Le passager négligent

Posté par J-P J-P

Un avion possède 127 sièges pour passagers.

127 passagers se présentent et montent dans l'avion un par un.

Chaque passager possède une carte avec le numéro du siège qui lui est réservé.

Comme toujours, un passager a perdu sa carte avec le numéro de siège qui lui était réservé et c'est ce passager qui entre le premier dans l'avion.
Ce passager prend donc un siège au hasard.

Chaque passager qui monte ensuite dans l'avion occupe le siège qui lui était réservé sauf si ce siège est occupé, auquel cas, il prend au hasard un des sièges restés libres.

Quelle est la probabilité que le 127 ème et donc dernier passager à monter dans l'avion soit assis à la place qui lui était réservée ?
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Bonne chance à tous.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je vais comptabiliser les cas défavorables.
Je suis sûr que le 1 est mal placé et que le 127 aussi.
Je vais comptabiliser les chaînes de chiffres (1,a1,a2,a3,..ap,..127) tels que « 1 a pris la place de a1, qui a pris la place de a2, …qui a pris la place de ap, …qui a pris la place de 127 ».
Il y a 125 positions possibles pour les ap.
Nb cas défavorables = C(125,0)+C(125,1)+C(125,2)+…+C(125,p)+..C(125,125)=2¹²⁵

Je comptabilise de la même manière le nombre de cas possibles.
J'établis le même type de chaîne de chiffres sans imposer 127 à la fin. Par contre, ces chaînes commencent toutes par 1.
C(126,0) correspond au cas où il y a 0 mal placés.
C(126,1) correspond au cas où il y a 2 mal placés (1 et un ap)
C(126,2) correspond au cas où il y a 3 mal placés (1 et deux ap)
C(126,126) correspond au cas où il y a 127 mal placés (1 et les126 autres ap).
Nb cas total = C(126,0)+C(126,1)+C(126,2)+…+C(126,p)+..C(126,126)= 2¹²⁶.

La probabilité que le 127 ème et donc dernier passager à monter dans l'avion soit assis à la place qui lui était réservée est donc de P=(2¹²⁶-2¹²⁵)/2¹²⁶=2¹²⁵/2¹²⁶.
P=1/2

Posté par chaudrack chaudrack

bonjour à tous

J'ai procédé par une étude de cas simple avec 4 et 5 passagers pour 4 ou 5 sièges.

A chaque fois j'ai trouvé une probabilité de 0.5.

Je pense que quelque soit le nombre de sièges et de passagers,la probabilité restera la même car de toute évidence, plus il y a de passagers qui rentrent à bord, moins les cas à traiter sont nombreux.

enfin, bref, avec du bol je peux m'en sortir...

Je dirai donc que la probabilité que le 127 ème et donc dernier passager à monter dans l'avion soit assis à la place qui lui était réservée est de 0.5

Soit 1 chance sur 2.

Merci pour l'énigme.

Posté par piepalm piepalm

la probabilité est de 1/2 quel que soit le nombre n de passagers:
il est simple de vérifier que pour n=2 ou 3 on a bien p=1/2
dans le cas général, le premier passager a 1/n chance de prendre sa place ou celle du n-ième passager; dans tous les autres cas, il prend la place du i+1-ième passager dans la file, donc jusqu'au i-ième chacun ira à sa place, et pour le i+1-ième tout se passe comme dans la situation initiale avec n-i passagers au lieu de n; d'où par une récurrence immédiate le résultat annoncé

Posté par borneo borneo

Bonjour, la proba pour que le dernier soit à sa place est de 1/2

j'ai fait la démo avec 4 passagers et 4 places, et je ne vois pas pourquoi avec 127 ça changerait.
Je poste la démo dans un moment, j'ai une fraich'up dans le four.

merci pour l'énigme

Posté par borneo borneo

Et voilà la démo, en fait je l'ai faite à la main avec des petits papiers numérotés pour représenter les passagers. J'ai commencé avec 6, et j'ai limité à 4 pour mon tableau, car ça prend de la place. Pour 127 passagers, c'est pareil.

Au début, j'ai pensé qu'il n'y avait qu'une chance qur 127 pour que le dernier passager soit à sa place, mais si le 1er prend la place du 2e et le 2e la place du 1ern tous les autres seront à leur place.

Et voilà. J'ai essayé de l'écrire avec n, mais je suppose qu'un autre GM plus calé le fera.
Merci pour l'énigme

Posté par Torpedo (invité)

Je trouve une probabilité de 1/2.

En regardant pour des petits nombres de sièges (n=2, 3, 4...) j'ai constaté que la probabilité tombait toujours sur 1/2. J'ai ensuite procédé par récurrence pour établir le résultat pour tout n.

A++ et merci pour cette énigme !

Posté par evariste evariste

exactement une chance sur deux.

Posté par prof2 (invité)

Bonjour, je pense que la probabilité que le 127 eme passager soit à sa place est de 1/2.

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

Des probas... méfiance !
Plutôt que des calculs qui me paraissent (sans avoir vraiment essayé) compliqués, je propose l'astuce suivante:

Disons que le passager P, qui a perdu son billet, est assis à la place 1 _{(ce qui, bien sûr, ne change absolument rien au raisonnement)}

Le passager P entre et choisit une place:
3 possibilités: S'il choisit la place numéro ...
• 1  : Tout le monde est à sa place;
• 127: Tout le monde est à sa place sauf 1 et 127;
• n  : c'est là qu'intervient la petite astuce. Plutôt que de renvoyer le passager "n" lorsqu'il se présentera à sa place (occupée par P), le passager P cèdera la place à son propriétaire et choisira, au hasard, une autre place parmi celle qui restent. Cela modifie certaines positions mais jamais rien en ce qui concerne la 127. Que ce soit le passager P, mobile à la place des autres, plutôt que le passager "n", cela ne change rien pour l'occupation de la place 127 par son propriétaire.

On recommence ainsi de suite jusqu'à ce que P choisisse la place 1 ou la 127.
1 et 127 étant équiprobables, on a une chance sur deux que 127 soit à sa place (en fait si P (ou celui qu'il a remplacé à l'étape n) est à sa place, en 1).

_{Si on préfère on peut modéliser cela au moyen des places successives parcourues par P,
donc de suites de longueurs variables composées d'une partie des nombres de 1 à 127.
Le résultat ne dépend alors que de l'ordre d'apparition des deux nombres 1 et 127.
Si 1 apparaît avant 127, la passager 127 se trouve à sa place.}

Conclusion: La probabilité que le 127ème passager soit assis à sa place est de .

Merci J-P pour cette énigme, _{en espérant ne pas m'être (encore) planté}

Posté par chanty (invité)

Salut à tous !

Je dirai que la probabilité cherchée est de 1/2.

Sans en être sûre, après quelques essais ...

Merci pour l'énigme.

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

La probabilité que le 127 ème passager à monter dans l'avion soit assis à la place qui lui était réservée est de

Le nombre de passager n'a en fait pas d'importance ici.

Merci et à bientôt, KiKo21.

Posté par balra (invité)

la probabilite que le dernier passager a monté dans l'avion soit a sa place est de 127[sup][/sup]127 .

Posté par plumemeteore plumemeteore

La probabilité est 1/2 exactement.
Soit w le numéro du passager négligent.
Il peut tirer la place w ou la place 127, faisant d'un coup 'gagner' ou 'perdre' le passager 127.
Supposons qu'il tire une autre place a1. Les passagers dont les numéros sont entre 0 exclu et a1 exclu s'installeront sans problème. Si w est intercalé entre les numéros, la place est sautée.
a1 devra tirer une place :
soit w (encore libre); dans ce cas, tous les passagers au-delà de a1 (sauf éventuellement w, déjà placé), y compris le 127, pourront s'installer à leur place (si a1<w, on saute la place de w)
soit 127 : tous les passagers de a1+1 à 126 pourront aller à leur place prévue et le malheureux 127 devra déménager en w
soit une autre place, a2, d'un numéro supérieur à a1 : les passagers dont les numéros vont de a1+1 à a2-1 (cet ensemble peut être vide) vont à leur place, a2 devra faire un tirage et la procédure recommencera (à chaque étape, le numéro du passager devant faire un tirage est plus élevé que le précédent).
A chaque moment, la proposition "le passager 127 pourra garder sa place", indéterminée au départ, peut basculer définitivement dans 'vrai' ou dans 'faux' avec une probabilité de 1/2 pour chacun.
On remarque par ailleurs qu'il n'y aura jamais de tirage au sort pour le passager 127 : soit un autre tire w ou 127 et dans ce cas le passager 127 va respectivement en 127 ou en w et les tirages sont terminés, soit cet autre tire un autre numéro n et c'est au passager n de faire le tirage.

Posté par lotfi lotfi

la probabilité est P=1/127.
et donc: P0.0078.
LOTFI.

Posté par savoie (invité)

Bonjour,

Cela fait bien longtemps que je n'ai plus fait de proba, et donc je crains le poisson...

Voici ma proposition :
la probabilité que le 127ème passager soit assis à la place qui lui était réservé est de 0,5

Merci pour cette énigme.

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Elle m'a donné du mal, celle-là!
Finalement, je réponds 1/127.

A+,
gloubi

Posté par dededada dededada

A tout hasard:
la probabilité est de 1/127

Posté par vince909 vince909

Bonsoir,

Je trouve que la probabilité que le 127 ème et donc dernier passager à monter dans l'avion soit assis à la place qui lui était réservée est de 50 % (soit 0,5)

Merci pour l'énigme.

Posté par Livia_C Livia_C

Bonjour,
La probabilité que le 127 ème et donc dernier passager à monter dans l'avion soit assis à la place qui lui était réservée est 1/2.
Merçi pour l'énigme.

Posté par nobody (invité)

Je pense que la réponse est 0.5, mais je voudrais bien savoir comment le démontrer ..

Posté par caylus caylus

Bonjour,

La probabilité que le 127 ème et donc dernier passager à monter dans l'avion soit assis à la place qui lui était réservée est de

Comme démonstration GAG, on peut dire:
lorsque se présente le passager 127, la place est libre ou pas =>une chance sur 2
(en réalité j'ai cherché par récurrence)

Posté par geo3 geo3

Bonjour

Les proba. ce n'est pas ma tasse de thé
Après maintes cogitations et après 4 jours je me lance sans commentaire car c'est assez long à rédiger (permutations et arbre)
La réponse est    
Vu que J-P n'a pas demandé avec combien de décimales ça aurait l'air "plausible"
Mais c'est quand même un résultat surprenant (si c'est bon)
*
Très belle question ; merci pour cette enigme.
A+

Posté par mimi3123 mimi3123

la probabilité que le 127 ème passager à monter dans l'avion soit assis à la place qui lui était réservée est de 0,5

Posté par J-P J-P

Enigme clôturée.

Posté par doremon (invité)

Après que le premier passager se soit assis au hasard tous les autres passagers auront une chance de moins d'etre assis à leur place que le précedent. De ce fait le 127 eme passager aura une probabilité d'etre assis à sa place de 1/127.

Posté par J-P J-P

doremon,

Tu as répondu après la clôture de l'énigme, cela t'a évité un

Posté par borneo borneo

Bonsoir, je vois que je ne suis pas la seule à avoir testé avec un petit nombre de passagers. Vous remarquerez au passage les écritures fractionnaires du tableur, bien pratiques en probas.

^{Ouf, je suis de retour au classement}

Posté par lotfi lotfi

salut borneo je suis bien heureux pour toi mais pourquoi la réponse 1/127 est-elle fausse?
certains l'ont mit(et moi aussi)
LOTFI

Posté par manpower manpower

Bonjour,
sans aucune connaissance en proba tu peux consulter ma réponse, sinon la réponse plus mathématique avec dénombrement exhaustif est offerte par notre champion Nofutur2.

Posté par lotfi lotfi

MERCI
j'avais pas pensais ainsi.
mais ça ne fais rien, un c'est -1point mais c'est aussi +de l'expérience.
LOTFI

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Je ne suis pas certain que ma réponse soit une référence, manpower.. Je trouve la tienne beaucoup plus élégante .. et surtout plus exacte.
Comme j'en ai l'habitude , je réponds et je réfléchis après.. Je me suis rendu compte que dans ma solution, je considérais les situations comme équiprobables, ce qui n'est pas le cas.
J'ai refait ma démonstration ( car j'ai trouvé cette énigme passionnante)et j'ai trouvé la solution par récurrence proche de celle de piepalm.
On calcule facilement que pour 2 passagers et 3 passagers, la probabilité est P₂=P₃=1/2.
Si on suppose que pour p compris entre 1 et n , la probabilité est de 1/2 que le dernier passager retrouve sa place, on aura donc, pour un avion à (n+1) places :
P_n+1 =
1/(n+1) :cas ou le premier entré s'assied à sa place, supposons place n°1.
+ 1/(n+1)*P_n : cas où le premier s'assied à la place n°2. Le second passager sera confronté au choix parmi n places, et le choix de la place n°1 règlera la question. La situation est donc identique à celle d'un premier passager entrant dans un avion à n places, donc P_n.
+1/(n+1)*P_n-1 : cas où le premier s'assied à la place n°3. Le 3ème passager sera confronté au choix parmi (n-1) places, et le choix de la place n°1 règle la question. La situation est donc identique à celle d'un premier passager entrant dans un avion à n-1 places, donc P_n-1
+....
+1/(n+1)*P₂ : cas où le premier s'assied à la place n°n. Le n ième passager sera confronté au choix parmi 2 places, et le choix de la place n°1 règle la question. La situation est donc identique à celle d'un premier passager entrant dans un avion à 2 places, donc P₂.

P_(n+1)= 1/(n+1) + (n-1)*(1/2)/(n+1) = (n+1)*(1/2)/(n+1)=1/2..
P_(n+1)=1/2..
Ce qui démontre la récurrence...

Posté par manpower manpower

Bonjour,

décidément Nofutur2, tu es toujours là pour me contredire
je vais donc continuer à écrire des âneries jusqu'à ce qu'une passe inaperçue !
Pour la première démonstration, je concède l'avoir survolée en misant sur ta fiabilité
Merci enfin pour la seconde.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Mais non, manpower, mon but n'est pas de te contredire !!!.
Je te remercie de m'avoir donné l'occasion d'exposer la démonstration à laquelle j'ai pensé.... après ma réponse (comme d'hab.)...Ouf, heureusement que cette fois ci le résultat est bon !!
Il y a comme çà des énigmes qui continuent à me tourmenter, même lorsque j'ai répondu...et celle-ci en a fait partie.
Encore bravo pour ta vision originale du problème.

NF2

Posté par oni oni

j'ai une question sur ce probleme, j'ai essayé de cette maniere mais je ne sais pas continuer:

pour que le 1er passager(ayant le mauvais ticket) prenne la place du n°127, il y a ue chance sur 127
pour que le 2e passager prenne la place du N°127, il y a une chance sur 126
(...)
pour que le 126e prenne la place du 127e il y a une chance sur 2

donc a partir de la on a trouvé les chances qu'avait le 127e passager d'avoir sa place, il s'agit d'une somme de plusieurs probabilités: 1/127, puis 1/126, puis...puis 1/2

a partir de ce raisonement, peut on trouver la probabilité qu'il se retrouve a sa place?
je ne me rappelle plus trop du cours sur les proba... alors je suis resté coincé ici