DEFI 27 : Le rouge et le noir.

Posté par minkus minkus

Bonjour à tous.

Sur un ruban long de 2006 mètres, le petit Julien s'amuse à tracer un trait noir tous les 11 millimùètres et un trait rouge tous les 17 millimètres en partant de la même extrémité du ruban. Le premier trait noir se trouve à 11 mm de cette extrémité et le premier trait rouge à 17 mm de cette même extrémité. Ces deux premiers traits sont donc distants de 6 mm.

La question est alors la suivante : Combien y a t-il de traits rouges situés à 1 millimètre d'un trait noir ?

Bonne réflexion.

minkus

Posté par chaudrack chaudrack

bonjour,

En attendant un temps plus clément (un peu poissonneux en ce moment)

Ma réponse est 21

(On ne précise pas si le trait rouge doit être avant le noir ou apres)

Pour info, si les noirs devaient être avant les rouges, il y'en aurait 11

Merci pour l'énigme.

Chaudrack

Posté par chanty (invité)

Salut à tous !

Il y a 21 traits rouges situés à 1 mm d'un trait noir.

Merci pour this énigme.

Posté par chanty (invité)

Euh, je bien évidemment dire 21 454.
Vous aurez rectifié de vous même ...

Posté par gloubi gloubi

Bonjour,

Dans chaque portion de 11*17=187 mm, il y a un seul trait rouge situé à 1 mm d'un trait noir (le trait noir à 33 mm, le trait rouge à 34 mm).

2006 m = 10727 * 187 + 51 mm.

D'où la réponse: 10728 traits rouges situés à 1 millimètre d'un trait noir.

Merci pour cette énigme,
A+,
gloubi

PS: j'ai préféré écrire "mm" plutôt que "millimùètres".

Posté par chaudrack chaudrack

aie aie aie!

J'avais pas vu que la longueur était de 2006 mètres!

Mais qui peut bien s'amuser a faire des traits tous les 11 mm sur 2006000 mm?

Julien est complètement dingue..

Il ne faut pas l'encourager dans cette voie,

Moi je couperai son ruban à 2006 mm, c'est déjà bien suffisant,

On a pas le droit de laisser faire ça à un enfant!!

Si vous êtes d'accord avec moi, alors taper 1 au 6.10.10

Allez, a bon entendeur, avant que ma barque pleine de poisson se mette à chavirer (mine de rien le centre de gravité de mon ensemble bateau poisson commence à être un peu haut...)

Salut!

chaudrack

PS: En cette période de bac, on recoomande du poisson pour améliorer sa mémoire... Comment se fait-il dans ces conditions que le temps de lire l'énoncé et d'y répondre, j'avais déjà oublier...

Posté par nobody (invité)

On résout successivement les équations
et . Equations facile à résoudre pour un T° S avec spécialité maths. Par exemple, les solutions à la première équation sont
On compte le nombre de solutions telles que et .
De plus, on est sûr qu'on ne compte pas 2 fois le même trait (un trait  rouge ne peut pas être proche de 2 traits noirs).
Je trouve alors 10728+10727 soit 21455 traits rouges proches d'un trait noir.

Posté par chanty (invité)

Petite explication, si ça peut influencer le jury mais j'y crois pas trop, ça ferait jurisprudence.

J'avais bien noté que la longueur de la corde est donnée en mètres alors que les intervalles le sont en "millimùètres", mais pendant la résolution et dans l'enthousiasme de trouver une solution, je l'ai oublié.

Bref, j'ai remarqué qu'à partir du premier nombre trouvé (33), on trouve le suivant en ajoutant 11*11, puis le suivant en ajoutant 6*11 et on recommence +11*11, +6*11 etc
J'ai noté alors u1 = 154 le second nombre trouvé et je ne me suis intéressée qu'à un nombre sur 2 : u2 = 154 + 17*11 = 341, u3 = 341 + 17*11 etc
(un) est donc une suite arithmétique de raison 17*11 = 187
J'ai ensuite résolu un = 2006000, trouvé n = 10727.
Donc le nombre cherché est 2*10727 + 1 = 21455
Le +1 correspond au dernier +6*11 qui est encore < à 2006000.

J'espère avoir été claire et avoir juste cette fois.

Posté par chaudrack chaudrack

Bon, ça sert à rien, mais pour l'honneur..

Pour 187 mm, (multiple de 11 et 17), j'en trouve 2.

Il y'a 10727 fois 187 + 51, soit 21454 + 1 (1 fois entre 0 et 51)

Ma réponse définitive est donc 21455

Posté par Nofutur2 Nofutur2

Il y a 21455 traits rouges situés à 1 millimètre d'un trait noir... en autant de traits noirs situés à 1mm d'un trait rouge.

Posté par Fractal Fractal

Bonjour, je trouve 21 traits rouges situés à 1 mm d'un trait noir.

Fractal

Posté par caylus caylus

Bonjour Minkus,

Il y a traits rouges situés à 1 millimètre d'un trait noir .

Posté par borneo borneo

Bonsoir, j'en trouve 21455. Il est courageux, le petit Julien

Merci pour l'énigme.

Posté par lotfi lotfi

BONSOIR

il y a 21 traits rouges.

LOTFI

Posté par kimented kimented

Bonjour,
Il y a 21 traits rouges situés à 1 mm d'un trait noir
ci joint le code avec coloration synthaxique

Posté par kimented kimented

résultats: 34 153 221 340 408 527 595 714 782 901 969 1088 1156 1275 1343 1462 1530 1649 1717 1836 1904

Posté par geo3 geo3

Bonjour
Le nombre de traits rouges situés à 1 millimètre d'un trait noir devrait être
A+

Posté par plumemeteore plumemeteore

21455

2006000/187 = 10727 reste 51
Par tranche de 187 mm, il y a deux traits rouges chacun distant à un millimètre d'un trait noir.
Dans le reste, il y en a un.

Posté par savoie (invité)

Bonjour,

Voici ma proposition :

Tous les 187 mm, par 2 fois les traits rouge et noirs sont à 1 mm l'un de l'autre (il est bien dit « 1 mm » et non « 1 mm maximum » : dans ce cas ce serait 3 fois).

Découpons un ruban de 2006 m (2 km 006, tu exagère pas Minkus ? c'est pour tromper ceux qui lisent trop vite l'énoncé ?), soit 2006000 mm. On a :  
2006000 = 10727 x 187 + 51.

Sur le dernier morceau de ruban, qui fait donc 51 mm, les 2 traits rouge et noir sont à 1 mm de distance aux mm 33 pour l'un, 34 pour l'autre.

Je trouve donc : 21 455 traits rouge situé à 1 mm d'un trait noir.

La question se pose ensuite : pourquoi Minkus a mis 3 étoiles ? Plusieurs possibilités :
1-/ Est-ce que parce que la question est absurde, parce que à raison d'un trait rouge ou d'un trait noir toutes les 10 secondes, il faut sans s'arrêter plus de 834 heures soit plus d'un mois pour tracer tous les traits ?
2-/ Est-ce que le ruban est enroulé sur lui-même, et donc il est impossible de dénombrer les traits rouge à 1 mm de distance des traits noirs ?

Je penche pour une dernière hypothèse : prenons 1 trait noir bien précis. Combien de trait rouge à 1 mm de ce trait : ben, 0 ou 1, tout simplement !

Voilà ma réponse, selon l'interprétation de l'énoncé :

Soit 21 455 traits rouge sont situé à 1 mm d'un trait noir, si le trait noir n'est pas considéré comme précisément identifié.

Soit 0 ou 1 trait rouge est à distance d'un trait noir, si l'on prend un trait noir isolément.

Il me semble que ces 2 réponses sont plausibles en fonction de l'interprétation de l'énoncé. Espérons que cela me fera 2 smileys (et non 2 poissons).

Merci pour cette énigme.

Posté par Torpedo (invité)

Bonsoir,

Il y aura 21455 traits rouges situés à 1mm d'un trait noir.

En effet, le motif des traits va se répêter tous les 187mm (), et la relation de Bezout permet de trouver les traits distants de 1mm. On aura par intervalle de 187mm, un seul couple d'entiers naturels tel que et un seul couple tel que  . Il s'agit respectivement de (2,3) et de (9,14).

Il y a 10272 intervalles de 187mm sur le ruban, plus 51mm dans lesquels viennent se loger un trait noir (à 33mm) et un trait rouge (à 34mm) distants de 1mm. Soit un total de .

A++

Posté par manpower manpower

Bonsoir,

ce n'est certainement pas la méthode la plus élégante mais bon (je pare au plus préssé...)
sachant que 11x17=187 donc 17 traits noirs équivalent 11 traits rouges et que les deux marques partent de zéro (extrèmité du fil),
il suffit d'analyser ce qu'il se passe entre 0 et 187mm.
En constatant que la situation proposée ne se produit que deux fois _{(aux et portions avec comme unité les traits noirs)},
je divise 2006000 (après conversion) par 187, pour obtenir .
Ainsi, j'en conclus que la situation se produira fois _{(10727x2 entre 0 et 2005949 et une fois encore à 2005982)}.
Soit un total de fois.

Merci pour l'énigme.

_{PS: De façon générale, pour un entier n, avec , celà se produit 2q fois si r<33, 2q+1 fois si 33=<r<154 et 2q+2 fois si 154=<r<187.
PPS: Je ne pense pas que l'énigme, malgré le double-piège unité et ajout de 1, méritait 3 étoiles... de plus je n'ai pas croisé Rose et le Vert...}

Posté par alrou (invité)

Bonjour,
voici ma réponse à l'énigme...

Un ruban de 2006 m ( soit 2006000 mm ) est un ruban de 10727 parties de 187 mm auxquelles on ajoute une 10728e partie de 51 mm.( En effet, 187 = 11X17 donc l'on trouve un trait rouge et un trait noir confondus tous les 187 mm ).

En analysant les multiples de 11 et de 17 dans la première de ces parties de 0 à 187 mmm :

1)
on a un trait rouge à 33 mm ( 3X11 ) et un trait noir à 34 mm ( 2X17 ), et cette caractéristique se réitère dans les autres parties, y compris la dernière de 51 mm.

2)
on a un trait noir à 153 mm ( 9X17 ) et un trait rouge à 154 mm ( 14X11 ), et cette caractéristique se réitère dans les autres parties, exceptée la dernière de 51 mm.

En additionnant, on a donc 10728 traits rouges précédant d'1 mm un trait noir, et 10727 traits rouges suivant d'1 mm un trait noir, soit au total :
10728 + 10727 = 21455 couples de traits rouge et noir distants d'1 mm.

Posté par Livia_C Livia_C

Bonjour,
Il y a 21  traits rouges situés à 1 millimètre d'un trait noir.
Ces traits se trouvent aux distances suivantes de l'extrémité ( en milimètres)

Noir Rouge

33   34
154  153
220  221
341  340
407  408
528  527
594  595
715  714
781  782
902  901
968  969
1089 1088
1155 1156
1276 1275
1342 1343
1463 1462
1529 1530
1650 1649
1716 1717
1837 1836
1903 1904

Merçi pour l'énigme.

Posté par piepalm piepalm

à 187mm, les deux traits coïncident et on revient à la situation de départ.
Entre 0 et 187, on a 2*17=34 et 3*11=33, et 9*17=153 et 14*11=154
comme 2006000=10727*187+51 la situation se produira 2*10727+1=21455 fois

Posté par _Estelle_ _Estelle_

Bonjour,

Il y en a 21.

Merci minkus pour l'énigme.

_{Je ne sais pas pourquoi, mais je suis sûre que Shadyfj n'aurait pas fait cette énigme. Julien Sorel rappelle d'excellents souvenirs}

Estelle

Posté par prof2 (invité)

Bonjour, je trouve 21455 traits rouges situés à 1 mm d'un trait noir.
Je résous dans les équations:17u-11v=1 et 17u-11v=-1.
Résolution de 17u-11v=1:
Solution particulière: 172-113=1
  17u-11v=117(u-2)=11(v-3)
17 et 11 sont premiers entre eux, d'après le théorème de Gauss:u-2=11k et v-3=17k, k
donc 17u=187k+34 et 11v =187k+33, k.
Comme 17u et 11v doivent être compris entre 0 et 2006000, on trouve: 0k10727.
Cela donne 10728 traits rouges, correspondant aux 10728 valeurs de k.
Résolution de 17u-11v=-1:
ce sont les couples (-u; -v) opposés des couples (u; v) solutions de 17u-11v=1;d'où on trouve 17u=-187k-34 et11v=-187k-33, k et pour que 17u et 11v soient compris entre 0 et 2006000, il faut que -10727k-1, donc cela donne 10727 traits rouges correspondant à ces 10727 valeurs de k.
En conclusion, on a 10728+10727 = 21455 traits rouges situés à 1 mm d'un trait noir.
Ouf! J'ai commencé par oublier de convertir les mètres en millimètres: une de mes spécialités...

Posté par jugo jugo

Bonjour,

Rapidement, après un petit coup d'XL, je trouve 21.
J'espère que je n'ai pas été trop vite ...  

Posté par Skops Skops

>>_Estelle_ : Merci qui ?

Ma réponse :

2006 est divisble par 0,017 et le résultat est égale à 118000 (cool , le résultat est entier )

Donc le ruban est divisible en 11800 morceaux de 0,017 m de longueur.
Donc 117999 traits rouges.

Or, le deuxième trait rouge est à un milimètre du 3ème trait noir.
le troisème trait rouge est à un milimètre du 4ème trait noir.

Donc je prend les 117999 traits rouges moins le premier trait (qui n'est pas a un milimètre du deuxième trait noir)

Donc je dirais 117998 traits rouges se trouvant à un milimètre d'un trait noir.

Merci pour l'énigme (Première fois que je réponds à une énigme 3 étoiles )

Skops

Posté par Fractal Fractal

Merci pour le poisson
Le ruban fait 2006 mètres et non pas millimètres....
Bon j'ai la flemme de recalculer donc ca doit faire à peu près 21000, mais bon.... et un poisson, un.

Fractal

Posté par _Estelle_ _Estelle_

Oups, c'était 2006 mètres

Vive les poissons

Borneo : ça ira rejoindre rayon/diamètre, le vers et compagnie dans les erreurs stupides..

Estelle

Posté par borneo borneo

Je vous donne ma soluce, sachant que je l'ai trouvée de manière bourin.

Je constate que les premières solutions sont en 33 et en 154. Ces solutions sont espacées de 11*17

Donc je fais (2006000 - 33)/(11*17)= 10727

et (2006000 - 154)/(11*17)= 10726

je ne prends que les parties entières, et j'ajoute 1 à chaque résultat (problèmes de piquets ce qui me donne un total de 21455.

Voili voilà. J'ai failli traiter le problème avec 2006 mm.

Posté par evariste evariste

Il y a 21 455  traits rouges situés à 1 millimètre d'un trait noir

Posté par Wismerhill (invité)

Salut à tous,

je trouve 21455 traits rouges situés à 1 millimètre d'un trait noir.

Enfin quand je dis, je trouve, en fait j'ai rentré ça dans Delphi :

  for i := 1 to 118000 do
  begin
    longueur := i*17;
    if (longueur + 1) mod 11 = 0 then inc(compteur);
    if (longueur - 1) mod 11 = 0 then inc(compteur);
  end;

et lui m'a donné le résultat

@+

Posté par Delool (invité)

Bonjour,

21455

Bon courage à Julien, car s'il met 1 seconde à tracer un trait,
il en a pour environ 3 jours et demi...

Posté par alfred15 alfred15

Bonjour !

Je dirais que le résultat cherché est 21455

A bientôt

Posté par kiko21 kiko21

Bonjour,

Je trouve qu'il y a situés à 1 millimètre d'un trait noir.

Merci et à bientôt, KiKo21.

Posté par Judeau Judeau

Quelques lignes de java pour répondre à cette énigme...

public class Defi27 {
    public static void main(String[] args) {
        int compteur = 0;
        for(int rouge = 17; rouge <= 2006000; rouge+=17) {
            if((rouge-1)%11 == 0) compteur++;
            else if((rouge+1)%11 == 0) compteur++;
        }
        System.out.println("Nombres de traits rouges situés à 1 mm d'un trait noir : " + compteur);
    }
}

Nombres de traits rouges situés à 1 mm d'un trait noir : 21455

Posté par Bezunesh (invité)

moi je dirais qu'il y a 10 727 traits rouges étant situés à 1 mm d'un trait noir.
On dit merci à Bézout et à Gauss pour résoudre cette énigme magnifique...

Posté par moomin moomin

Bonsoir Minkus

J'ai trouvé 1112 traits rouges

Merci pour le défi
Moomin

Posté par atomium atomium

Bonjour à tous,

En considérant les traits rouges situés à 1mm, de part et d'autre d'un trait noir, j'en trouve 21 pour une longueur de ruban de 2006 mm.

Pour une longueur de 2006 mètres, je dirais qu'il y en a 21000.

Sans certitude !!!

atomium.

Posté par vince909 vince909

Bonjour,

je trouve en ce qui me concerne 21 traits rouges sités à 1 mm d'un trait noir.

Les traits rouges sont situés à distances multiples de 17 mm du début du ruban, tandis que les traits nois sont situés à des multiples de 11 mm de cette même extrémité. Dès lors, il suffit de comptabiliser les multiples de 17 inférieurs à 2006 dont le modulo avec 11 est de 1 ou 10 (1 = trait rouge situé 1 mm après le trait noir, 10 = trait rouge situé 1 mm avant le trait noir).

Merci pour le défi.

Posté par benitoelputoamo benitoelputoamo

Bonsoir,

Après des équations diophantiennes assez compliquées, je trouve qu'il y a traits rouges et noirs séparés par un milimètre.

Merci pour l'énigme,
Benoît

Posté par michelD michelD

j'en trouve 3 tous les 187 mm : à 33 mm, 154 mm et 187 mm
Il y a 10727 fois 187 mm dans un ruban de 2006000 mm. Après le 2005949 ième mm, une seule correspondance et donc correspondances

Michel

Posté par plumemeteore plumemeteore

Pourquoi avoir mis trois étoiles à ce problème, qui me semble relativement facile ?,

Posté par michelD michelD

ma réponse concerne des traits situés à 1mm ou moins, si c'est 1mm exactement :
Michel

Posté par cinziani (invité)

réponse 107273

Posté par mimi3123 mimi3123

bonjour,
il y en a 21455,
merci pour cette enigme.

Posté par Dcamd Dcamd

Bonjour à tous, des essais avec excel me permettent d'arriver à la solution qu'il n'y a pas de solutions. Ainsi, ma réponse est qu'il est impossible que deux traits soient distants d'un millimètre.


(Grâce aux données de l'énoncé       et avec          Avec la résolution de 16x + 17y = 1)


J'espère ne pas m'être trompé

Merci pour l'énigme!!

@+++

Posté par alpha20020 alpha20020

Il y a traits rouges situés à mm d'un trait noirs....

Mais je suis vraiment pas sur, du résultat... J'ai tenté qqch avec un tableur...

Posté par minkus minkus

Bonjour a tous.

La reponse etait bien 21455 mais tout d'abord je souhaite clarifier quelques points...

-Le probleme des unites n'etait pas un piege volontaire. Je me suis dit qu'avec 2006 millimetres il aurait ete possible (et un peu trop simple) de prendre un bout de papier et de tracer tous les traits a la main, ou -ce qui revient au meme- d'ecrire tous les multiples de 11 et de 17 et de regarder les ecarts de 1. Avec 2 006 000 cela devenait impossible. Je voulais ainsi vous forcer a appliquer un raisonnement.

-Concernant le niveau (2 ou 3 etoiles) j'ai deja fait une remarque a ce sujet dans le defi precedent et je la renouvelle ici : pas evident d'evaluer la difficulte d'une enigme. Pour celle-ci j'avais une solution avec des equations du type "11n - 17p = 1" de niveau Terminale Spe maths et cela explique que j'ai mis 3 etoiles. Apres coup, je me rends compte qu'une simple division euclidienne donnait la reponse et le defi etait donc accessible a un eleve de 6e. J'essaierai d'etre plus perspicace a l'avenir.

>skops :



Drole d'arithmetique

Quelques elements de solution qui permettaient peut-etre d'eviter le piege du "+1".

1er cas : Le trait rouge est apres le trait noir.

On a l'equation : 17R - 11N = 1 avec R le nb de traits rouges et N les verts.

On trouve une solution evidente pour R=2 et N=3.

On a donc 17R - 11N = 1 et 17*2 - 11*3 = 1.

Par soustraction on obtient 17(R-2) - 11(N-3) = 0 soit 17(R-2) = 11(N-3).

17 et 11 etant premiers entre eux, on a (d'apres Gauss) 11 divise R-2 et donc R = 11k + 2 ave k un entier.

Etant donne que 17R <= 2006000  (car le trait peut etre en dernier) on a R <= 118000. Cela donne 11k + 2 <= 118000 soit 0 <= k <=10727

Cela donne 10728 valeurs possibles. Le cas k=0 correspond a R=2 et N=3.

2e cas : Le noir est apres le rouge.

L'equation est 11N - 17R = 1 et on refait la meme chose avec une solution pour N=-3 et R=-2 et on obtient cette fois-ci 17(R+2) = 11(N+3) et donc R = 11k' - 2.

Ici la valeur k'=0 ne convient pas et on a seulement 10727 possibilites.

A bientot.

minkus