Corps complet algébriquement clos et totalement ordonné

Posté par otto otto

Note que la complétude algébrique de corps existe et est en relation avec la fermeture algébrique. Je n'ai cependant plus la définition en tête, malheureusement.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

D'abord, si on veut qu'un ensemble soit garanti "complet", la topologie grossière ne convient pas. La notion de "complétude" (avec suites de Cauchy) ne concerne que les espaces métriques. La manière triviale consiste a prendre la distance définie par d(x,x)=0 et d(x,y)=1 dès que x est différent de y. La topologie associée est la topologie discrète et une suite de Cauchy étant obligatoirement stationnaire, elle est bien convergente.

Ensuite, nous commençons à tout mélanger. Il existe des tas de corps complets (les p-adiques par exemple), mais ils ne sont pas algébriquement clos.

Enfin, vu que n'importe quel corps peut être plongé dans un corps algébriquement clos (théorème de Steinhaus) et que tout espace métrique possède un complété, on peut en fabriquer des tas (plus ou moins pertinents). Là où ça coince, c'est sur l'ordre total.

A bientôt

Posté par otto otto

Tu as raison, j'ai fait un lapsus, je voulais effectivement parler de la topologie discrète (tous les ensembles sont ouverts).

Sinon le théorème de Steinhaus demande que le corps soit commutatif, mais c'est un détail.

Posté par kaiser kaiser




Steinitz peut être, non ?

Autre chose, j'ai lu quelque part (Rudin, Analyse fonctionnelle) que la notion de suite de Cauchy peut être définie dans n'importe quel espace vectoriel topologique et ce sans faire appel à la moindre distance mais je ne sais pas ce que ça vaut.

Posté par otto otto

Salut,
Steinitz effectivement, Steinhaus on le retrouve plutôt en analyse fonctionnelle.

Sinon j'ai lu également ce genre de trucs sur la complétude (et également sur la bornitude), mais je ne connais pas ça plus que toi.

a+

Posté par Camélia Camélia

Désolée, c'est bien Steinitz (je suis loin de ma base fournie en livres!) Il me semble que l'on peut remplacer la notion de suite de Cauchy dans un EVT par des notions en rapport avec des filtres, mais je ne maitrise pas la question.
A bientôt

Posté par otto otto

Juste pour information:
est ce que ce que l'on appelle "filtre" en français, est ce que l'on trouve sous le terme "net" en anglais, notamment en analyse fonctionnelle?

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Bon, je uppe (vive la conjugaison! ) cette conversation très intéressante. Il y certains post que j'ai survolé mais je ne crois pas qu'on ait trouvé de réponse satisfaisante à la question initiale (je l'ai peut être zappée ceci dit ).


Je me suis posée la question ya quelques jours, ma réponse est NON. En fait, on peut faire encore mieux:

On ne peut pas trouver de corps (pas forcément commutatifs) algébriquement clos et totalement ordonné.

En fait, c'est tout bête: dans un tel corps le polynôme admet une racine. Et on vérifie facilement qu'une telle racine ne peut être comparée à 0.


Ayoub.

Posté par Camélia Camélia

Et voilà un topic revenant! Oui, Ayoub tu as raison. Un corps algébriquement clos n'est pas totalement ordonné, complet ou pas...

Posté par 1 Schumi 1 1 Schumi 1

Je suis content: j'arrive enfin à répondre à des questions que se posait Fractal quand il était en 1^ère.

Par contre, je suis pas si sur que la réponse soit négative si on exige un ordre mais pas forcément total... Une idée?