avoir signalée ma bêtise
et également pour la jolie démonstration.

Allez zou au lit !

Posté par jugo jugo

Kiko21 : Je viens de faire un tour sur les profils des participants pour savoir qui étaient les stars des énigmes, et pour l'anecdote, si j'ai bien compris, tu enseignes à Hippolyte Fontaine où mon grand-père fut prof de français il y a quelques années déjà (il a du s'arrêter d'enseigner dans les années 70).
Voilà, je ne vous embête plus avec mes histoires perso ...
_{( du coup, je comprends le 21 de kiko21 )}

Posté par Blackdevil Blackdevil

Pour ceux qui ont utilisé excel quel formule avez-vous utilisée pour trouver tous les résultats impossibles??


David

Posté par borneo borneo

Salut Blackdevil, je ne suis pas chez moi, donc je n'ai pas mon fichier excel sous la main. Je te mettrai une explication plus tard. Je veux bien te l'envoyer, si ce n'est pas clair.

^{Rhalala, ce n'est pas comme ça que je me débarrasserai de mon image de bourin qui fait tout avec excel}

Posté par borneo borneo

Blackdevil, en fait, c'est assez compliqué. J'ai voulu prévoir tous les cas possibles, donc en nommant nos deux inconnues x et y, il me faut avoir tous les multiples de x, tous les multiples de y, et les combinaisons ax + by, c'est à dire x + y, 2x + y, 2x + 2y, x + 3y....

Pour m'y retrouver, je leur ai donné des couleurs différentes sur ma grille excel (en bleu pour x, en vert pour y et en mauve pour les combinaisons) Pour les obtenir, il faut donner des noms aux cellules où tu saisis les valeurs de x et y, ce qui te permet de les faire varier. Exemple pour x tu l'appelles xx et y tu l'appelles yy.

Ensuite tu fais tes tests avec les valeurs de x et y, mais pas au pif, sinon il y en a pour un moment. Moi, j'ai essayé 19 et 11, 21 et 10, puis 14 et 15, et ça marchait.

Une fois que tu as ta liste de valeurs, tu la tries par valeurs croissantes, et tu as toute la liste des valeurs possibles.
Là, tu écris à droite une formule qui te dis s'il en manque : tu la vois sur l'image. C'est tout, il n'y a plus qu'à faire la somme des valeurs manquantes.

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,
> Jugo

"...ça permet de prendre une touche à 2 mains tout en s'appuyant impunément sur l'adversaire ... que peut dire l'arbitre alors ? ..."

Il pénaliserait à coup sûr, les appuis sont interdits, quelque soit le nombre de mains !!
Au fait, le ST a gagné. Heureuseument que les drops sont comptabilisés, pas comme dans cette énigme... sinon on avait une finale SF/USAP !!

"...tu enseignes à Hippolyte Fontaine où mon grand-père fut prof de français il y a quelques années déjà (il a du s'arrêter d'enseigner dans les années 70)..."

J'ai même été élève de 77 à 80... J'ai peut-être eu ton Grand-Père comme Prof...
Hippo a fêté son centenaire en 2003.
Mais qui était Hippolyte Fontaine ??

A+, KiKo21.

Posté par Blackdevil Blackdevil

Merci pour ton explication Borneo mais c'est encore un peu flou pour moi..

Amicalement,


David

Posté par borneo borneo

C'est aussi flou pour moi, il y a eu tant d'enigmes depuis. Tu veux mon fichier ?

Posté par Blackdevil Blackdevil

Oui si sa ne te dérange pas tu trouveras mon adresse mail sur mon profil.


Merci d'avance,



David


PS: Si tu préfère le mettre en ligne ou me le passer autrement dis moi.