Curieux et sybillin titre pour ce message ?... Pourquoi pas  "Placements", on pourrait facilement le retrouver dans la liste !

    L'énoncé est également imprécis ? Le taux de placement , il y a 10 ans, était bien à l'époque de 10,25 pour cent , pour les deux sommes placées ?
    Mais il n'y avait pas encore d'euros à cette époque !
    Et début 2002, le total en banque - capital et intérêts - était bien de 863.542,46 euros ?
    Il faut donc trouver le "placement unique", c'est-à-dire la "certaine somme" placée en 1996 ?  C'est bien cela ? ...  J-L
    

Bonjour


Reprenons un énoncé plus comphéensible.

L'entreprise "XI" prévoit la réalisation d'un investissement, et,  pour cela, elle effectue deux types de placement :

* elle place le 01/01/1996 une certaine somme
* elle effectue annuellement un placement de 393 574,20   francs soit l'équivalent en euros de la somme de 60 000,00   euros,  pendant 6 ans, le premier placement
ayant lieu de 01/01/1996.

Le 01/01/2002, l'entreprise "XI" a constitué, grâce à  ces deux placements, un capital total de 863 542,46   euros.

Le taux annuel d'intérêts des deux placements est de 10,25 %.

On demande de calculer le montant du placement unique.

I - ANALYSE DE LA SITUATION FINANCIERE

Comme il s'agit de deux placements supérieurs à une durée de un an il faut utiliser la
méthode dite des "INTERETS COMPOSES".


a) le 01/01/1996 il est versé chaque année la somme de 60 000,00   euros au taux de 10,25 % l'an
qui constituent un capital acquis compris dans la somme de 863 542,46   euros.

b) le 01/01/1996 il est placé une certaine somme, placée au taux de 10,25 % l'an, qui au bout de 6 ans
rapporte un capital acquis compris dans la somme de 863 542,46   euros

II - UNE PROPOSITION DE SOLUTION

A) CAS DU VERSEMENT ANNUEL DE 60 000,00   euros.

Une des formules fondamentales en mathématiques financières est la suivante :
LA VALEUR ACQUISE PAR UNE SUITE D'ANNUITES IMMEDIATEMENT APRES LE VERSEMENT DE LA DERNIERE ANNUITE,
EN PRECISANT BIEN QUE LE DERNIER VERSEMENT N'A PAS EU LE TEMPS DE PORTER INTERET est :

C =   a  [ (1+i) ⁿ - 1 ] / i



Or, dans le problème qui nous intréesse le premier versement a eu lieu le 01/01/1996 ,
et le 6ème et dernier versement a eu lieu le 01/01/2001.

On demande de calculer la valeur acquise de cette suite de 6 annuités à la date du 01/01/2002 soit UN AN APRES.

Nous sommes en présence d'une suite de 6  versements constants de 60 000,00   euros chacun.
La valeur acquise de ces 6 versements à la date du 01/01/2002, soit UN AN APRES LE VERSEMENT DU DERNIER, nous est donnée par la formule suivante :

C =  {  a  [ (1+i) ⁿ - 1 ] / i ) }  (1+i)

avec :

C = Capital acquis à calculer
a = montant annuité = 60 000,00  
i = taux d'intérêt pour 1 = 0,1025   soit 10,25 % l'an
n = nombre d'annuités = 6  

On a :

a = 60 000,00  
i = 0,1025  
(1+i) = 1,1025
(1+i)⁶ = 1,795856326

et la formule devient

C =  {  a  [ (1+i) ⁿ - 1 ] / i ) }  (1+i)

C =   { 60 000,00   [ 1,795856326   -1 ] / 0,1025   }  * 1,1025
C = { 60 000,00   * 0,795856326   / 0,1025   }  * 1,1025
C = 47 751,37956   / 0,102500000   * 1,1025
C = 465 867,11767   * 1,1025
C = 513 618,49723  
Le capital acquis par les 6 annuités de 60 000,00   euros chacune au 01/01/2002 est de 513 618,50   euros

B) CAS DU VERSEMENT UNIQUE

A la date du 01/01/2002 le versement unique avait capitalisé la somme de :

863 542,46   -513 618,50   = 349 923,96   euros.

Au taux d'intérêt de 10,25 % l'an le versement unique qui produit un capital acquis de 349 923,96   euros est le suivant :

Vn = Vu * (1+i) ⁿ

avec

Vn = capital acquis = 349 923,96  
Vu = versement unique = à calculer
i = taux d'intérêt pour 1 = 0,1025   soit 10,25 % l'an
n = nombre d'annuités = 6

On a :

Vn = 349 923,96  
i = 0,1025  
(1+i) = 1,1025
(1+i)⁶ = 1,795856326

et la formule devient

Vn = Vu * (1+i) ⁿ
349 923,96   = Vu    * 1,795856326
349 923,96   / 1,795856326 =  Vu
194 850,76   =Vu

Le versement unique placé le 01/01/1996 est de 194 850,76   euro.
soit la somme de 1 278 137,17   francs, calculée au taux de 1 euro = 6,559570   francs (français).

III - LA VERIFICATION : LES TABLEAUX DE PLACEMENT

A) PLACEMENT PAR ANNUITES CONSTANTES

Le 01/01/1996 il a été versé la somme de 393 574,20   francs soit l'équivalent de la somme de 60 000,00   euros.



Date *************** Capital acquis *************** Versement *************** TOTAL *************** Intérêts 10,25 % *************** Capital acquis
*************** *************** *************** *************** *************** *************** *************** *************** *************** *************** ***************
01/01/1996 *************** xxxxxxxxxxxxxx *************** 393 574,20   *************** 393 574,20   *************** 40 341,36   *************** 433 915,56  
01/01/1997 *************** 433 915,56   *************** 393 574,20   *************** 827 489,76   *************** 84 817,70   *************** 912 307,46  
01/01/1998 *************** 912 307,46   *************** 393 574,20   *************** 1 305 881,66   *************** 133 852,87   *************** 1 439 734,53  
01/01/1999 *************** 1 439 734,53   *************** 393 574,20   *************** 1 833 308,73   *************** 187 914,14   *************** 2 021 222,87  
SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS 308 133,44  
01/01/2000 *************** 308 133,44   *************** 60 000,00   *************** 368 133,44   *************** 37 733,68   *************** 405 867,12  
01/01/2001 *************** 405 867,12   *************** 60 000,00   *************** 465 867,12   *************** 47 751,38   *************** 513 618,50  
01/01/2002 *************** 513 618,50  

A la date du 01/01/2002 le capital acquis par la suite des 6 annuités est de 513 618,50   euros




B) PLACEMENT UNIQUE

Le 01/01/1996 il a été versé la somme de 1 278 137,17   francs soit l'équivalent de la somme de 194 850,76   euros.



Date *************** Capital acquis *************** Versement *************** TOTAL *************** Intérêts 10,25 % *************** Capital acquis
*************** *************** *************** *************** *************** *************** *************** *************** *************** *************** ***************
01/01/1996 *************** xxxxxxxxxxxxxx *************** 1 278 137,17   *************** 1 278 137,17   *************** 131 009,06   *************** 1 409 146,23  
01/01/1997 *************** 1 409 146,23   *************** xxxxxxxxxxxxxx *************** 1 409 146,23   *************** 144 437,49   *************** 1 553 583,72  
01/01/1998 *************** 1 553 583,72   *************** xxxxxxxxxxxxxx *************** 1 553 583,72   *************** 159 242,33   *************** 1 712 826,05  
01/01/1999 *************** 1 712 826,05   *************** xxxxxxxxxxxxxx *************** 1 712 826,05   *************** 175 564,67   *************** 1 888 390,72  
SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS SOIT EN EUROS 287 883,31  
01/01/2000 *************** 287 883,31   *************** xxxxxxxxxxxxxx *************** 287 883,31   *************** 29 508,04   *************** 317 391,35  
01/01/2001 *************** 317 391,35   *************** xxxxxxxxxxxxxx *************** 317 391,35   *************** 32 532,61   *************** 349 923,96  
01/01/2002 *************** 349 923,96  

A la date du 01/01/2002 le capital acquis par la suite des 6 annuités est de 349 923,96   euros


C) RECAPITULATIF

a) capital acquis au 01/01/2002 par la suite des 6 versements 513 618,50   euros
b) capital acquis au 01/01/2002 par le versement unique 349 923,96   euros
c) capital acquis globalement 863 542,46   euros

A titre de contrôle l'énoncé forunissait un capital acquis global de 863 542,46   euros.