DEFI 59 : Suite logique.

Posté par infophile infophile

Mais cette formule, on l'applique pour les polynomes A, B et C ?

Posté par kaiser kaiser

Exactement !
En reprenant les notations de Wikipédia, on a , et .

Posté par infophile infophile

Désolé, mais j'ai du mal à faire le lien entre la formule de wiki et ton exemple .

Posté par kaiser kaiser

On reprend :





D'après Wiki, on a

Ensuite, on a , et

Enfin, il suffit de remplacer.

Kaiser

Posté par infophile infophile

Merci Kaiser !

J'ai compris, je vais essayer avec un exemple voir si ça marche (j'en doute pas )

Posté par kaiser kaiser

Mais je t'en prie !

Posté par infophile infophile

J'ai pris un exemple avec la suite : 2, 157, 175.

Mais je crois qu'il y a un problème :

Donc je veux trouver un polynôme P tel que:

P(-1) = 2, P(0) = 157 et P(1) = 175

Comme il y a trois points, alors il faut
que le degrès de P soit égal à 2 pour
assurer l'existence et l'unicité de P.

On cherche donc trois poynôme A,B et C
tels que P = 2A + 157B + 175C et vérifiant le système suivant :

A(-1) = 1, A(0) = 0, A(1) = 0
B(-1) = 0, B(0) = 1, B(1) = 0
C(-1) = 0, C(0) = 0, C(1) = 1

Donc on a :

x0 = -1
x1 = 0
x2 = 1

et

y0 = 2
y1 = 157
y2 = 175

D'après la formule on a : P = yoLo + y1L1 + y2L2

Ok mais j'ai le droit de choisir les mêmes x que toi ?

Posté par kaiser kaiser

Comment ça les mêmes x que moi ? Je ne comprends pas !

Posté par lyonnais lyonnais

Je penses qu'il veut parler de :

x0 = -1
x1 = 0
x2 = 1

Comme dans ton exemple ...

On est pas obligé de prendre les mêmes à mon avis info, tu prends ce qui te fait plaisir !! ;)

sauf erreurs ... attendons confirmation de Kaiser (bonjour)

Tu peux faire :

P(-33) = 2, P(1) = 157 et P(54) = 175  

Posté par infophile infophile

J'ai choisi x0 = -1, x1 = 0 et x2 = 1, c'est bon ? Ou je pouvais choisir n'importe quelle valeur ? Désolé si je ne suis pas clair . Merci d'être si patient

Posté par infophile infophile

Ok parce que là j'optiens les mêmes polynômes A, B et C que Kaiser !

Posté par kaiser kaiser

lyonnais (que je salue au passage ) vient de répondre à ta question !

Posté par kaiser kaiser



C'est tout à fait normal, car ces polynômes ne dépendent que des .

Posté par infophile infophile

Donc peut importe la suite de trois nombres, les polynômes A, B et C sont toujours égaux à ceux que tu as trouvé ? Seuls les coefficients diffèrent ?

Posté par kaiser kaiser

c'est exactement ça !

Posté par infophile infophile

Merci beaucoup !

Posté par kaiser kaiser

Mais je t'en prie !

Posté par borneo borneo

Bonjour, je me demande si tout le monde a trouvé rapidement sur le forum privé... (vous n'êtes pas obligés de répondre)

Posté par minkus minkus



Ha pour une fois je ne l'avais meme pas mise sur le forum prive pour gagner du temps a la fin du mois. Heureusement du coup car sinon vous ne l'auriez peut-etre meme pas eue a chercher

Posté par plumemeteore plumemeteore

Puisque certains aiment les polynomes, j'aimerais savoir ce qu'ils trouveraient avec leur méthode comme suite à 1 2 3 4 ? ?

Posté par infophile infophile

Bonjour

Est-ce que vous pouvez blanquer à la réponse de plumemeteore, j'aimerais essayer

Merci

Posté par infophile infophile

En appliquant la méthode de Kaiser pour ta suite je trouve :

P(1)=1 , P(2)=2, P(3)=3, P(4)=4

Il y a 4 points, alors il faut que le
degrès de P soit égal à 3 pour assurer
l'existence et l'unicité de P

On cherche donc trois polynômes A, B, C et D
tels que P=A+2B+3C+4D et vérifiant :

A(1)=1, A(2)=0, A(3)=0, A(4)=0
B(1)=0, B(2)=1, B(3)=0, B(4)=0
C(1)=0, C(2)=0, C(3)=1, C(4)=0
D(1)=0, D(2)=0, D(3)=0, D(4)=1


x0 = 1
x1 = 2
x2 = 3
x3 = 4

y0 = 1
y1 = 2
y2 = 3
y3 = 4

l0 = [(X-x1)(X-x2)(X-x3)]/[(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)]
l0 = -[(X-2)(X-3)(X-4)]/6

l1 = [(X-x0)(X-x2)(X-x3)]/[(x1-x0)(x1-x2)(x1-x3)]
l1 = [(X-1)(X-3)(X-4)]/2

l2 = [(X-x0)(X-x1)(X-x3)]/[(x2-x0)(x2-x1)(x2-x3)]
l2 = -[(X-1)(X-2)(X-4)]/2

l3 = [(X-x0)(X-x1)(X-x2)]/[(x3-x0)(x3-x1)(x3-x2)]
l3 = [(X-1)(X-2)(X-3)]/6

P = l0 + 2l1 + 3l2 + 4l3
P = -[(X-2)(X-3)(X-4)]/6 + 6[(X-1)(X-3)(X-4)]/6 -9[(X-1)(X-2)(X-4)]/6 + 4[(X-1)(X-2)(X-3)]/6

P(x) = x

Voila

Posté par puisea puisea

Ba alors Kévin,

tu réponds pas en blanké ? et si on voulait essayer nous

Je rigole bien sur

Ok je sors.

Posté par borneo borneo

Bonjour Puisea. Tu avais trouvé rapidement ?

Posté par puisea puisea

Salut borneo,

Et bien, je dois avouer que je n'ai pas cherché. Et une fois qu'il y a eu une bonne réponse de postée, cela paraissait évident... mais ca parait tjs évident quand on à la réponse sous le nez. Conclusion : la réponse est non

Posté par infophile infophile

Oups désolé pour le blanqué...

J'ai une autre question



Pourquoi a-t-on le droit de mettre 0 - 0 ?

Merci

Posté par infophile infophile

Personne ?

En utilisant google, je retombe sur le lien que m'a fournit Kaiser (à propos du  polynôme de Lagrange) en tapant : interpolation polynomiale. Si j'ai bien compris ce principe permet d'identifier un polynôme dont la courbe représentative passe par certains points donnés. Et on se sert dans ce cas de la formule de Lagrange (ce que j'ai fait ci-dessus pour la suite triviale 1-2-3-4...). Alors pourquoi 0 - 0 conviendrait également ?

Merci

Posté par _Estelle_ _Estelle_

Parce que Fractral avait dit à peu de choses près que grâce à l'interpolation polynomiale, on pouvait toruver une logique à n'importe quelle fin de suite

Estelle

Posté par J-P J-P

Pour moi, quand on doit poursuivre une suite logique, les solutions données doivent correspondre aux réponses qu'une grande partie des autres participants ont données.

Ce n'est pas le cas, en général, par une interpolation polynomiale.

En effet, supposons qu'on donne les 5 premiers nombres d'une la suite et qu'on demande les 2 suivants, on peut arbitrairement choisir les 2 suivants (ou plus si on veut) et trouver un polynôme de degré suffisant qui colle avec ces solutions.

Comme les solutions peuvent être choisir arbitrairement, elles n'ont rien de "LOGIQUES" et n'ont aucune chance de correspondre aux réponses d'autres candidats.

Cette approche (interpolation polynomiale) est prise comme prétexte par ceux qui ne sont pas doués pour ce genre d'exercices pour pouvoir dire que ces problèmes sont idiots.

Maintenant, loin de moi, l'idée de dire que ce genre de problème ne peut avoir qu'une seule solution, c'est loin d'être le cas.

Les 2 types de réponses les plus répandues dans ce topic le démontre.

Posté par J-P J-P

Oups, désolé pour l'orthographe.

Posté par infophile infophile

Bonjour J-P

Je ne suis pas doué en ce qui concerne ces suites logiques, c'est d'ailleurs pour cette raison que je n'ai pas répondu à cette énigme. Si je demande des informations sur l'interpolation polynomiale c'est par simple curiosité. Je trouve extraordinaire que pour n points donnés, passes toujours une courbe issue d'un polynôme ! Maintenant il faudrait définir le mot "LOGIQUE" pour interdire l'utilisation d'outils comme l'interpolation polynomiale

Kévin

Posté par J-P J-P

Salut inphophile,

L'interpolation polynomiale est un technique mathématique extrêmement utile dans de nombreux problèmes, c'est incontestable.

Son emploi dans les exercices "suite logique" ne peut cependant, à mon sens, pas être accepté.

Si je donne un début de suite tel que : 3 , 5 , 7 ... et que je demande les 2 nombres suivants.

Il est normal d'accepter: 9 , 11 (motivation: c'est la suite démarrant à 3 des nombres impairs).

Mais il est tout aussi normal d'accepter: 11, 13 (motivation: c'est la suite démarrant à 3 des nombres premiers).

La "motivation" doit pouvoir s'exprimer par des phrases simples ne contenant pas des formules mathématiques compliquées ou trouvées suite à un développement mathématique long ou complexe.

Un réponse donnant par exemple, 3,919 et -5,12 (motivation : le polynôme P(x) (dont on donne l'expression) prend pour x = n (n dans N) la valeur du nème terme de la suite.) ne peut, à mon sens, pas être accepté.

Cette réponse ne vient pas d'un cheminement "logique" de la pensée mais est issu simplement d'un choix aléatoire des nombres et d'un développement mathématique pour déterminer un polynôme adéquat.

Cette manière de voir les choses (utiliser une interpolation polynomiale) ou bien se servir de cela pour pouvoir dire "ce genre de problèmes est idiot" est évidemment bien pratique pour ceux qui ne sont pas à l'aise avec ce genre d'exercices.

Quant à l'emploi de ce type de tests, soit dans l'évaluation du QI ou dans les tests d'embauche, c'est un autre débat.

Si une réponse à une question diffère de la réponse type attendue, même si elle est aussi "logique", elle sera considérée comme fausse (manque de temps des correcteurs et souvent (toujours?) incompétence des correcteurs pour comprendre la logique du répondant).

Cependant, ces tests posent un nombre très grand de questions et dans un temps limité (et donc bernique pour les adeptes des interpolations polynomiales) et, un dans l'autre, la moyenne du résultat est très proche de celle qu'on aurait obtenue en acceptant l'une ou l'autre des réponses logiques mais pas attendues qu'on aurait faites.

J'ai moi même été surpris par les résultats de ce type de test.
J'en ai réalisé 3 à des moments différents et bien entendu avec des questionnaires différents et j'ai eu la grande surprise que les 3 tests évaluent mon QI à la même valeur (à 1 point près).
Soit c'est un hasard, soit ...

Maintenant de là à dire que la valeur obtenue par ces tests reflète bien l'intelligence d'un individu, il y a un pas (énorme) que je ne franchirai pas.

Posté par mic (invité)

bonjour à tous.

J'ai compris la méthode d'interpolation polynômiale et l'exemple de Kaiser est interesssant et bien expliqué.

En revanche je ne connaissais pas celle avec les suites.

Pouvez vous expliquer comment lyonnais a fait pour trouver sa suite avec

x(n+1) en fonction de xn^2 selon la parité de n ?

=> quelles sont les formules pour arriver au résultat de lyonnais ?

Merci !

Michael

Posté par lyonnais lyonnais

Salut mic

Ma réponse a été totalement bricolée :D Je vais essayer de t'expliquer ( c'est pas gagné d'avance ... bref ).

La suite a compléter est :  1  4159  2  65358  ...   ...

En fait, j'ai divisé cette suite de nombres en deux parties : 1 et 2 d'un coté / 4159 et 65358 de l'autre.

Ainsi je cherche à consruire une suit (x_n).

Je pose x_0 = 1  et  x_1 = 4159

Et je fixe que quand n sera impair (pour n supérieur ou égal à 1), x_{n+1} = 2x_{n-1}.

Ainsi, j'ai mis en lien x_2 et x_0  et  on a bien  x_2 = 2x_0 = 2

Ensuite, je fixe (tout à fait arbitrairement) qu'il existe un polynome de degré 2 tq P(4159) = 65358

Je prends donc P du type : ax²+bx+c et je veux que :

4159²a+4159b+c = 65358

et je remarque que pour a = 1  , b = -4159  et c = 65358 ça marche

Je fixe donc que quand n sera pair (pour n supérieur ou égal à 1), x_{n+1} = x_{n-1}²-4159x_{n-1}+65358

Et voila, comme je te l'ai dis, c'est totalement trafiqué ;)

Merci Kaiser de nous avoir montré cette méthode d'interpolation polynomiale que je ne connaissais pas ...

Et J_P : j'admet que tu as raison sur le fond, on ne dévrait pas accepter des réponses tordu comme celle que je viens d'exposer ...

Romain

Posté par infophile infophile

J-P >> Je suis tout à fait d'accord avec ce que tu as dit

Personnelement pour le test de QI, j'en ai réalisé plusieurs à différents moments, et je n'obtiens pas vraiment le même QI à l'issue de chacun des tests.

Et l'intelligence ne s'arrête pas à une simple série de questions. En tapant "intelligence" dans google, il y a plusieurs définitions, c'est très vague.

Kévin

Posté par mic (invité)

okay merci lyonnais oui bon je vois que tu es bon cuisinier

michael

Posté par borneo borneo

Bonsoir, vu le temps que j ai mis, je crains le pire pour mon QI

Posté par minkus minkus

Apparemment plusieurs seraient d'accord pour que je revois ma correction, n'en deplaise a Monsieur Lagrange J'attends tout de meme l'avis de Fractal

Posté par infophile infophile

Oh on ne va pas chipoter à deux ou trois smileys

Kévin

Posté par J-P J-P

Salut minkus,

Ce que j'ai pu écrire n'avait pas pour but de t'inciter à modifier ta cotation, c'était juste quelques réflexions en passant.

Posté par mic (invité)

bonjour à tous.

je me pose la question suivante sans doute assez interessante mais dont je n'ai pas la moindre idée:

pourquoi et COMMENT interpoler avec plusieurs variables ?


j'avais lu sur le net il y a pas très longtemps de cela, que quelqu'un avait trouvé un polynôme de plus d'une dizaine de variables et qui permettait de ne générer que les nombres premiers...

mes questions sont les suivantes:

1) lorsqu'on interpole quelque chose (ici on veut un polynôme donnant les nombres premiers), comment peut-on avoir l'idée et/ou l'imagination d'y mettre plusieurs varibales ? et comment choisir si on va y mettre 9, 10, .. 15  varibales ? quels sont les critères ?

2) une fois que ce choix est fait d'interpoler avec plusieurs variables, COMMENT FAIRE ??
quelles sont les formules ?


Merci pour vos réponses car je suis un peu perdu lorsque j'ai vu la tête de ce polynôme incroyable totalement inexploitable.
(ps: remarque subsidiare: ne vous approchez jamais d'un polynôme... ça mord !)

michael.

Posté par infophile infophile

Salut michael

Je suis incapable de répondre à ta question, mais je ne crois que l'on a trouvé un polynôme permettant de générer les nombres premiers (ou alors seulement quelques uns). Pourrais-tu m'envoyer le lien ?

Kévin

Posté par mic (invité)

oui par exmple ce lien: http://faq.maths.free.fr/html/node110.html

mais 1)il s'agit d'un site parmis des millions de sites comme celui-ci
et 2)le vrai site ou j'ai vu la forumule n'est pas celui ci.

bref la question reste ouverte.

merci pour vos commentaires.

michael

Posté par infophile infophile

Trop compliqué pour moi Je laisse la main

Posté par mic (invité)

oui infophile pour moi aussi.
revoila ce polynôme mais l'explication me vient de wiki cette fois-ci. on y dit à peu près la même chose mais il est interessant de lire tout le paragraphe que voici:
------------------------------------------------------------------------------------------------------

Il existe un polynôme de degré 25 à 26 variables à coefficients entiers tel que, si vous limitez les valeurs des variables aux nombres entiers naturels, alors l'ensemble des valeurs strictement positives est égal à l'ensemble des nombres premiers (pour de nombreuses valeurs des variables, le résultat est négatif et le nombre peut être alors composé) :

(k+2)×[1−(wz+h+j−q)²−(2n+p+q+z−e)²−(a²y²−y²+1−x²)²
−((e⁴+2e³)(a+1)²+1−o²)²−(16(k+1)³(k+2)(n+1)²+1−f²)²
−(((a+u⁴−u²a)²−1)(n+4dy)²+1−(x+cu)²)²−(ai+k+1−l−i)²
−((gk+2g+k+1)(h+j)+h−z)²−(16r²y⁴(a²−1)+1−u²)²
−(p−m+l(a−n−1)+b(2an+2a−n²−2n−2))²−(z−pm+pla−p²l+t(2ap−p²−1))²
−(q−x+y(a−p−1)+s(2ap+2a−p²−2p−2))²−(a²l²−l²+1−m²)²−(n+l+v−y)²]

Il a été déterminé par Jones, Sato, Wada et Wiens en 1976. On peut noter que ce polynôme est exprimé sous la forme d'un produit de deux facteurs dont l'un est la somme du nombre 1 et de 14 expressions toutes négatives. Le polynôme ne peut donc être positif que si ces 14 expressions sont simultanéments nulles, et le nombre premier obtenu est alors donné par le deuxième facteur, k + 2. Ce polynôme nous donne donc un système de 14 équations diophantiennes à 26 inconnues, auquel il faut trouver une solution pour obtenir un nombre premier.
------------------------------------------------------------------------------------------------------

CE QUI SUIT EST ENCORE PLUS INCROYABLE !!!

D'autres polynômes existent, mais ne sont pas explicités. Le polynôme ayant le moins de variables actuellement défini est dû à Yuri Matijasevic, en 1977. Il possède 10 variables mais son degré est de l'ordre de 10^45.
Ces expressions ont donc un intérêt théorique et non pratique. ==> merci de ce renseignement wiki !!!


Aucun polynôme d'une seule variable ne peut générer tous les nombres premiers. Néanmoins, à titre de curiosité, certains polynômes en donnent en grande quantité. C'est le cas pour :

f(n) = n² − n + 41 (dû à Euler) qui donne des nombres premiers pour n allant de 0 à 40, mais f(41) est composé,
f(n) = 103n² − 3945n + 34381 (dû à R. Ruby) pour n allant de 0 à 42,
f(n) = 47n² − 1701n + 10181 (dû à G. Fung) pour n allant de 0 à 42,
f(n) = 36n² − 810n + 2753 (dû à R. Ruby) pour n allant de 0 à 44.


ici je laisse moi aussi la main mais j'aimerais simplement que l'on s'éloigne pas trop de mes 2 questions de départ. merci à tous.
je vais chercher le doliprane...

michael.