Bonjour Vladloup

Tout simplement parce que cos(0)=1 !

Kaiser

on les enlève parce que si tu prends un cercle trigo et que tu ajoutes ou enlève 2k tu obtiens le même sinus et cosinus.
faut voir le cercle trigo pour comprendre ça.

De plus, la fonction cosinus étant -périodique, elle est -périodique.

c'est les joies de la trigonométrie!
prenons un cercle. tu pars d'un point de ce cercle. tu fait un tour et tu reviens au meme point,non?
en trigonométrie, le tour du cercle vaut 2. Donc cos 0=cos 2=cos(k2).magic!

Merci beaucoup tous je pensais pas recevoir de répose aussi vite : ce forum est très efficace

Je pense avoir compris. Finalement à l'intérieur de parenthèse d'une F° cos c'est un autre monde avec d'autres lois :p ça m'a l'air assez intéressant.

Salut kaiser,

Je ne connais pas la définition actuellement utilisée pour la périodicité d'une fonction.

Il y a 40 ans c'était quelque chose comme:

Une fonction f(x) est périodique de période T si pour tout x, f(x) = f(x+T). T étant un réel strictement positif le plus petit possible.

Par le morceau de phrase "le plus petit possible", la période de cos(x) est 2Pi, mais bien que on ait aussi f(x) = f(x + 4Pi), 4Pi n'est pas la période.  

Qu'enseigne t-on aujourd'hui ?

http://tanopah.jo.free.fr/seconde/Fperiodique.html

Bonjour à tous

J-P> le lien de elda parle de lui-même .

Kaiser

Merci pour le lien elda, mais ce qui y figure reste pour moi ambigü et très sujet à caution.

D'après les définitions données cela semble aller dans le sens d'accepter T strictement positif quelconque pourvu que f(x) = f(x+T) pour tout x.

Par contre alors pourquoi alors la phrase qui suit dit-elle:

"Les fonctions sinus et cosinus sont 2Pi-périodiques. Tangente est elle Pi-périodique."

Ici, c'est clairement le T minimum qui est pris en considération et c'est pareil dans tous les exemples qu'on peut trouver.

Il y a un argument de plus qui plaide en la faveur de ma façon de voir les choses (T doit être la valeur minimum strictement positive telle que ...).

Lorsque la variable est le temps, on parle souvent alors de la période et de la fréquence du signal représenté par la fonction et là , on a la relation f = 1/T largement acceptée par tous.

Or cette relation n'est valable que si T est bien la valeur minimum strictement positive telle que f(t+T) = f(t) pour toute valeur de t.

Le réseau de distribution électrique a une tension sinusoïdale de fréquence 50 Hz, sa période est donc de T = 1/f = 1/50 = 0,02 s et pas question de choisir une période de par exemple 0,04 s (bien que on a aussi V(t) = V(t + 0,04)) sinon on en déduirait que le réseau à une fréquence f = 1/T = 1/00,04 = 25 Hz ce qui est faux.

Ceci est évidemment ma manière de voir (mais je suis plus physicien que mathématicien).  

En fait, pour ma part, ta définition est correcte (et la seule possible) si on parle de la période.
Lorsque l'on parle d'une période, c'est autre chose, et alors une fonction T périodique est 2T périodique (et même nT périodique pour tout entier naturel n non nul).
En tous cas, c'est ce que l'on m'a toujours appris.

Kaiser

oui je pense que kaiser a raison, ça dépend si on parle d'une ou de la période.

Là je vous rejoins complètement.

Mais lorsqu'on demande périodicité d'une fonction (et c'est pratiquement chaque fois ce qu'on demande), c'est bien "la" période qu'on demande et pas "une" période.

Non ?

Bonjour à tous

Une question me vient à l'esprit.

Comme vous l'avez dit, si T est une période de f alors nT en est une.

La question : Si T et Q sont deux périodes de f telles que Q > T. Peut on s'assurer qu'il existe n tel que Q=nT.

C'est à dire : Les périodes d'une fonction sont-elles toutes des multiples de la période minimale ?

Pour ma part, instinctivement, dans ce genre de question, je serai parti dans la recherche de la période mais sinon, je ne sais pas comment cela serait pris si je donnais une seule période quelconque.
Par contre, J-P, je voudrais te poser une question : considère tu les fonctions constantes comme des fonctions périodiques ?

Nightmare> Dans le cas, où la fonction périodique est non constante, alors oui, toutes les périodes sont multiples de la période. Par contre, si Q et T sont deux périodes quelconques, alors la relation Q=nT peut ne pas être satisfaite. Exemple : la fonction cosinus, avec et .

Oui kaiser, mais comment le démontre-t-on ?

Tout d'abord, je reformule !
Soit f une fonction f périodique admettant une plus petite période T, alors les périodes de f sont les nT avec n entier naturel non nul.

Preuve :

Soit Q une autre période de f et posons (partie entière).

Posons a=Q-nT.
Par définition de la partie entière, on voit assez facilement que .
Soit x un réel quelconque, alors :

.
Si a n'est pas nul, alors a est une période de f, ce qui est absurde puisque T est censé être la plus petite période, d'où a=0 et donc Q=nT.

Kaiser

Simple mais efficace.

Merci Kaiser

Autre chose : vois-tu pourquoi j'ai reformulé ? En effet, ce que j'avais dis dans mon message de 15h38 n'est pas tout à fait vrai !

Il y a un problème dans la démonstration me semble-t-il.

Tu supposes que T est la plus petite période de f.

C'est à dire qu'il nexiste pas de réel a plus petit que T tel que f(x+a)=f(x).

Si T est positif, -nT est inférieur à T donc ne peut être une période de f, on ne peut donc avoir f(x-nT)=f(x)

La dernière égalité est donc fausse ...

Attention !
Je dis qu'il n'existe pas de réel a strictement positif et strictement inférieur à T tel que pour tout x , mais -nT est strictement négatif.

Je me disais aussi ... D'accord avec la démo dans ce cas là

ouf ! À un moment, tu m'as mis le doute !

Salut Kaiser,

Ta question:
"Par contre, J-P, je voudrais te poser une question : considère tu les fonctions constantes comme des fonctions périodiques"

Ma réponse est NON car il n'est pas possible, dans le cas de la fonction constante, de trouver T strictement positif et le plus petit possible tel que f(x) = f(x+T)

Mais ceci est de l'ergotage, par contre je pense encore que lorsqu'on doit déterminer la périodicité d'une fonction périodique, c'est bien la plus petite valeur strictement positive de T qui doit être prise en considération et nulle autre.
Toute autre approche entrainerait (en physique) des quiproquo invraisemblables via l'expression f = 1/T que j'ai rappelée précédemment.

Il peut être interressant de considérer les fonctions constantes comme T périodique pour pouvoir considérer par exemple que l'ensemble des applications T périodiques de E dans K est une sous-algèbre unitaire de K^E

Moi je veux bien Nightmare, finalement tout dépend des définitions qu'on veut utiliser.

Cependant si les fonctions constantes sont considérées comme périodiques et qu'on désire encore pouvoir utiliser la relation f = 1/T si chère aux physiciens pour les fonctions périodiques classiques, alors il y a un os de dimension.

Peux-tu expliquer ce que tu entends par os de dimension ?

Je pense que J-P fait allusion au fait que ça pose problème d'avoir une fréquence infinie.
Mais je peux me tromper !

un os de dimension est un pb pour les unités? (ce qui me fait penser ça c'est parce qu'on parle d'analyse dimensionnelle)

Une fonction f(x) est périodique de période T si pour tout x, f(x) = f(x+T). T étant un réel strictement positif le plus petit possible.
Définition plutôt étrange...
Une période n'a pas besoin d'être réelle (par exemple exp est périodique de période 2iPi), ni d'être positive (c.f. mon dernier commentaire) et l'existence d'un T suffit.
Le plus petit possible n'a pas tellement de sens puisqu'il existe des fonctions périodique n'ayant pas de plus petite période (c.f. les fonctions constantes ou la fonction caractéristique de Q dans R)

En revanche:
si l'ensemble des périodes possède un plus petit élément, on dit que c'est LA période de notre fonction.

C'est à dire : Les périodes d'une fonction sont-elles toutes des multiples de la période minimale ?
Si ta fonction est réelle, Kaiser en donne une preuve (que je n'ai pas lue d'ailleurs, mais je pense qu'on peut lui faire confiance )

Si ta fonction n'est pas réelle, c'est évidemment faux. (mais dans ce cas, la condition P>Q n'a aucun sens)
Un exemple simple est celui des fonctions complexes:
Les fonctions complexes bi-périodiques (i.e. qui a deux périodes P et Q telles que P/Q ne soit pas réel) sont des fonctions très intéressantes. Une telle fonction dérivable est d'ailleurs nécessairement constante (c.f. Liouville).
Ces fonctions sont appelées les fonctions elliptiques. Un exemple typique est celui des fonctions "P" de Weierstrass. (c'est un P ghotique)
a+

otto a dit et donc otto à raison.

Mais une fois encore, il est incapable de contrer de manière probante ce qui a été dit. Son avis ne peut être que le bon, c'est ainsi.

Si ma définition de la période peut lui sembler étrange, elle est cependant là seule qui permet de prendre en compte la relation fréquence = 1/période si chère au physiciens.

Comme je l'ai dit, rien n'empêche d'utiliser d'autres définitions de la période pourvu qu'on les dénissent avant emploi, mais c'est un autre problème.

Quelles que soient les réactions futures sur ce topic, pour ma part, j'arrète ici.

Je réponds quant-même à Nigthmare.

"Peux-tu expliquer ce que tu entends par os de dimension ?"

Si une fonction constante est considérée comme périodique, la définition que j'ai donnée (et qui est la seule qui permet d'écrire f = 1/T) ne colle plus.

En effet, si une fonction constante est considérée comme périodique, d'après ma définition il est possible de trouver un T STRICTEMENT positif et minimùum tel que f(x) = f(x+T).

Ce T n'existe pas, puisque quel que soit le T "choisi" strictement positif, il y a une autre valeur de T entre celle là et 0 qui est plus petite et qui donne auusii f(x) = f(x+T)

Donc comme T ne peut pas être trouvé, la fonction constante n'est pas périodique.

Sauf si, bien entendu, on adopte d'autres définitions et qu'on renonce à la relation f = 1/T).

otto a dit et donc otto à raison.
Effectivement et j'aime à savoir que tu l'as enfin compris.

Tu remarqueras que "la plus petite possible" n'est en rien un terme mathématique, et quand tu dis que je suis incapable de manière probante de te montrer que ta définition est fausse, c'est que tu n'as pas bien lu mon message, parce que je te donne un exemple de fonction qui est périodique, non constante et qui n'a pas de plus petite période. La fonction caractéristique de Q dans R fait justement le travail.

Il suffit d'ouvrir un bouquin de seconde pour trouver une bonne définition de la périodicité d'une fonction.

Ca pourrait quand même être intéressant de faire la démonstration de ce résultat:
La fonction caractéristique de Q, que j'appelle f, vérifie clairement f(x+1)=f(x), puisque si x est rationnel, alors x+1 l'est également, et si x est irationnel, alors il en va de même pour x+1.
Ceci signifie donc que f est 1-périodique.

Si f possédait une plus petite période positive T, alors f(x+T)=f(x) et pour tout P tel que 0<P<T, on a que
f(x+P)><f(x)

C'est assez clair que T est nécessairement rationnel. Ainsi T/2 est rationnel et 0<T/2<T
C'est assez clair également que T/2 est une période de f, ce qui entraine une contradiction.

Ainsi, f n'a pas de plus petite période et est non constante.
Sauf(s) erreur(s)

otto a toujours raison mais est et restera dangereux avec ses certitudes mal placées.

Malgré une culture mathématique brillante sans contestation possible, il est incapable de s'apercevoir qu'il y a presque autant de définitions de n'importe quelle notion mathématique qu'il y a de mathématiciens et que dès lors, La définition qu'il utilise n'est pas forcément universellement acceptée.

De nouveau, il reproche aux autres ses propres erreurs, ici en accusant de ne pas le lire alors qu'il n'a manifestement rien lu de mes réponses ou alors il n'y a vraiment rien compris, ce qui est possible tant il est engoncé dans ses certitudes aveugles.

Je répète que pour que la relation (là universellement utilisée en physique) fréquence = 1/période soit valable, c'est bien la définition que j'ai donnée de la période T qui DOIT être prise en considération, toute les autres présentées dans ce topic ne permettent pas de respecter cette relation.

Si on accepte d'utiliser le même vocable "Période" en lui donnant des définitions différentes en fonction du contexte où on l'utilise et sans repréciser la définition à chaque utilisation, il ne faut pas s'étonner de la foire qui existe et des quiproquo que cela entraîne inévitablement.

L'exemple donné par otto ne démontre évidemment rien puisqu'il part de sa définition de la période pour montrer que d'autres définitions de la période sont fausses.
Ca c'est vraiment fortiche.
On peut évidemment faire la démo inverse et montrer qu'à partir de la définition que j'ai donnée, son exemple de fonction périodique est faux, ce serait tout aussi idiot.

Personnellement, je n'essaie pas de dire que la définition que j'ai donnée de la période est correcte (puisque chacun peut avoir sa propre définition), je dis seulement que c'est la seule qui a été donnée dans ce topic qui soit compatible avec "fréquence = 1/période" , c'est tout.

Je ne vois aucun inconvénient à utiliser d'autres définitions si cela permet de trouver des propriétés mathématiques intteressantes ou ... , mais alors de grâce précisons avant l'emploi la définition utilisée dans le cadre du travail en cours et cessons de croire que la définition qu'on utilise est LA définition universelle et que celles utilisées par les autres sont forcément fausses.

bonjour!
moi aussi j'ai une problème. je dois déterminer une période des fonctions suivantes:

g(x)=cos(2x)
h(x)=sinx*cox
k(x)=3cos(x- /3)

j'ai essayé en faisant:
g(x+2)=cos [2*(x+2)]
mais ca ne marche pas car 2 est TOUJOURS périodique... non??

est-ce que quelqu'un peut m'aider s'il vous plait??

g(x) = cos(2Pi.x)

cosinus est 2Pi périodique --> 2Pi.T = 2k.Pi
T = k
et donc la plus petite valeur strictement positive possible pour T est 1

La période de g(x) est 1
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h(x) = sin(x)*cos(x)
h(x) = (1/2)*sin(2x)

sinus est 2 Pi périodique --> 2T = 2kPi
T = k.Pi
et donc la plus petite valeur strictement positive possible pour T est Pi

La période de h(x) est Pi
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k(x) = 3.cos(x - Pi/3)

cosinus est 2Pi périodique.
La période de k(x) est 2Pi.
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