J ai besoin d aide pour deux démonstrations de géométrie!!!!!!!!

Posté par Scream (invité)

Vite!Aidez moi!J'ai besoin de personnes très fortes en math
surtout en géométrie!
Merci d'avance!!!

I ABC triangle équilatéral de cotés 6cm
I mileu de AC
Par I on trace la perpendiculaire à BC
Elle coupe BC en J

a)Calculer l'aire du triangle BIC
b)Calculer la distance de J à BI


II ABCD quadrilatère inscrit dans un cercle c de centre O.
On désigne par I,J,K,L les milieux respectifs de AB,BC,CD,DA.
De I,J,K,L on mène respectivement les perpendiculaires d1,d2,d3,d4 aux
cotés opposés.


a)Montrer que IJKL parallélogramme

b)On note S le centre de ce parallélo.
En déterminant les images par la symétrie de centre S des droites Oi,Oj,Ok,Ol
démontrer que d1,d2,d3,d4 sont concourantes.


Encore Merci d'avance

Posté par thiblepri thiblepri

Bones un jour, bones toujours!

I)a)
On sait que:



Or:


De plus, dans un triangle équilatéral de côté a, la hauteur vaut a3/2.

Donc, ici:


Et, finalement:


I)b)
Notons H le projeté orthogonal de J sur BI.

On sait que:


Donc:


Et, donc:


Finalement:


Or, BIJ est un triangle rectangle en J. Grâce au théorème de Pythagore, on obtient:


Donc:


Ainsi:


On sait que (CI) est perpendiculaire à (IB) (car ABC est équilatéral).
On sait également que (JH) est perpendiculaire à (IB) (car H est le projeté orthogonal de J sur (IB)).
Ainsi, dans le triangle BIC, j'applique le héorème de Thalès:


Donc:


II)a)

Dans le triangle ABD, (LI) est la droite des milieux donc:
(LI) // (BD) et 2LI=BD

Dans le triangle CBD, (JK) est la droite des milieux donc:
(JK) // (BD) et 2JK=BD

Donc:
(JK) // (IL) et JK=IL

Ainsi, IJKL est un parallélogramme.

II)b)
On sait que l'image d'une droite (d) par rapport à un point est une droite parallèle à (d).
Appelons r la symétrie de centre S.

(OI) est perpendiculaire à (AB); en effet, c'est la médiatrice de [AB] (car O et I sont équidistants de A et B).
Comme IJKL est un parallélogramme, l'image de I par r est K. Donc l'image de (OI) par r est la perpendiculaire à (AB) passant par K; c'est à dire d3.

(OL) est perpendiculaire à (AD); en effet, c'est la médiatrice de [AD] (car O et L sont équidistants de A et D).
Comme IJKL est un parallélogramme, l'image de L par r est J. Donc l'image de (OL) par r est la perpendiculaire à (AD) passant par J; c'est à dire d2.

(OK) est perpendiculaire à (DC); en effet, c'est la médiatrice de [DC] (car O et K sont équidistants de D et C).
Comme IJKL est un parallélogramme, l'image de K par r est I. Donc l'image de (OK) par r est la perpendiculaire à (DC) passant par I; c'est à dire d1.

(OJ) est perpendiculaire à (BC); en effet, c'est la médiatrice de [BC] (car O et J sont équidistants de B et C).
Comme IJKL est un parallélogramme, l'image de J par r est L. Donc l'image de (OJ) par r est la perpendiculaire à (BC) passant par L; c'est à dire d4.

Donc l'image de 0 par r appartient aux droites d1, d2, d3 et d4; elles sont donc concourrantes.


Cet exercice est de niveau 3^ème

Posté par Camélia Camélia

Bonjour thiblepri

Scream précisait "Vite!" le 2 Novembre 2001! Alors, mieux vaut tard que jamais!
Mais je trouve que c'est bien qu'il ne reste pas des questions sans réponse sur le site!

Posté par thiblepri thiblepri

Salut Camélia,
Je me suis juste mis en mode "bones" pour quelques temps
_{vieux motards que jamais... Ok je sors}