Challenge n°198 : pions

Posté par puisea puisea

Bonjour à tous, voici une nouvelle énigme, j'hésitais entre trois et quatre étoiles, vous me direz ce que vous en pensez :

Nobody et nofutur s'affrontent à un jeu de nombres. Il y a 198 pions sur une table à coté d'eux. Chacun, à tour de rôle, doit en prendre 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8 pour les enlever de la table. Le but du jeu est de se trouver avec un nombre pair de pions en sa possession une fois que tous les pions ont été enlevés de la table. C'est nodoby qui joue le premier.

Peut-il gagner ? Si oui, quelle doit être sa première prise s'il veut être sûr de gagner quelque soit la tactique de nofutur ? S'il y a plusieurs possibilités, donnez-les toutes. S'il n'y en a aucune, précisez-le clairement.


Bonne chance à tous

@+

Posté par Pr3dator (invité)

Bonjour, comme il y a un nombre pair de pions, la stratégie de Nobody n'en est pas vraiment une, car s'il obtient un nombre pair au final, il fait aussi gagner Nofutur. Hors, à moins que la stratégie de nofutur soit de perdre en même temps que Nobody, selon moi, il ne peut y avoir un seul vainqueur, mais deux, car j'estime que chacun sachant qu'il lui faudra un nombre pair de pions s'arrangera pour les obtenir.


Ai-je raison ? En tout cas bonne énigme si calculs mathématiques il y avait à faire

Posté par chaudrack chaudrack

Bonjour, et merci pour cette énigme.

D'abord, en additionnant deux nombres quelconques, il n'y a que deux façons d'obtenir un nombres pair.

soit on additionne deux nombres pairs, soit deux nombres impairs.

Ainsi, comme il y a 198 pions sur la table, ces pions ne peuvent être répartis que de deux façons:

A la fin du jeu, nobody et nofutur ont soit tous les deux un nombre pair de pions, soit tous les deux un nombres impair de pions.

Il ne peut donc y avoir qu'un seul gagnant.

Conclusion, si Nobody prend que des nombres pairs de pions (C.A.D 2,4,6 ou 8) où s'il prends à n reprise (n étant un nombre pair) un nombre impair de pions (mais c'est quand même dangereux), alors il ne peut avoir en fin de partie qu'un nombre pair de pions.

Mais Nofutur, quelque soit sa tacticte, aura lui aussi un nombre pair de pions.

Ils seront donc soit "gagnant" tous les deux, soit "perdant" tous les deux.

Je pense donc que Nobody peut "gagner", si on considère que d'être à égalité c'est aussi gagner.

il aurait été interessant de jouer avec un nombre impair de pions( par exemple, 197). Dans ce cas, il y aurait eu qu'un seul gagnant et un perdant.

Je sais pas si j'ai tout bien compris, mais bon...

@ plus, Chaudrack

Posté par chaudrack chaudrack

juste une précision.

Si nobody prends que des nombres pairs de pions, il se peut, selon ce que nofutur joue, qu'il ne reste qu'un seul pion sur la table.

Mais ce ne serait pas la meilleur tacticte de nofutur, puisqu'a ce moment là, il ne peut avoir qu'un nombre impair de pions.

Donc, dans ce cas, que je n'avais pas précisé, les deux joueurs perdront.

Donc , oui, nobody peut gagner en ne prenant que des nombres pairs de pions (mais dans ce cas nofutur aussi), mais seulement si Nofutur joue le mieux possible.

@ plus, Chaudrack

PS: Elle est vraiment bizzare cette énigme.

Posté par Nofutur2 Nofutur2

J'ai raisonné à partir de la fin du jeu (en fonction du nombre de jetons restants), en considérant les cas où le prochain joueur est nobody ou nofutur, et si, à cet instant, nobody possède un nombre pair ou impair de pions.
Je remonte peu à peu le jeu en supposant que nobody essaie d'obtenir un G (nobody gagne) à la fin, et que nofutur esaie d'obtenir un P (nobody perd) à la fin.
Je constate que le tableau est "cyclique" :
- les lignes avec nb de jetons restant de la forme 10k+1 : P-G-G-P
- les lignes avec nb de jetons restant de la forme 10k+2 à 10k +8 : G-G-P-P
- les lignes avec nb de jetons restant de la forme 10k+9 : G-P-P-G
- les lignes avec nb de jetons restant de la forme 10k+10 : G-P-G-P.

Au début du jeu, il restera 198 pions (de la forme 10k+8) et nobody aura un nombre pair (zéro) de pions.
Cela correspond à une case G(8).(voir case grisée sur le tableau).
Nobody sera donc sûr de gagner en prenant 8 pions pour sa première prise.

Posté par savoie (invité)

Bonjour,

Ce jeu ne me semble pas relever d'une grande tactique. En effet, le but est de gagner... pas forcément de faire perdre l'autre. Puisqu'il y a un nombre pair de pions au total, le résultat final sera :
- soit les 2 gagnent tous les deux
- soit les 2 perdent tous les deux : ils auront chacun un nombre impair de pion et se seront tellement mal débrouillés qu'ils ne méritent pas de gagner le challenge d'ici la fin de l'année. Chic, 2 challengers en moins.

Bref comme ils veulent gagner tous les deux, il leu est facile de s'entendre pour que celui qui prend le 197° pion, soit s'arrête là, soit prend aussi le 198° pour en avoir un nombre pair.

L'énigme vaut donc plutôt 1 étoile...

Posté par nobody (invité)

Ce qui me semble bizarre dans cette énigme, c'est l'association de ces 2 phrases


car si l'un finit un nombre pair de cartes, alors l'autre aussi. Si l'un gagne, l'autre aussi ??
Je comprends donc plutôt que "Le but du jeu pour nobody est de se trouver .." et que nofutur cherche à faire en sorte de terminer avec un nombre impair de cartes.

On va regarder comment va se dérouler le jeu lorsque c'est à nobody de jouer, en fonction de la parité du nombre de cartes qu'il a déjà piochées
"nobody a pioché un nb de cartes impair et reste 0 cartes à piocher" est noté (i,0):
"nobody a perdu" signifie qu'il existe une stratégie pour nufutur qui lui permet de gagner
"nobody a gagné" signifie qu'il existe une stratégie de nobody qui lui permet de gagner, quelque soit la stratégie de nofutur.

* (i,O) : nobody a perdu      (p,0) : nobody a gagné
* (i,1) : nobody a gagné      (p,1) : nobody a perdu
* (i ou p,2 à 8) : nobody a gagné
En effet, il prend les dernières cartes (si est de la même parité que le nb de cartes que nobody a déjà tirées), ou les dernières cartes (cas contraire) et laisse nofutur piocher la dernière carte.
* (i,9) : nobody a perdu       (p,9) : nobody a gagné
Dans le cas (i,9), nobody est obligé de laisser à nofutur un nombre de cartes compris entre 1 et 8. Or, on a vu que de 2 à 8, celui qui jouait pouvait "forcer la parité du nombre de cartes de l'autre", en le forcant à prendre (ou non) une dernière carte. Pour le cas où nobody laisserait 1 seule carte à nofutur (que celui-ci serait obligé de prendre), nobody terminerait alors la partie avec un nombre de cartes impair :  cette configuration est donc bien "perdante".
* (i,10) : nobody a perdu      (p,10) : nobody a gagné
Raisonnement proche du précédent
* (i,11) : nobody a gagné      (p,11) :  nobody a perdu

On remarque alors qu'une situation de la partie est "invariante" par soustraction de 10 cartes (ou d'un multiple de 10) du paquet de cartes restantes. La situation de départ est donc équivalente à une configuration où il n'y aurait que 188 cartes, ou 178, .. ou 18 ou 8 cartes.
Or, dans le cas où nobody a un nombre pair de cartes (0 est pair), où il reste 8 cartes, et où c'est à lui de jouer, nobody peut gagner assurément, et ce en piochant 8 cartes (et c'est la seule possibilité pour lui de gagner à coup sûr).

Pour ce qui est du nom des joueurs, toute ressemblance avec des personnages existants est purement fortuite D'ailleurs, je ne connais aucun nofutur

Posté par plumemeteore plumemeteore

Nobody doit commencer en prenant 8 jetons.
Remarque préliminaires : 198 étant un nombre pair, les deux joueurs à la fin du jeu auront la même parité de pions. J'ai donc modifié le but de ma solution : Nobody doit agir pour que cette parité soit paire et Nofutur pour qu'elle soit impaire.
Notation : les pîons étaient numérotés et pris dans l'ordre, j'écrirai le dernier numéro de la prise d'un joueur, suivant de P ou de I selon que Nobody a alors pris au total un nombre pair ou impair de pions.
197P est gagnant pour Nobody.
Les pions 190 à 196 sont perdants pour les deux joueurs, quelle que soit la parité, car l'adversaire peut organiser sa parité en choisissant ensuite 197 ou 198.
Jouer 189I est gagnant pour Nobody : Nofutur devra sauter en 197I, permettant à Nofutur de conclure par 198P.
188P est gagnant: Nofutur devra aller en 189P et Nobody jouera 197P
187P est gagnant : le dernier espoir de Nofutur, 188P, est anéanti car Nobody jouera 189I.
179I est gagnant : après toute réponse de Nofutur, Nobody pourra atteindre 187P ou 188P
178P est gagnant pour la mêmer raison
177P est gagnant : si Nofutur joue 178P, Nobody jouera 179I; dans les autres cas, il pourra atteindre 187P ou 188P.
Et ainsi de suite de 10 en 10.
Les coups gagnants pour Nobody sont 10k+9I, 10k+8P, 10K+7P. Au début du jeu, le seul coup gagnant qu'il peut faire est 8P.

Posté par piepalm piepalm

Il est facile d'établir que la nature d'une position (gagnante ou perdante) ne dépend que du nombre de pions restant modulo 10 et de la parité du nombre de pions déjà pris par celui qui va jouer. Les positions perdantes sont de la forme 10k ou 10k+1 pour un nombre pair, et 10k+2 pour un nombre impair. Montrons-le par récurrence: c'est vrai pour k=0 (dans le cas 10k, la partie est déjà gagnée par l'autre!)
Partant d'une position 10k avec un nombre pair de pions, on jouera le complément à 10 si l'adversaire prend un nombre pair de pions, le complément à 8 s'il prend un nombre impair
Partant d'une position 10k+1 avec un nombre pair de pions, on jouera la complément à 10 si l'adversaire prend un nombre pair, et le complément à 8 s'il prend un nombre impair
Enfin, partant d'une position 10k+2 avec un nombre impair, on jouera le complément à 10 si l'adversaire prend un nombre pair, 1 s'il prend 1 et le complément à 11 s'il prend un autre nombre impair (3, 5 ou 7).
Partant de 198, avec un nombre pair (zéro) de pions pour l'adversaire, il suffit au premier qui joue  d'atteindre 190 ou 191 pour lui laisser une position perdante, donc de prendre 7 ou 8 pions

Posté par puisea puisea

Bonjour,

comme vous avez pu le remarquer, il y a un gros soucis dans l'énigme, en effet celle-ci comporte un nombre pair de pions dès le départ comme l'indique l'énoncé... Voila comment j'en suis arrivé à faire cette erreur : l'énigme était initialement prévue avec 197 pions pour le challenge n°197, mais nous avons pris un peu de retard sur la vérification des énigmes sur le privé, et j'ai posté une autre énigme à la place comme vous avez pu le constater...
Je n'ai pas fais assez attention pour l'adaption au nouveau numéro de challenge...

Si l'énigme vous intéresse pour la résoudre, voici l'énoncé qui était prévu à la base :

Nobody et nofutur s'affrontent à un jeu de nombres. Il y a 197 pions sur une table à coté d'eux. Chacun, à tour de rôle, doit en prendre 1, 2, 3, 4, 5, 6 ou 7 pour les enlever de la table. Le but du jeu est de se trouver avec un nombre pair de pions en sa possession une fois que tous les pions ont été enlevés de la table. C'est nodoby qui joue le premier.

Peut-il gagner ? Si oui, quelle doit être sa première prise s'il veut être sûr de gagner quelque soit la tactique de nofutur ? S'il y a plusieurs possibilités, donnez-les toutes. S'il n'y en a aucune, précisez-le clairement.


Voila...

Posté par piepalm piepalm

J'avais compris que celui qui prenait le dernier pion était gagnant ou perdant selon que son total était pair ou impair... ce qui rendait l'énigme soluble!
Le principe pour l'énigme initiale est le même, mais ici la périodicité est de 16 et les positions perdantes sont 16k et 16k+9 pour un nombre impair et 6k+1 et 16+8 pour un nombre pair.
Partant de 197 pions, il faut en prendre 4 pour être sûr de gagner: 193=12*16+1 avec un nombre pair (zéro ) de pions déjà pris