Suite géométrique

Posté par liliane (invité)

Bonjour à tous ! après avoir passé quelque minutes qui sont devenues des heures (non je n'exagère pas!), je me suis dis que je devais demander de l'aide...

Voici ce que je dois résoudre:
Soient a, b, et c trois nombres réels en progression arithmétique de raison r et soient a', b' et c' trois nombres réels en progression géométrique de raison r. On suppose que:
a+a'=3
b+b'=3
c+c'=1

Il faut déterminer a, b, c, a', b', c'.

Quelqu'un aurait-il une idée??

Posté par cqfd67 cqfd67

bonsoir,

si a,b, c sont en progression arithmetique alors b=a+r et c=b+r=a+2r
si a',b', c' sont en progression geometrique alors b=ar et c=br=r²a

Posté par liliane (invité)

je comprend le raisonnement mais comme il n'y a aucun chiffre, je ne sais pas comment faire...

Posté par ben314 (invité)

Beau problème!
Il m'a bien fallu 10 mn pour en venir à bout.
Première solution:
a=5, b=7, c=9
a'=-2, b'=-4, c'=-8
Deuxième solution:
a=7/2, b=5/2, c=3/2
a'=-1/2, b'=1/2, c'=-1/2
C'aurait fait une très bonne énigme, d'ailleurs.

Posté par liliane (invité)

ben moi entre temps j'ai fais des calculs mais je ne suis pas arrivée a ces résultats la... je vais recommencer je pense...

Posté par liliane (invité)

s'il vous plait expliquer moi comment faire, le résultat ne me montre pas comment m'y prendre...

Posté par ben314 (invité)

1) tu vérifies que r ne peut être égal à 0
2) tu poses a=b-r, c=b+r, a'=b/r, c'=b*r et tu remplaces dans tes trois sommes
3) tu te retrouves avec un système de trois équations à trois inconnues, reste à utiliser le pivot de Gauss.

Posté par liliane (invité)

mais le pb est la: on a pas vu "le pivot de Gauss"...(je suis en 1ère année ECE)

Posté par ben314 (invité)

Désolé, je suis allé trop vite.
2) tu poses a'=b'/r (et non b/r), c'= b'*r (et non c*r).

Posté par liliane (invité)

postés en même temps je pense que tu n'a pas lu mon message... y'aurait-il une autre méthode que le pivot de Gauss pour résoudre ce problème??

Posté par ben314 (invité)

Perso, je l'ai résolu avec le pivot de Gauss. Maintenant, peut-être que vous avez vu d'autres méthodes en ECE (qu'est-ce, d'ailleurs?).C'est vrai que même si je t'expliquais en détails la manière dont j'ai trouvé le résultat, cela ne te servirait à rien, car tu ne peux utiliser des méthodes que tu n'as pas vues en cours.

Posté par J-P J-P

on a:

a = b - r
c = b + r

a' = b'/r
c' = r.b'

Le système devient:

b-r + (b'/r) = 3
b + b' = 3
b + r + rb' = 1

b' = 3-b
b-r + ((3-b)/r) = 3
b + r + r(3-b) = 1

br - r² + 3 - b = 3r
b + 4r - br = 1

b(1-r) = 1-4r
b = (1-4r)/(1-r) (r est différent de 1)

remis dans br - r² + 3 - b = 3r -->

(1-4r)r/(1-r) - r² + 3 - (1-4r)/(1-r) = 3r
(1-4r)r - r²(1-r) + 3(1-r) - (1-4r) = 3r(1-r)
r - 4r² - r² + r³ + 3 - 3r - 1 + 4r = 3r - 3r²
r³ - 2r² - r + 2 = 0

r=2; r=-1 et r = 1 (interdit)

a) si r = -1
b = (1-4r)/(1-r) = 5/2
a = b-r = 5/2 + 1 = 7/2
c = b+r = 5/2 - 1 = 3/2
b' = 3-b = 3 - 5/2 = 1/2
a' = b'/r = -1/2
c' = b'.r = -1/2

b) si r = 2
b = (1-4r)/(1-r) = 7
a = b-r = 5
c = b+r = 9
b' = 3-b = 3-7 = -4
a' = b'/r = -2
c' = b'.r = -8

Il y a donc 2 solutions:

a=7/2, b=5/2, c=3/2
a'=-1/2, b'=1/2, c'=-1/2

et

a=5, b=7, c=9
a'=-2, b'=-4, c'=-8
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Sauf distraction.

Posté par ben314 (invité)

Exactement ce que j'ai fait, mais vous utilisez le pivot de Gauss sans le dire.

Posté par J-P J-P

liliane ne connais pas, d'après ses dires, le Pivot de Gauss, cela veut dire qu'elle n'a pas appris son utilisation, mais pas qu'elle ne peut pas comprendre le calcul détaillé que j'ai donné.

Attendons de voir ce qu'elle en pense.

Si elle se remanifeste...

Posté par liliane (invité)

désolée de répondre si tard (problème de pc...)
en effet je ne connais pas le Pivot de Gauss car on ne l'a jamais vu en cours mais je pense être capable de comprendre...(j'ai compris d'ailleur ...)
et puis je vous remercie tous pour cette précieuse aide