Configuration du trapèze complet (en rapport avec barycentres...

Posté par Clefie (invité)

Bonjour.
J'ai un exercice dont l'enoncé est le suivant : ABC triangle, I milieu [BC]. H un point de (AI) distinct de A, de I et du symétrique de A par rapport à I. (BH) coupe (AC) en Q, (CH) coupe (AB) en P. Alors (BC) et (PQ) sont parallèles et (AH) passe par le milieu J de [PQ].
A, I et H sont distincts et alignés, donc il existe un réel k, non nul, tel que vecteur HI = k.vectHA. Il me faut prouver que k est différent de 1 et que H barycentre de (A, -2k), (B,1), (C,1).
Je ne comprend absolument rien !
La question suivante est : deduisez-en que P barycentre de (A,-2k),(B,1) et Q celui de (A,-2k),(C,1). dois-je utiliser pour cela le théorème d'associativité ?
merci d'avance

Posté par Clefie (invité)

s'il vous plait j'aurai besoin d'une reponse ! je n'y arrive absolument pas !
jai juste réussi a demontrer que k n'est pas égal à 1.
mais le reste je ne comprends rien !!

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Je vais essayer de t'aider.

Mais dis-moi d'abord pourquoi k est différent de 1.

Posté par Clefie (invité)

merci. jai mis que k différent de 1 car si k = 1, vecteur HI = vecteur HA or I distinct de H. c bon ou pas ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

OK. Attends un peu pour la suite.

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75


(en vecteurs) HI = k.HA
donc
(en vecteurs) HI - k.HA = 0
donc H = Barycentre A,-k I,1 [là, on voit qu'il est important que k soit différent de 1]
On multiplie tous les coefficients par 2 :
H = Barycentre A,-2k I,2
Or I est le milieu de [BC], donc I = Barycentre B,1 C,1
En appliquant le théorème d'associativité des barycentres, il vient :
H = Barycentre A,-2k B,1 C,1

Posté par veleda veleda

bonjour,je crois que j'arrive trop tard j'avais la même methode que nicolas par contre pur BC//PQ je ne vois pas?
s'ils sont // il est immédiat que J est le milieu de PQ (PJ/BI=AJ/AI=JQ/IC=JQ/BI=< PJ=JQ)

Posté par Clefie (invité)

Merci beaucoup bcp bcp ! puis-je pousser ma demande d'aide plus loin ?
je dois déduire de ce que tu viens d'me dire (H bary de (A -2k) , (b, 1), (c,1), que P barycentre de (A,-2k), (B,1) et que Q est celui de (A,-2k ) (C,1).
et aussi, il me faut exprimer vecteur AP en fonction de AB et le vecteur AQ en fonction de AC. En déduire que PQ est colinéaire à BC et conclure.
je ne comprends rien aux barycentres =(

Posté par Clefie (invité)

au fait, pour repondre a veleda, la partie "alors (BC)//(PQ) donc (AH) passe par le milieu J de [PQ]" est ce qu'on cherche a démontrer a la fin de l'exercice. ce n'est pas une donnée. voila

Posté par Clefie (invité)

3 messages ca fait beaucoup. mais pour en déduire que P barycentre (A,-2k), (B,1) est-ce que ca a un rapport avec le fait que P appartient à (AB) ? (de meme pour Q appartient à (AC) )

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Soit M un point quelconque de (HC), différent de H
Il existe un x réel tel que :
M = Barycentre H,2-2k C,x avec x différent de 2k-2
Associativité des barycentres :
M = Barycentre A,-2k B,1 C,1 C,x
M = Barycentre A,-2k B,1 C,1+x
P est l'un de ces points M. On sait qu'il appartient à (AB). Donc le coefficient de C doit être nul :
P = Barycentre A,-2k B,1

Posté par Clefie (invité)

OK. merci. de meme pr Q (en changeant certaines parties de la demonstration bien sur).
Et pour exprimer AP en fonction de AB ? et AQ en fonction de AC ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

La formule P = Barycentre A,-2k B,1 seule permet, en appliquant le cours, d'exprimer facilement AP en fonction de AB

Posté par Clefie (invité)

en fait je pense avoir trouvé.
tu peux me dire si c bon stp ?
AP = beta/alpha+beta AB. en remplacant : AP = 1/-2k + 1 AB
de meme : AQ = gamma/alpha+gamma AC = 1/-2k + 1 AC
(tout ca en vecteurs).
ensuite il faut demontrer que PQ colinéaire à BC :
AQ = (1/-2k + 1)AC
AP + PQ = (1/-2k + 1) AC
PQ = (1/-2k + 1) AC - AP
Or AP = 1/-2k + 1 AB
donc PQ = 1/-2K + 1 AC - 1/-2k + 1 AB
PQ = 1/-2K + 1 AC + 1/-2K + 1 BA
PQ = 1/-2K + 1 (BA + AC)
PQ = (1/-2k + 1) BC
donc PQ colinéaire à BC. j'en conclue ke (BC) // (PQ)
c bien ca ou jai totalement faux ?

Posté par Clefie (invité)

c la bonne reponse ou pas ?
sinon, sachant que P barycentre de A et B. comment démontrer que B barycentre de (P,-2k + 1), (A,2k) ? comment demontrer que H est le barycentre de (Q,-2k + 1) , (B,1) ? (c'est tjs le meme exercice)

Posté par Clefie (invité)

jai besoin d'aide... svp...

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Je n'ai pas le courage de rentrer dans tes calculs, qui sont difficilement lisibles. Un exemple : "PQ = 1/-2K + 1 (BA + AC)". Il manque au moins 2 paires de parenthèses pour que cette expression soit juste !

P = Barycentre A,-2k B,1
^{(D'ailleurs, pour écrire ce genre de choses, il faut être sur que k est différent de 1/2. A toi de la démontrer en utilisant une hypothèse de l'énoncé.)}
Donc

De même,

Donc


Donc (PQ) // (BC)

Nicolas

Posté par Clefie (invité)

(rebonjour) d'accord.merci. et pour demontrer que B barycentre de (P,-2k+1),(A,2k) ? je dois exprimer AB en fonction de AP ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Euh... je l'ai fait à 17h18 ci-dessus, et tu avais l'air d'avoir compris...

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Non, oublie mon message.

Posté par Clefie (invité)

d'accord... jme disais aussi...

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Démontrer que B barycentre de (P,-2k+1),(A,2k)
Tu sais que P = Barycentre A,-2k B,1
Exprime cela sous forme de vecteurs.
Utilise la relation de Chasles, pour retomber sur une autre égalité de vecteurs permettant de déduire ce que tu cherches.

Posté par Clefie (invité)

ok donc je pars de PA + PB = vecteur nul, c bien ca ?

Posté par Clefie (invité)

enfin alpha.PA + beta.PB = O plutot

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Bien sûr. Mais en remplaçant les alpha et beta par les bonnes valeurs.

Posté par Clefie (invité)

d'accord. merci beaucoup !!! bonne journée =)

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Je t'en prie.

Posté par Clefie (invité)

je suis vraiment desolée mais je peux t'embeter encore une petite fois ?...
je n'y arrive pas.
-2k PA + PB = 0 si je remplace les coefficients.
alors par exemple si je fais :
-2k PB + BA + PB = 0 je n'aboutis a rien (ou alors je fais une erreur à un moment ou un autre mais bon...)
ensuite si je fais -2k PA + PA + AB = 0 je n'arrive a aucun resultat non + !!

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Démontrer que B barycentre de (P,-2k+1),(A,2k)
Tu sais que P = Barycentre A,-2k B,1
-(2k)PA + PB = 0 (*)
Tu veux démontrer que B est le barycentre de (P,-2k+1),(A,2k)
Tu veux donc te retrouver avec une expression de la forme :
(...)BP + (...)BA = 0
Dans (*), tu as déjà du BP. Il reste à faire apparaître BA : il n'y a pas le choix !
-(2k)PA + PB = 0 (*)
-(2k)PB - (2k)BA + PB = 0
Je te laisse conclure...

Posté par Clefie (invité)

je dois etre vraiment bete parce que je ... n'arrive tjs à rien =(
-(2k)PA + PB = 0
-(2k)PB - (2k)BA + PB = 0
-(2k)PB+PB - (2k)BA = 0
(-2k+1)PB - (2k)BA = 0
(2k+1) BP - (2k)BA = 0
mais sauf erreur (très probable...) de ma part, je n'aboutis pas au résultat que je recherche (B barycentre de (P, -2k +1), (A,2k)

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

(-2k+1)PB - (2k)BA = 0 << ta ligne
(2k plus 1) BP - (2k)BA = 0
On multiplie par -1 :
(1-2k) BP + (2k)BA = 0
donc B barycentre de (P, -2k +1), (A,2k)

Posté par Clefie (invité)

d'accord... merci beaucoup pour ta patience =) bonne journée (pour de bon cette fois !)

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Pas de souci. Je t'en prie.

Posté par Clefie (invité)

Bonjour. je pensais que ce serait simple mais il se trouve que j'ai encore une question non resolue :
H est le barycentre de (Q, -2k+1) , (P, -2k+1), (A, 2k)
Il me faut en déduire que (AH) passe par le milieu J de [PQ]
Deja, il n'y a pas moyen de savoir si "J milieu de [PQ]" est une donnée ou si c'est moi qui doit le prouver ?? Merci de m'aider

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Est-ce la première fois que l'énoncé parle de cette lettre J ?
Dans ce cas, c'est une définition.

J = milieu [PQ] = Barycentre P,-2k+1 Q,-2k+1

H = Barycentre Q,-2k+1 P,-2k+1 A,2k
= Barycentre J,-4k+2, A,2k
donc H, A, J alignés

Nicolas

Posté par Clefie (invité)

oui c'est la première fois que l'enoncé parle de J.
Je te remercie beaucoup. J'en ai enfin fini avec cet exercice ! Bonne journée

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Je t'en prie.

Posté par Clefie (invité)

ca fait longtemps que je suis passé à un autre exercice. Ma

Posté par Clefie (invité)

desolée le message a été envoyé par inadvertance. Donc je me permets de revenir sur cet exercice. J'ai re-réfléchis à la question "comment prouver que H barycentre de (A, -2k), (B,1), (C, 1).
En partant de l'idée que k différent de 1 et non nul j'ai fait :
HI = k.HA
HI - k.HA = 0. H bary de (I,1), (A,-k)
D'après la propriété d'homogénéité, H bary de (I,2), (A, -2k)
Or I milieu de [BC] donc I isobary de (B,1), (C,1).
Soit H' le bary de (A, -2k), (B,1), (C, 1). (H' existe car -2k+1+1 non nul)
d'après le théorème d'associativité H' bary de (A, -2k), (I, 2).
Or H est le bary de ce meme système. d'ou H' = H. Donc H bary de A, B, C

Voila c'était juste pour compléter la démonstration...

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Bonjour,

Ma démonstration ci-dessus, que je reproduis ici, me semble plus courte. Inutile de faire intervenir H'.

Nicolas

(en vecteurs) HI = k.HA
donc
(en vecteurs) HI - k.HA = 0
donc H = Barycentre A,-k I,1 [là, on voit qu'il est important que k soit différent de 1]
On multiplie tous les coefficients par 2 :
H = Barycentre A,-2k I,2
Or I est le milieu de [BC], donc I = Barycentre B,1 C,1
En appliquant le théorème d'associativité des barycentres, il vient :
H = Barycentre A,-2k B,1 C,1

Posté par Clefie (invité)

oui plus courte, mais si on ne fait pas intervenir H' on peut nous demander d'où est-ce qu'on sort que H = bary de A, B, C, non ?

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Non.
Relis ma démonstration.
On part de HI = k.HA
On en déduit que H = Barycentre A,-k I,1 << pas de surprise
H = Barycentre A,-2k I,2 << normal
On remplace I,2 par B,1 C,1
Je ne vois pas où est le problème.

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

On ne "balance" pas H = Barycentre A,-2k B,1 C,1
C'est la conclusion du raisonnement.

Posté par Clefie (invité)

et bien je crois qu'on ne peut pas passer de 2 points à 3 points avec le th. d'associativité ??

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

En revanche, toi tu "balances" H' le bary de (A, -2k), (B,1), (C, 1).
C'est un peu artificiel.

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75


Ah bon ? Que dit le théorème d'associativité ?

Posté par Clefie (invité)

bon bon bon... d'accord. c'est juste que, personnellement, je sais que mon professeur prefere qu'on utilise cette "technique" avec H' car c'est comme ça qu'on a vu les exercices en classe c'est tout

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

Rappel de cours ici :
http://www.ac-grenoble.fr/lycee/LAB/jr2000/geoplan/barycentre/barycentre008.htm

L'opération marche dans les deux sens :
(i) remplacer des points par leur barycentre
(ii) remplacer un barycentre par des points

Posté par Nicolas_75 Nicolas_75

OK, je comprends.
Vous n'avez l'habitude de n'utiliser le théorème d'associativité que dans un sens.
D'où l'introduction de H'.
Si ton professeur préfère cette méthode, utilise-la, bien sûr.

Posté par Clefie (invité)

le théorème d'associativité dit (dans mon cours) :
G est le barycentre de 3 points (A, alpha), (B, beta), (C, gamma)
Supposons que alpha+beta non nul et notons H le bary de (A, alpha), (B, beta).
Alors G est le bary de (H, alpha+beta), (C, gamma)
enfin peut etre ai-je mal compris le théorème...