DEFI 24 : Le nombre cible.

Posté par minkus minkus

Bonjour a tous.

Laurel et Hardy jouent à un jeu de nombres. En partant de zéro, chacun ajoute à tour de rôle l'un des trois nombres 1, 8 et 11 au total déjà atteint. Le premier qui est contraint de dépasser le nombre cible 2006 a perdu.

Laurel vient d'annoncer « 92 ».

Qui va gagner ? Quel est le prochain total que le gagnant doit annoncer ?

Bonne réflexion.

minkus

Posté par Alkéos Alkéos

Laurel va gagner et va annoncer 100 ! (Sans trop penser)

Posté par Alkéos Alkéos

Je sais j'ai faux !

Posté par Delool (invité)

Bonjour,

Je dois dire que cette énigme ne m'a pas énormément inspiré.
J'ai donc excellisé pour trouver la solution.

Je trouve que c'est Hardy qui va gagner.
Il doit ajouter 8 à 92 pour être sûr de gagner.
Il va donc annoncer 100.

Posté par kiko21 kiko21

Bonsoir,

on dirait du "Fort Boyard", avec les bâtonnets blancs à retirer par 1, 2 ou 3, et où il ne faut pas prendre le dernier...

Là, c'était plus dur.

C'est qui va gagner.
Et pour gagner, il devra annoncer après le 92 annoncé par le pauvre Laurel, qui va hélas perdre et encore pleurer !!!!

Merci et à bientôt, KiKo21.

PS Je vais avoir du mal à continuer pour ce Challenge de juin, étant en déplacement jusqu'à vendredi soir... à moins de trouver un pc et une connexion...

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

à condition que les deux joueurs jouent, à chaque tour, le meilleur coup (enfin surtout Hardy )
en partant de la fin le gagnant est celui qui annonce 2006, donc 2005 est perdant...
J'ai examiné les 11 premiers cas:
^{2006: Gagne
2005: Perd
2004: Gagne
2003: Perd
2002: Gagne
2001: Perd
2000: Gagne
1999: Perd
1998: Perd (1998+8=2006 G)
1997: Gagne (1997+1=1998 P)
1996: Perd (1996+1=1997 G et 1996+8=2004 G)
1995: Perd (1995+11=2006 G)}

Ensuite, au rang n, si (n+1) ou (n+8) ou (n+11) gagne, alors n perd et dans le cas contraire n gagne.
J'en déduis (avec la tirette magique, mais on doit pouvoir utiliser les restes de divisions entières par 19 au vu de la périodicité...), que n=92 perd.

Ainsi le gagnant est , et il doit annoncer (95 et 97 sont aussi gagnants mais ne peuvent être atteint à partir de 92).

Très joli problème, vraiment. Merci.

_{J'enrage de ne pas avoir le temps de traiter cela correctement (sans la tirette, puis étude de la stratégie à adopter par Hardy... )
Juste un détail amusant, normalement c'est Laurel qui a commencé et le joueur qui commence est sûr de perdre !
Je doute avoir le temps d'y revenir car la semaine à venir s'annonce extrêment chargée pour moi... mais on ne sait jamais... )}

Posté par Nofutur2 Nofutur2

J'ai tout d'abord comptabilisé les scores « gagnants » et  « perdants », de manière décroissante, en partant de X, valeur cible à ne pas dépasser.
Un score gagnant, est un score, tel que, si un joueur l'annonce, il gagne.
Un score perdant, est un score, tel que, si un joueur l'annonce, il perd.
En considérant, bien sûr, que le deux joueurs jouent au mieux.
On découvre très vite deux propriétés utiles à l'établissement de cette liste.
Un score est gagnant, si et seulement si, en lui ajoutant 1, 8 ou 11, j'obtiens impérativement un score de la liste des scores  perdants.
Un score est perdant, si et seulement si, en lui ajoutant soit 1, soit 8, soit 11, je peux obtenir un score de la liste des scores  gagnants.

Je suis allé de X à X-54. Je m'aperçois que si le score est inférieur à X-16, j'obtiens une répartition cyclique de période 19.
Voila les scores perdants et les nombres que l'adversaire doit jouer pour gagner.
(X-16) -(19*k+1) : 1,8,11
(X-16) -(19*k+3) : 1,8
(X-16) -(19*k+4) : 11
(X-16) -(19*k+6) : 1,11
(X-16) -(19*k+8) : 1,8
(X-16) -(19*k+10) : 1,8
(X-16) -(19*k+11) : 11
(X-16) -(19*k+13) : 1,8,11
(X-16) -(19*k+15) : 1,8
(X-16) -(19*k+16) : 11
(X-16) -(19*k+17) : 8
(X-16) -(19*k+18) : 11

Or, 92 est de la forme (2006 -16) - (19*99+17).
C'est donc un score perdant et le nombre à jouer par l'adversaire est 8.
Hardy va gagner et il devra annoncer « 100 ».

Posté par nobody (invité)

L'énoncé est encore (volontairement ou pas) laissé vague : je vais considérer ici que Laurel et Hardy jouent de la meilleure façon possible. Si on ne suppose cela, il est impossible de répondre. Je considère également que 'dépasser 2006' signfie 'dire un nombre STRICTEMENT supérieur à 2006'.

Par ordinateur, je créé la liste des nombres tels que la personne qui annonce l'un de ces nombres est sure de gagner si elle joue correctement. J'appelle ces nombres les nombres vainqueurs.

2006 fait partie de ces nombres vainqueurs.
Ensuite, je simule les coups possibles à partir d'autres nombres.

2004 :
  2004 -> 2005 -> 2006, qui est vainqueur
2002 :
  2002 -> 2003 -> 2004, qui est vainqueur
2000 :
  2000 -> 2001 -> 2002, qui est vainqueur
1997 :
  1997 -> 1998 -> 2006, qui est vainqueur
  1997 -> 2005 -> 2006
Donc 1997 est vainqueur.
1990 :
  1990 -> 1991 -> 2002, qui est vainqueur
  1990 -> 1998 -> 2006, qui est vainqueur
  1990 -> 2001 -> 2002
Donc 1990 est vainqueur.

(Les nombres non affichés, ne sont pas vainqueurs).
......

104 :
  104 -> 105 -> 116, qui est vainqueur
  104 -> 112 -> 123, qui est vainqueur
  104 -> 115 -> 116, qui est vainqueur
102 :
  102 -> 103 -> 104, qui est vainqueur
  102 -> 110 -> 121, qui est vainqueur
  102 -> 113 -> 114, qui est vainqueur
100 :
  100 -> 101 -> 102, qui est vainqueur
  100 -> 108 -> 109, qui est vainqueur
  100 -> 111 -> 119, qui est vainqueur
97 :
  97 -> 98 -> 109, qui est vainqueur
  97 -> 105 -> 116, qui est vainqueur
  97 -> 108 -> 109
95 :
  95 -> 96 -> 97, qui est vainqueur
  95 -> 103 -> 104, qui est vainqueur
  95 -> 106 -> 107, qui est vainqueur
90 :
  90 -> 91 -> 102, qui est vainqueur
  90 -> 98 -> 109, qui est vainqueur
  90 -> 101 -> 102

Donc, en disant 100, s'il joue correctement, Hardy est sûr de gagner, quel que soient les coups de Laurel.

Posté par prof2 (invité)

Bonjour:
Je trouve que c'est Hardy qui va gagner et que le score qu'il va annocer est 103.

Voici pourquoi. J'étudie les restes qu'un joueur doit laisser derrière lui pour gagner à coup sûr et je trouve les résultats suivants:
0  40  80  ... 0 + 40n, n entier naturel  donc 1880
2  42  82  ... 2 + 40n                    donc 1882
4  44  84  ... 4 + 40n                    donc 1884
6  46  86  ... 6 + 40n                    donc 1886
9  49  89  ... 9 + 40n                    donc 1889
16 56  96  ... 16 + 40n                   donc 1896
18 58  98  ... 18 + 40n                   donc 1898
21 61 101  ... 21 + 40n                   donc 1901
23 63 103  ... 23 + 40n                   donc 1903
25 65 105  ... 25 + 40n                   donc 1905
28 68 108  ... 28 + 40n                   donc 1908
30 70 110  ... 30 + 40n                   donc 1910
35 75 115  ... 35 + 40n                   donc 1915
37 77 117  ... 37 + 40n                   donc 1917

En utilisant ce tableau général, je m'aperçois que Laurel ayant annoncé 92, il laisse un reste de 2006-92=1914 qui ne fait pas partie des restes gagnants, et que si Hardy annonce 92+11=103, il laisse un reste de 1903, qui est l'un des restes faisant gagner à coup sûr.
Merci pour ce défi.

Posté par piepalm piepalm

2006 est donc une position gagnante, ainsi que 2004, 2002, 2000, 1997, et parmi les nombres inférieurs, ceux congrus à 0, 2, 5, 7, 9, 12 et 14 modulo 19.
Comme 92=16 mod 19, c'est une position perdante, et Hardy n'aura qu'à ajouter 8 pour obtenir 100 (=5 mod 19) pour être assuré de gagner

Posté par plumemeteore plumemeteore

Hardy doit gagner s'il joue parfaitement.
Au prochain coup, il doit annoncer 100, en ajoutant 8.

Résolution par tableur :
Attribuons à 2006, 2005, 2004, ..., 0, les cellules A1, A2, A3, ..., A2007.
Remplissons les cellules de 1 ou de 0 selon que le joueur qui annonce le nombre correspondant est gagnant ou perdant.
On peut écrire de A1 à A11 : 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0;
En A12, formule : =si(A1+A4+A11>0;0;1), à recopier de A13 à A2007
Si mon adversaire peut atteindre un nombre gagnant à partir du mien, je perds, sinon je gagne.

La cellule correspond à 92, A1915 a la valeur 0 : Laurel perd.
Hardy devra choisir 100, A1907 ayant la valeur 1; les deux autres nombres possibles sont perdants (A1904 = A1914 = 0).

A partir de A13, commence un cycle de 0 et de 1 de longueur 19, que je ne sais pas expliquer.

Posté par savoie (invité)

Bonjour,

Voici ma proposition :
Essayons de trouver d'abord comment gagner.
Celui qui tombe sur 2006 est sût de gagner, car celui qui « dépasse » (et non « atteint ») 2006 est sûr de perdre.
Celui qui tombe sur 2005 perd
Celui qui tombe sur 2004 gagne
Celui qui tombe sur 2003 perd etc…

Recherchons donc le liste des nombres qui, pour celui qui les atteint, gagne. On la construit en recherchant tous les nombres à partir de 2006 (en remontant), qui ne sont pas des chiffres qui perdent… ca paraît une lapalissade mais pas tant que ça.

2006 2004 2002 2000 1997 1990 1988 1985 1983 1981 1978 1976 1971 1969 1966 1964 1962 1959 1957 1952 1950 etc…

A partir de 1988, on s'aperçoit que la suite de ces nombres se retrouve avec une périodicité de 19. Cherchons un nombre X entre 1950 et 1988 tel que : X = 19n + 92. On trouve X = 1954 ou 1973, qui ne sont pas des nombres qui gagnent.
1954 + 8 = 1962
1954 + 1 ne donne pas un nombre gagnant
1954 + 11 ne donne pas un nombre gagnant
Même calcul pour 92.

Donc :
Laurel, qui vient d'annoncer 92, est sûr de perdre si Hardy joue sans erreur.

C'est à Hardy de jouer, il est le gagnant : pour cela il doit jouer 92 + 8 = 100.

Merci pour cette belle énigme.

Posté par caylus caylus

Bonjour Minkus,

Oliver Hardy va gagner.
Le prochain total que le gagnant doit annoncer est

Posté par geo3 geo3

Bonjour
Hardy va gagner  à condition  qu'il annonce comme prochain total 100
A+

Posté par lotfi lotfi

salut
je pense que c'est hardy qui gagne en annoncant le score 100.
LOTFI

Posté par Nikola LFZ (invité)

Hardy va gagner et doit dire 8

Posté par chanty (invité)

Bonjour

Ma réponse est Hardy en annonçant le total de 100 (92 + 8)

Merci

Posté par chaudrack chaudrack

Bonsoir tout le monde!!!

Balaise l'énigme, une cing étoile à coup sur..

J'ai d'abord pensé qu'il s'agissait d'une version modifiée du jeu des allumettes dans Fort boyard, où on tire 1,2ou3 allumettes, et là j'ai souris!

Mais quand je me suis aperçu que les nombres 1,8 et 11 ne permettaient pas de controler un total sur 2 coups (comme avec les allumettes 1+3 2+2 et 3+1), là j'ai moins souris

J'ai alors vérifié qu'un total ne pouvait se controler sur 3,4,5 et 6 coups et là -c'est le drame- j'ai pleuré!

Mais diantre quelle est l'astuce de cette énigme trépidente que voilà!

c'est alors que me vint une illumination.

On ne peut controler un total, mais on peut controler la parité du total.

En effet, 1+11=12 (pair); 8+8=16 (pair) et 11+1=re12(repair)!

Ainsi, si Hardy joue 8, le total passe à 100 et il manque à ce dernier exactement 1906 pour gagner.

Mais en même temps, si le score total atteint par laurel est 1998, qui est pair, Laurel peut tres bien jouer 8 qui ferait perdre la partie à Hardy!

Et là, re-illumination. Si Hardy s'arrange en plus que de faire des totaux pairs, des totaux égaux à 12 ou 16 (soit 8+8 ou 11+1 ou 1+11), alors l'équation serait 100 + 12x + 16 y = 1998, qui pour ma plus grande joie ne donnent aucune solution entière pour x et y. (merci excel, même si je sais qu'on peut résoudre ça par diaophantre chez pas quoi!!!)

Bref, je sais pas si vous avez tout compris, mais je pense que si Hardy joue 8 et qu'ensuite il s'arrange pour faire des scores de 12 ou 16 (en fonction de ce que dit Laurel) il est sur de gagner car il s'approchera de 2006 (en fait à 2004).

Ma réponse est donc Hardy gagne en annonçant un total de 100.

Merci pour cette énigme passionnante qui m'a fait défriser les cheveux (voir mon avatar!!!)

Ps: Nofutur, Puiséa et Minkus, on t'a rconnu: t'es la même personne!!! c'est pas possible sinon

Ps2, dis-moi, Minkus, si la réponse à mon énigme était: "j'ai la même que Nofutur", est ce que j'eusse obtenu un smiley?

@ plus, Chaudrack

Posté par ireeti ireeti


bonjour minkus

1)c'est hardy qui gagne

2)le prochain total gagnant annoncé est 100

amicalement ireeti

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Hardy va gagner en annonçant "100".

A+,
Gloubi

Posté par borneo borneo

Qui va gagner ? Quel est le prochain total que le gagnant doit annoncer ?

Hardy va gagner. Il annonce 103 en faisant 92 + 11 = 103

merci pour l'énigme.

Posté par borneo borneo

Bonjour, j'ai vraiment eu peur que l'énigme soit clôturée avant que je trouve la solution. Dans le stress du bac de français du petit et des concours de la grande, je n'ai pas eu beaucoup de temps.

Bref, j'ai essayé plein d'astuces pour que Hardy puisse gagner à coup sûr, puisqu'il avait la main. Rien à faire, aucune technique de jeu systématique ne lui permettait de gagner à coup sûr. J'ai essayé de lui faire jouer 1 après 11, 11 après 1 et 8 après 8 (bonds de 12 et de 16) mais rien à faire.

Donc j'ai cherché la périodicité des annonces gagnantes, et j'ai trouvé assez vite 5 2 3 2 2 3 2 puis ça recommence. On arrivait à des scores gagnants de 113 108 106 103 101 99 96 94... donc en annonçant 92 + 11 = 103, Hardy tombe sur une annonce gagnante.

Comment il va gérer la suite de la partie, j'aimerais bien le savoir

Merci pour cette belle énigme. J'ai vu qu'elle avait été proposée aux Championnats, mais aucun moteur de recherche ne donnait la solution. Du coup, c'est beaucoup plus sportif, forcément

Posté par Torpedo (invité)

Bonsoir !

Pas évident ce défi ! Peut-être méritait-il un 4 étoiles ?

Hardy va gagner et il doit annoncer comme prochain total 100. (=92+8)

J'ai procédé comme suit pour arriver à cette conclusion. Je réalise un crible des entiers compris entre 1 et 2006 de la façon suivante : partant de 2006, j'élimine les entiers 2005, 1998, 1995 (que j'obtiens en soustrayant 1, 8 et 11). Puis je descends dans la liste des entiers jusqu'au prochain non encore éliminé : ici, 2004. Et je recommence le crible (j'élimine 2003, 1996, 1993). Etc.

Les nombres restants après le crible sont mes nombres "cibles". Ce sont les nombres que je veux annoncer pour gagner. En effet, dans ce cas je suis certain que :
* mon adversaire ne pourra pas annoncer un nombre "cible" au coup suivant.
* Je pourrai à nouveau retomber sur un nombre cible après qu'il ait joué.

Bien évidemment à moins de le programmer informatiquement faire le crible en partant de 2006 jusqu'à 92 semble un peu long. Mais heureusement on constate qu'une périodicité apparaît à partir d'un certain rang. On retrouve le même motif de crible avec la période 19. Ce qui me permet de connaître les nombres cibles autour de 92. Je constate que 92 n'en est pas hein, Laurel a donc perdu si son adversaire applique la méthode du crible ! Hardy joue ensuite et le seul nombre cible accessible pour lui est 100.

A++

Posté par Livia_C Livia_C

Bonjour,
Hardy va gagner.
Le prochain total qu'il doit annoncer est 100.
Merçi pour l'énigme.

Posté par masterfab2 masterfab2

Le gagnant sera Hardy en annonçant 103

Posté par evariste evariste

Je ne suis pas sur d'avoir bien compris l'énoncé mais je vais tenter la réponse suivante :
Le gagnant serait Laurel et le prochain total qu'il annonce serait 111

Posté par alpha20020 alpha20020

Bon, nouvelle tentative vaine dans les énigmes...

J'annonce que c'est Hardy qui va ardemment gagner. Donc ca sera à Laurel, de dépasser le seuil des 2006... Et pour ce qui est du total prochain que le gagnant doit annoncer, cela sera soit 93, soit 100, soit 103.

Pour ce faire j'ai soustrait 92 à 2006, ce qui m'a donné 1914. ensuite j'ai remarqué que Laurel tirait les impairs et Hardy les pairs, donc 1914 est pair, Harry pourra tirer un 1. Hardy, serat contraint de prendre soit le 1, soit le 8, soit le 11 et dans tous les cas il dépassera le seuil limite. Mais bon ca sera surement faux, mais qui ne tente rien n'a rien... Et qui tente sans savoir programmer...

Posté par minkus minkus

Bonjour a tous et desole pour les delais de correction.

Le jeu de cette enigme est a classer dans la grande famille des jeux de Nim qui sont des jeux de strategie a information complete (comme les echecs) ce qui veut dire que les deux joueurs ont exactement les memes informations pour jouer, contrairement aux jeux de cartes par exemple. L'exemple du jeu de Fort Boyard est un des plus connus et des plus simples.

Pour resoudre ce genre de problemes, nul besoin de programmation. Une simple analyse retrograde suffit, en tout cas lorsque les choses s'arrangent bien et bien sur en considerant (comme dans les problemes d'echecs) que chaque joueur joue a chaque fois son meilleur coup

Ici on pouvait etudier les positions gagnantes (pour celui qui les annonce), dont voici les premieres :

2006 2004 2002 2000 1997 1990 1988 1985 1983 1981 1978 1976 1971 ...

A partir de la on constante une repetition des intervalles 2 3 2 2 3 2 5 qui commence a 1990 jusqu'a 1971 et forme donc une periode de 19.

Cela permet d'arriver a 90 qui est donc une position gagnante. Les precedentes sont 95 97 100 102 104 107 109 114 116 119 et les suivantes 88 85 etc...

Laurel vient d'annoncer 92 qui est une situation perdante. Hardy doit donc essayer d'atteindre une situation gagnante et la seule possibilite est 100 en ajoutant 8.

C'est donc bien Hardy qui va gagner en annoncant 100.

Il est impossible de donner la suite des coups car ils dependent des choix de Laurel.

Par exemple au prochain coup,

si Laurel annonce 101, Hardy annonce 102 position gagnante.

si Laurel annonce 108, Hardy annonce 109.

si Laurel annonce 111, Hardy annonce 119.

La theorie des congruences permet de montrer que d'une position perdante on peut toujours atteindre une position gagnante et que d'une position gagnante on ne peut atteindre qu'une solution perdante. Cela explique que Laurel est condamne...

En reponse aux remarques de certains, je dirai que le niveau des enigmes est difficile a evaluer. Pour moi celle-ci aurait pu avoir seulement deux etoiles car je connais tres bien le truc, pour d'autres apparemment elle en vaut bien 5

>Chaudrak : Bravo pour ta solution originale utilisant la parite et ton enthousiasme dans la resolution des enigmes

>Borneo:



Oui forcement Tu avais la bonne methode, as tu fait une erreur de calcul ?

Bravo a tous ceux qui ont trouve.

minkus

Posté par minkus minkus

A propos de jeux de Nim, voila un site

La presentation a un air de deja vu, n'est ce pas ?

Posté par borneo borneo

Salut Minkus.



Je me suis dépéchée de poster de peur que l'énigme soit clôturée. Du coup, je n'ai rien vérifié

Posté par minkus minkus

Tu as poste le 14 et l'enigme a ete ouverte le 11 ! 3 jours seulement, ce n'est pas dans mes habitudes

Posté par borneo borneo

Oui, c'est vrai. Mais mettre 3 jours (et 3 nuits) pour répondre à une énigme n'est pas dans les miennes