JFF Les ampoules :*: ou :*::*: ou :*::*::*: au choix ;-)

Posté par infophile infophile

A quand la correction ?

Posté par borneo borneo

Salut Kévin.
Elle devrait déjà être en ligne, mais il y a plein de gens qui appellent o'scour

Posté par infophile infophile

Oui il y a de quoi faire sur le forum

Je repasserais plus tard alors.

Posté par borneo borneo

Voilà ma solution pour trouver sans ambiguïté toutes les solutions. Je considère que l'état initial D, chaque bouton B1  B2 .... B10 et l'état final A sont des matrices à une ligne et 10 colonnes.

D = (0 1 1 0 1 0 1 1 0 1)

A = (0 0 0 0 0 0 0 0 0 0)  

0 veut dire éteint et 1 veut dire allumé. Ce qu'on veut, c'est tout éteindre.

Quand on appuie sur le bouton B1, cela revient à ajouter à D la matrice B1 = (1 1 0 0 0 0 0 0 0 0)

quand on appuie sur B2 on ajoute (1 1 1 0 0 0 0 0 0 0)

Dans ces matrices, 1 signifie changer d'état et 0 ne rien changer.

Voilà la liste de toutes les matrices des boutons :

B1 = (1 1 0 0 0 0 0 0 0 0)
B2 = (1 1 1 0 0 0 0 0 0 0)
B3 = (0 1 1 1 0 0 0 0 0 0)
B4 = (0 0 1 1 1 0 0 0 0 0)
B5 = (0 0 0 1 1 1 0 0 0 0)
B6 = (0 0 0 0 1 1 1 0 0 0)
B7 = (0 0 0 0 0 1 1 1 0 0)
B8 = (0 0 0 0 0 0 1 1 1 0)
B9 = (0 0 0 0 0 0 0 1 1 1)
B10 = (0 0 0 0 0 0 0 0 1 1)

Je sais que je vais devoir pousser sur un certain nombre de boutons pour passer de D à A.

Je peux l'écrire sous la forme :

D + e₁ B1 +  e₂ B2 + e₃ B3 +  e₄ B4 + e₅ B5 +  e₆ B6  + e₇ B7 +  e₈ B8 + e₉ B9 +  e₁₀ B10 = A

Mes coefficients  e_i sont des entiers 0. Comme appuyer une deuxième fois sur le même bouton annule la première action, e_i prendra simplement les valeurs 0 ou 1. On appuie sur le bouton Bi, e_i = 1. On n'appuie pas, e_i = 0.
Nous constatons qu'en changeant deux fois l'état d'une lampe, on la ramène à son état initial. Donc, quand nous additionnerons nos matrices, on aura :

0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
0 + 0 = 0
1 + 1 = 0

De l'équation : D + e₁ B1 +  e₂ B2 + e₃ B3 +  e₄ B4 + e₅ B5 +  e₆ B6  + e₇ B7 +  e₈ B8 + e₉ B9 +  e₁₀ B10 = A, je tire un système de 10 équations, une par colonne.


0 + e₁ + e₂ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

1 + e₁ + e₂ + e₃ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

1 + 0 + e₂ + e₃ + e₄ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0  = 0

0 + 0 + 0 + e₃ + e₄ + e₅ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0  = 0

1 + 0 + 0 + 0 + e₄ + e₅ + e₆ + 0 + 0 + 0 + 0  = 0

0 + 0 + 0 + 0 + 0 + e₅ + e₆ + e₇ + 0 + 0 + 0  = 0

1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0  + e₆ + e₇ + e₈ + 0 + 0  = 0

1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0  + 0 + e₇ + e₈ +e₉ + 0  = 0

0 + 0  + 0 + 0 + 0 + 0 + 0  + 0 + e₈ +e₉ + e₁₀  = 0

1 + 0 + 0  + 0 + 0 + 0 + 0 + 0  + 0 + e₉ + e₁₀  = 0

Maintenant, il faut résoudre ce système en se souvenant que 1 + 1 = 0


Je ne mets pas tous les calculs, ce serait trop long, mais ça va très vite.

e₁ + e₂ = 0 donc comme 1 + e₁ + e₂ + e₃  = 0 on est sûr que e₃ = 1

1 + e₉ + e₁₀  = 0 donc e₉ + e₁₀ = 1
donc comme e₈ +e₉ + e₁₀  = 0, on sait que e₈ = 1

On a e₁ + e₂ = 0 ce qui veut dire que soit ils valent tous les deux 1 ou ils valent tous les deux 0.

L'hypothèse 0 mène (ultérieurement, je ne détaille pas) à une impossibilité avec le résultat e₈ = 1

Donc e₁ = e₂ = 1

Par la suite, comme 1 + e₂ + e₃ + e₄  = 0 on a e₄ = 1

Comme  e₃ + e₄ + e₅  = 0  on a e₅ = 0

Comme 1 + e₄ + e₅ + e₆  = 0 on a e₆ = 0

Comme e₅ + e₆ + e₇  = 0  on a   e₇  = 0

On sait que e₈  = 0

Comme 1 + e₇ + e₈ +e₉  = 0 on a  e₉  = 0

Et enfin comme 1 + e₉ + e₁₀  = 0 on a e₁₀  = 1

Conclusion : comme il faut appuyer sur les boutons B_i quand i = 1 et ne pas appuyer quand 1 = 0



Cette démo m'a été inspirée par deux articles en anglais dont je remercie les auteurs   et

Posté par borneo borneo

Et les gagnants sont : Infophile, Olbest, Plumemeteore (au second tour )

Bravo à eux

Et merci à Océane d'avoir blanqué, surtout un jour d'affluence comme aujourd'hui.

Posté par olbest (invité)

Merci a toi borneo pour ta réponse et pour cette enigme bien sympa!!!
Moi je ne joue pas le classemnt mai bonne chance a toi pour ce mois ci!!!

Olivier[blank][/blank]

Posté par infophile infophile

Je ne vois pas d'où sort le système à 10 équations

Posté par lucas951 lucas951



Plus sérieusemet borneo, t'as quel niveau en maths ?

Lucas

Posté par borneo borneo

Salut Kévin

De l'équation : D + e₁*B1 +  e₂*B2 + e₃*B3 +  e₄*B4 + e₅*B5 +  e₆*B6  + e₇*B7 +  e₈*B8 + e₉*B9 +  e₁₀*B10 = A, je tire un système de 10 équations, une par colonne.

Dans la 1e équation    0 + e₁ + e₂ + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0

le premier 0 vient de la 1e colonne de la matrice D = (0 1 1 0 1 0 1 1 0 1) puis on a e₁ qui vient du produit de e₁ par la matrice B1,  e₂ qui vient du produit de e₂ par B2, puis les 8 zéros suivants des matrices B3 à B10, et le dernier 0 vient de la matrice A = (0 0 0 0 0 0 0 0 0 0)

En fait, pour simplifier, chaque colonne de mon système donne une équation qui pourrait avoir un maximum de 12 éléments, un qui vient de D, 10 qui viennent des 10 boutons et un qui vient de A. Ce n'est pas le cas car il y a beaucoup de zéros dans les matrices des boutons.

Posté par borneo borneo

Et toi, Lucas ?

Sorry pour mon cadre trop large qui élargit tout le topic. Il y en a qui n'apprendront jamais

Posté par infophile infophile

Ok j'ai compris

Belle démo

Posté par borneo borneo

Merci Kévin. Sauf pour le cadre

Posté par plumemeteore plumemeteore

Bonne nuit tout le monde.
Pourquoi se faire mal à la tête avec ces matrices ? Mon algorithme est beaucoup plus économique. Rappel du principe : deux lampes distantes de 3 reçoivent le même traitement (touchée ou évitée) selon que les deux lampes qu'elles entourent sont ou non dans le même état initial.
Deux variantes proches :
1. Il s'agit d'allumer toutes les lampes.
2. Les lampes sont en cercle continu (il y aura toujours une solution)

Posté par borneo borneo

Salut Plumemeteore, c'est pour le fun. J'aime bien les jolies pages avec plein d'indices et de symboles. En fait, je voulais mettre mes 10 équations dans une seule accolade, mais ce n'était pas possible.
Et si on essayait de faire l'énigme prévue au départ par Puisea, 100 ampoules numérotées de 0 à 99 avec seulement les numéros premiers allumés ?

Posté par minkus minkus

Oh oui ! Un systeme avec 100 equations, il faudrait une accolade XXXL

Posté par borneo borneo

Ce qui me gêne le plus, c'est de commencer par 0. Je trouve que ça fait désordre, une 2e lampe qui porte le numéro 1.

Posté par lucas951 lucas951

Je comprends légèrement, mais vu ma cervelle de moineau...

Lucas

Posté par borneo borneo

Lucas, je ne sais pas en quelle classe on fait les matrices, mais pas avant la 1e ou la terminale. Moi-même je ne m'en souvenais plus jusqu'à avoir cette énigme à résoudre, et les voir utilisées dans des problèmes similaires.

Posté par Skops Skops

Les matrices sont au programme de 1ere ES et peut être de Term ES mais ne sont pas présente en S

Skops

Posté par borneo borneo

Salut Skops. En spé maths, alors ? Il ne me semble pas avoir vu passer ça l'an dernier.

Par contre je me souviens très bien des matrices que j'avais au bac, et je crois aussi en première. Par contre je ne me souviens pas des applications. On n'en voit pas souvent sur l'île.

Posté par lucas951 lucas951

Et quand je pense les années qui me restent avant la première... (S physiques pour moi, svp !)

Lucas

Posté par Skops Skops

Salut borneo

En spé maths, le programme c'est arithmétique et similitude donc pas de matrices

Skops

Posté par minkus minkus

Perso, je n'avais jamais fait de matrice avant la prepa (sauf le "determinant" bidon a 4 variables pour verifier si un systeme a une solution ).

Pas de matrices en secondaire sauf en ES mais je l'ai fait l'annee derniere en cours particulier et ca casse pas des briques.

Posté par savoie (invité)

Au fait Borneo : as-tu essayé le même problème avec une rampe circulaire ? Et ainsi trouvé les conditions d'impossibilité ?

Posté par borneo borneo

Non, mais ça doit marcher aussi, il faut juste modifier B1 en (1 1 0 0 0 0 0 0 0 1) et B10 en (1 0 0 0 0 0 0 0 1 1) je suppose.
Dès que j'ai le temps, je tente les 100 lampes de Puisea

Posté par borneo borneo

Mince, je viens de voir que Olbest est passé vert...  

Posté par lucas951 lucas951

Je ne me rappellelais même plus de lui...