Corps complet algébriquement clos et totalement ordonné

Posté par Fractal Fractal

Bonjour, j'aimerais savoir s'il est possible de trouver un corps commutatif complet algébriquement clos et totalement ordonné (la relation d'ordre étant bien sûr compatible avec les opérations).

Merci

Fractal

Posté par jeanseb jeanseb

Dis voir un peu , Fractal, t'as fini de nous mettre la honte à poser des questions comme celle-là alors que tu es en 1ère?

Posté par kaiser kaiser

Bonsoir Fractal

Je pense qu'un tel corps n'existe pas.
Supposons par l'absurde qu'un tel corps existe. Notons le K et notons + et . ses lois additive et multiplicative.
Par hypothèse K étant algébriquement clos, -1 admet une racine carrée que l'on note a.
Notons alors A l'anneau engendré par a.
Ainsi, .
On vérifie facilement que A est isomorphe à l'anneau des entiers de Gauss par l'application

On note la relation d'ordre total sur K, compatible avec ses deux lois.
On définit alors une relation binaire sur (que l'on note également ), par .
On vérifie alors facilement que cette relation binaire est une relation d'ordre totale compatible avec les loi usuelles d'addition et de multiplication, ce qui est absurde, car je crois qu'il est impossible de munir d'une telle relation.

Kaiser

P.S : je n'ai utilisé ni la commutativité, ni la complétude.

Posté par Fractal Fractal

Bonsoir kaiser,
Comment montre-t-on que A est isomorphe à ?
Est-ce correct de faire ceci?

Pour que A soit isomorphe à il faut que a ne soit pas un multiple de .
Supposons donc qu'il existe tel que
.
Par élévation au carré on trouve donc .
est neutre donc c'est équivalent à qui n'a pas de solution dans .
Donc a n'est pas un multiple de donc A est isomorphe à .
CQFD

Je suis pas tout à fait convaincu de ma démonstration...

Fractal

Posté par kaiser kaiser

Attention à ce que tu dis !
Il existe des corps dans lesquels on a avec n un entier, sans pour autant que n soit nul. Par exemple les corps . D'ailleurs, je crois que l'on doit distinguer deux cas selon l'existence ou non de tels entiers.
Autre chose, même en montrant ceci, cela ne suffit pas pour montrer qu'il y a isomorphisme. En effet, je n'ai pas choisi a par hasard (c'est une racine carrée de -1).

Posté par kaiser kaiser

Juste en passant!
Soit B un anneau quelconque, alors il y a 2 possibilités :

-Pour tout entier non nul, est non nul
- il existe un entier non nul n tel que .

Dans le premier cas, on dit que B est de caractéristique nulle.
Dans le deuxième cas, on dit que B est de caractéristique n (si n est le plus petit entier non nul vérifiant l'égalité .

Dans le cas d'un anneau integre, en particulier pour un corps, la caractéristique est soit nulle, soit égale à un nombre premier.

Posté par kaiser kaiser

En fait, je crois qu'il n'y a pas de problème.
Supposons que K ne soit pas de caractéristique nulle. Sa caractéristique est donc un entier premier p (en particulier p est supérieur ou égal à 2 et est non nul).
Comme la relation d'ordre est total, alors on peut comparer et .
Par exemple, .
Comme la relation est compatible avec les lois + et ., alors en rajoutant de chaque côté, on a et on obtient par transitivité .
Par antisymétrie, on a que , ce qui est absurde.

Kaiser

Posté par bret (invité)

Bonjour à tous,

Kayser, as-tu une preuve qu'il n'existe pas d'ordre total compatible avec les deux lois de Z[i]. Je trouve facilement des relations d'ordre total sur Z[i] (car il est dénombrable) mais je n'arrive pas à prouver qu'il n'en existe pas de compatible avec les deux lois.

Merci d'avance ,

bret

Posté par kaiser kaiser

Bonjour bret

Supposons une telle relation.
Alors on peut comparer i et -i. Par exemple . En multipliant par -1 de chaque côté, on a l'inégalité inverse, ce qui impliquerait que i=-i, ce qui est faux, bien entendu.

Kaiser

Posté par bret (invité)

ah oui tiens !!

bigre c'était pas compliqué

merci Kayser

Posté par bret (invité)

mais quelque chose m'échappe ici...

Ca voudrait dire qu'aucun anneau ne possède un ordre total compatible avec la multiplication (on peut appliquer cette démo à 1 et -1 dans tout anneau)...

où est l'erreur...

bret

Posté par kaiser kaiser

Il me semble bien qu'il n'y a pas d'erreur dans ce que tu dis !

Posté par tealc tealc

salut Bret!

pour 1 et -1 ca ne marche pas! puis par multiplication par -1 : ce qui est la même inégalité!

ici, ca marche grâce à

Posté par kaiser kaiser

Sauf si 1=-1 ! (dans )

Posté par kaiser kaiser

Attention tealc, ce n'est pas la relation d'ordre usuelle !
Voici la définition de la compatibilité donnée par Wikipédia :

Posté par bret (invité)

salut tealc,

stable par multiplication veut bien dire , non ?

en tout cas, effectivement une telle relation ne peut exister que dans un anneau de caractéristique 2.

C'est bizarre tout ca quand meme

bret

Posté par bret (invité)

oups pas stable, compatible je voulais dire

Posté par tealc tealc

ah oui exact je me suis trompé... désolé...

Posté par bret (invité)

tiens d'ailleurs pour répondre au tout premier post, Z/2Z est un corps commutatif complet algébriquement clos et totalement ordonné avec la relation d'ordre qui est compatible avec les deux opérations

bret

Posté par bret (invité)

oups pardon ca n'est pas algébriquement clos

Posté par kaiser kaiser

Euh...bret ! Un corps fini n'est jamais algébriquement clos !

Posté par kaiser kaiser

En même temps !

Posté par bret (invité)

pour revenir à la question de base (que je trouve très intéressante).

Existe-il un corps commutatif complet algébriquement clos et totalement ordonné avec l'ordre compatible avec l'addition (donc de caractéristique 0 comme on l'a vu plus haut) ?

J'ai réussi à construire une relation d'ordre total sur Z[i] compatible avec l'addition (en posant et si ).

Comment peut-on contourner cette difficulté ?

merci d'avance,

bret

Posté par kaiser kaiser

J'ai bien l'impression qu'un tel corps existe! Tout simplement : que l'on munit de l'ordre lexicographique.
Plus précisément, si x, x', y et y' sont des réels, alors
.

Kaiser

Posté par bret (invité)

oups pardon petite faute

si b>=0 et
si b<0

Posté par bret (invité)

ah oui effectivement !!

Merci Kayser

Posté par kaiser kaiser

Mais je t'en prie !

Kaiser

Posté par Camélia Camélia

Bonjour
Je prends le train en marche, mais un anneau ^de caractéristique n non nulle ne peut pas être totalement ordonné. En effet, si 0<1, on a 0 Par ailleurs, pour le corps algébriquement clos, le meilleur argument est celui du début qui utilise une racine de -1.
Salut

Posté par bret (invité)

Salut Camelia,

une relation d'ordre est reflexive,
donc est vrai dans tout anneau de caractéristique n si est une relation d'ordre, ceci n'est pas une contradiction.

Regarde la preuve de Kayser à 00h39 ,

à plus,

bret

Posté par bret (invité)

la preuve qui utilise la racine de -1 n'est en fait pas nécessaire car on a vu que dans un anneau, il n'existe aucune relation d'ordre totale compatible avec la mutiplication.

Et que, si on enleve cette hypothèse, il en existe (exemple de Kayser sur C)

Posté par Chimomo (invité)

Il y a une grosse erraur dans tout ça, aucun de vous ne connais la définition d'une relation d'ordre compatible avec le produit dans un anneau.

Votre définition trop contraignante impose une caractéristique égale à 2.

la vraie définition est : si A est un anneau ordonné par une relation < , on dit que cette relation est compatible avec la loi . sur A si et seulement si pour tout triplet a,b,c avec c>0 on a a<b implique a.c<b.c

(0 désigne le neutre additif de A).

La démonstration en multipliant par -1 ne fonctionne donc plus.

Posté par bret (invité)

salut Chimomo, j'ai vérifié, c ne doit pas nécessairement être positif...
La définition de la compatibilité est bien la même que pour toute relation binaire (à moins que wikipedia ne mente )

Posté par jeanseb jeanseb

Si c ne doit pas être positif, alors IR n'est pas ordonné par une relation compatible avec la multiplication puisque le sens de l'inégalité est inversé lorsqu'on multiplie par un négatif.

Non?

Posté par Chimomo (invité)

Non seulement je suis sûr de mes sources mais ne plus vous l'avez confirmé en voyant que cette définition est trop cntraignante et empêche d'avoir des reltions d'ordre compatibles sur des anneaux.

C'est pour cette raison qu'on a définie une notion plus faible de compatibilité pour les relations d'ordres, pour qu'elles puissent servir (parceque la compatibilité avec les positifs c'est déja pas si mal).

Quand à Wikipédia, c'est très pratique mais ce n'est absolument pas un document scientifique sûr (d'ailleurs n'importe qui peut y écrire ce qu'il veut et je ne me souviens plus trop mais j'y avait trouvé de belles erreurs un jour). je ne dit pas qu'il ment, mais il se trompe souvent.

Cependant il est vrai que certains refusent qu'on parle de compatibilité dans le cas d'une relation d'ordre si ce n'est qu'avec des positifs. C'est le même problème qu'avec la définition des corps (certains auteurs y incluent la commutativité et d'autre non).

Cependant, de même que généralement quand on parle d'un corps on suppose souvent la commutativité (sinon on parle de corps gauche ou parfois d'anneau de division), quand on parle de relation d'ordre compatible avec un produit dans un anneau, on suppose que ce n'est que pour le éléments positifs.

Posté par bret (invité)

effectivement

Posté par bret (invité)

euh je disais effectivement à Jeanseb

Quelles sont tes sources Chimomo ?... Ca m'étonnerait tout de même que la notion de compatibilité dépende de la loi et du fait que c soit positif. Le fait d'être supérieur à 0 ne signifie rien dès qu'on sort du cadre de R ou de Z (ou que l'on met dessus des relations d'ordre tordues...).

Pour moi, la notion de compatibilité se défini au niveau des relations binaires (on ne va pas avoir des définitions de la compatibilité pour chaque relation binaire différente).

Enfin, je veux bien savoir quelles sont tes sources.

et puis d'ailleurs, si on travaille dans Z/{0} par exemple, dire c>=0 ne veut plus rien dire (car 0 n'existe pas dans cet ensemble), non ?

Posté par bret (invité)

oups N/{0} je voulais dire

Posté par bret (invité)

et quand on parle de corps, on suppose plutot la non-commutativité non ? (sinon on parle de corps commutatif)

a plus,

bret

Posté par Chimomo (invité)

Pour ne citer qu'une source je prendrais Antoine Chambert-Loir, ancien prof de polytechnique qui enseigne maintenant à l'université de Rennes, mais je ne retiens pas les noms des mathématiciens ou des livres qui en parlent.

J'ai expliqué que la définition usuelle de la compatibilité perdait tout son intérêt pour une relation d'ordre sur un anneau, c'est pour ça qu'on la change, il est utile d'avoir des anneaux totalement ordonnés par des relations même si ce n'est que pour les positifs. Cette définition plus faible sert à pourvoir quand meêm avoir des anneaux totalement ordonnés qui se comportent "pas trop mal".

Je ne dit pas que la notion de compatibilité dépende de la loi, mais que dans le cas d'un anneau (a fortiori d'un corps) la compatibilité d'une relation d'ordre ne se fait qu'avec les positifs, sinon la compatibilité n'a aucun intérêt.

Au fait, depuis quand N privé de 0 est-il un anneau ?

Pour la commutativité c'est pareil, les corps non-commutatif ne se traitent pas vraiment de la même façon que les corps commutatifs, mais c'est déjà mieux que des anneaux. Et je ne me suis pas trompé quand je dit que nombre d'auteurs parlent de corps dans le cas commutatif. C'est une question de convention, mais même le RMS ne parle pas de corps non-commutatif mais de "corps gauche" et réserve le mot corps aux commutatifs (tout du moins dans les articles que j'en ai lu).

Posté par bret (invité)


Bon en fait on est d'accord sur tout c'est juste une question de notation ;

cependant si tu considere par exemple Z ordonné par et Z ordonné par et l'application

alors est un isomorphisme d'anneaux de dans . C'est également un morphisme d'ordre, car . Cependant les éléments "positifs" de est l'ensemble {0,1,...}

et ceux de est l'ensemble {0,-1,-2,...}

Ces deux anneaux sont donc parfaitement isomorphes, mais, selon ta définition de compatibilité, le premier possède un ordre compatible avec la multiplication, et le second pas...

Je ne mets pas en doute ta définition (on a le droit de définir ce que l'on veut de la manière que l'on veut tant que c'est cohérent, et ca l'est ici), j'essaie juste de comprendre son sens.

Autre exemple : On considère la relation R sur l'anneau Z/3Z défini par 0R0, 1R0, 2R0, 1R1,2R1,2R2

C'est bien une relation d'ordre totale, mais, d'après ta définition, elle est compatible car le seul élément "positif" (cad tel que 0Ra) est 0 et on a bien .

Je ne vois pas le sens de cette définition de la compatibilité, dès que l'anneau considéré est autre chose que Z,Q ou R. Mais je veux bien que tu m'expliques . Je ne cherche pas à prouver que j'ai raison (sinon ca ne sert à rien de discuter), c'est juste que j'ai toujours appris autrement, et si tu peux m'expliquer l'intérêt de cette autre définition, ben j'aurais appris quelque chose

a plus,

bret

Posté par bret (invité)

oups pardon dans mon premier exemple ca n'était pas un isomorphisme d'anneaux mais juste de groupe, mais le raisonnement est le meme...

Posté par kaiser kaiser

Dans ce cas, je redémontre l'inexistence d'une relation compatible avec + et . pour .

Supposons le contraire :
On peut comparer i et 0.
1er cas : i>0, alors en multipliant par i de chaque côté, on a -1>0.
De cette égalité, en ajoutant 1 de chaque côté, on obtient que 0>1 mais mutilpiant par -1, on tombe sur 1>0, ce qui est absurde.

2e cas : i<0, alors en ajoutant -i de chaque côté, on a que -i>0 et donc en multipliant par -i de chaque côté, on tombe sur -1>0 et on se ramène au cas précédent.

D'où le résultat.

Kaiser

Posté par Chimomo (invité)

Bret, n'est tu pas d'accord que la définition usuelle n'a aucun intérêt pour ordonner des anneaux de façon compatible avec les opérations puisqu'il est impossible de le faire pour des anneaux de caractéristiues différente de 2.

Le sens de cette définition est donc de permettre d'ordonner correctement des anneaux. Je ne dit pas qu'ils sont tous ordonnables (je n'y ai pas du tout réflechi) mais c'est déjà mieux.

Pour Z/3Z ton anneau est bien ordonné de façon compatible je ne vois pas où est le problème. D'ailleurs, je remarque que de cette façon tout ordre pour lequel 0 est un maximum est compatible avec l'opération puisque le seul élément positif est 0.

Posté par Camélia Camélia

Rebonjour
J'ai encore raté le moment où tout se disait. Bien sûr, Chimomo a raison, mais j'ai l'oimpression que vous avez oublié au cours de la discussion que la relation d'ordre doit aussi être compatible avec l'ADDITION c'est-à-dire aRb==> (a+c)R(b+c) pour tous a,b,c. La relation de Bret sur Z/3Z n'est pas compatible pour l'addition et c'est bien ce que Kayser et moi disions.

Posté par Fractal Fractal

Bonjour,
Si l'on a , en ajoutant (-a-b) de chaque côté de l'inégalité, on obtient .
On voit donc que la multiplication par -1 a inversé le sens de l'inégalité.
Il me semble qu'il faut faire la distinction entre "compatible avec l'addition et la multiplication" et "compatible avec la structure d'anneau" qui voudrait dire que la multiplication par un élément négatif inverse le sens de l'inégalité.

Fractal

Posté par kaiser kaiser

Bonjour Fractal

Effectivement, il faut faire cette distinction, mais pour résumer, apparemment, ce que tu cherches n'existe pas dans les 2 cas.

Kaiser

Posté par otto otto

C'est quoi un corps complet?

Posté par Fractal Fractal

Un corps dans lequel toute suite de Cauchy converge, comme R ou C. Mais Q par exemple n'est pas complet.

Fractal

Posté par otto otto

Ok, mais dans ce cas, ça dépend de la topologie que tu y mets.
Sur R,Q et C ou tout sous corps de C, il y'a une topologie naturelle, mais sur les autres?

Tu mets la topologie grossière sur ton corps et c'est fini.
Tout le reste n'est qu'algèbrique, sauf cette condition qui est topologique et ne peut pas influer sur le problème.

a+