Maths spé arithmetique
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Maths spé arithmetique
Posté le 24-09-06 à 15:02
Posté par alpha_diese (invité)
bonjour à tous j'aurais besoin de vos lumieres sur ces trois enoncés tous independants l'un de l'autre je le précise.
1)n appartient à N. etudier les restes de la division par 7 de 2n et de 3n puis de 6n. Résoudre dans N 2x+ 3 xcongru0 (7) (cad multiple de 7).
2) Trouver sans calculette le reste de la division euclidienne de 121527 par 5.
3)On considere la suite (Un) avc n appartient a N definie par Un=(3n-1)2-2+(-2)n
a) montrer que pr tout n, Un+1+2Un est multiple de 27.
b) montrer que ts les termes de la suite sont des multiples de 27.
Voila jespere que vous pourrez maidez ou tout au moins me donner quelques pistes car la je galere totalement! merci par avance.
alpha_diese
bonjour à tous j'aurais besoin de vos lumieres sur ces trois enoncés tous independants l'un de l'autre je le précise.
1)n appartient à N. etudier les restes de la division par 7 de 2n et de 3n puis de 6n. Résoudre dans N 2x+ 3 xcongru0 (7) (cad multiple de 7).
2) Trouver sans calculette le reste de la division euclidienne de 121527 par 5.
3)On considere la suite (Un) avc n appartient a N definie par Un=(3n-1)2-2+(-2)n
a) montrer que pr tout n, Un+1+2Un est multiple de 27.
b) montrer que ts les termes de la suite sont des multiples de 27.
Voila jespere que vous pourrez maidez ou tout au moins me donner quelques pistes car la je galere totalement! merci par avance.
alpha_diese
personne pr me donner quelques pistes??? Posté le 24-09-06 à 17:26
Posté le 24-09-06 à 17:26Posté par alpha_diese (invité)
personne pr mis donner quelques pistes ou plus??? parce que la je nage tjrs....
personne pr mis donner quelques pistes ou plus??? parce que la je nage tjrs....
re : Maths spé arithmetique Posté le 24-09-06 à 17:42
Posté le 24-09-06 à 17:42Posté par 
infophile infophile
Bonjour
Déterminons le reste de la division euclidienne de
par 
.
avec 
Le reste de la division euclidienne de
par est 
.
![4$ \fbox{12\equiv 2[5]}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?4$ \fbox{12\equiv 2[5]})
d'où ![4$ \fbox{\magenta 12^{1527}\equiv 2^{1527}[5]}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?4$ \fbox{\magenta 12^{1527}\equiv 2^{1527}[5]})
car ![4$ \fbox{\forall n\in \mathbb{N}, 12^n\equiv 2^n[5]}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?4$ \fbox{\forall n\in \mathbb{N}, 12^n\equiv 2^n[5]})
Donc et 
ont le même reste dans la division euclidienne par .
![4$ \blue \fbox{2^0\equiv 1[5]\\ 2^1\equiv 2[5]\\ 2^2\equiv 4[5]\\ 2^3\equiv 3[5]\\ 2^4\equiv 1[5]}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?4$ \blue \fbox{2^0\equiv 1[5]\\ 2^1\equiv 2[5]\\ 2^2\equiv 4[5]\\ 2^3\equiv 3[5]\\ 2^4\equiv 1[5]})
donc ![4$ \red \fbox{n\equiv 0[5]\Leftright 2^n\equiv 1[5]\\ n\equiv 1[5]\Leftright 2^n\equiv 2[5]\\ n\equiv 2[5]\Leftright 2^n\equiv 4[5]\\ n\equiv 3[5]\Leftright 2^n\equiv 3[5]}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?4$ \red \fbox{n\equiv 0[5]\Leftright 2^n\equiv 1[5]\\ n\equiv 1[5]\Leftright 2^n\equiv 2[5]\\ n\equiv 2[5]\Leftright 2^n\equiv 4[5]\\ n\equiv 3[5]\Leftright 2^n\equiv 3[5]})
ainsi ![4$ \fbox{1527\equiv 2[5]}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?4$ \fbox{1527\equiv 2[5]})
donc ![4$ \fbox{2^{1527}\equiv 4[5]}](http://latex.ilemaths.net/ile_tex.cgi?4$ \fbox{2^{1527}\equiv 4[5]})
avec 
.
Donc le reste de la division euclidienne de
par est 
.
On en conclue que le reste de la division de
par est 
.
infophile infophileBonjour
Déterminons le reste de la division euclidienne de
Le reste de la division euclidienne de
Donc
Donc le reste de la division euclidienne de
On en conclue que le reste de la division de
Posté le 24-09-06 à 17:45Posté par alpha_diese (invité)
ah ok ok jai capter (jadmire votre présentation au passage!!) tout s'éclaire lol sinon jai tre piste pr le 3a car si je developpe Un+1+2un je devrais teknikement trouver 27n au carré nan? reste à reussir à developper.....
ah ok ok jai capter (jadmire votre présentation au passage!!
) tout s'éclaire lol sinon jai tre piste pr le 3a car si je developpe Un+1+2un je devrais teknikement trouver 27n au carré nan? reste à reussir à developper.....re : Maths spé arithmetique Posté le 24-09-06 à 18:00
Posté le 24-09-06 à 18:00Posté par alpha_diese (invité)
Reste encore deux exos à faire!!! 2!!! et je rame rameuhhh
:?
Reste encore deux exos à faire!!! 2!!! et je rame rameuhhh
:?.... Posté le 27-09-06 à 15:43
Posté le 27-09-06 à 15:43Posté par alpha_diese (invité)
jai aussi penser au tableau de congruences....mais bon sans grande conviction.....
jai aussi penser au tableau de congruences....mais bon sans grande conviction.....
re : Maths spé arithmetique Posté le 28-09-06 à 16:02
Posté le 28-09-06 à 16:02Posté par alpha_diese (invité)
1)n appartient à N. etudier les restes de la division par 7 de 2n et de 3n puis de 6n. Résoudre dans N 2x+ 3 xcongru0 (7) (cad multiple de 7).
---> a po trouver
1)n appartient à N. etudier les restes de la division par 7 de 2n et de 3n puis de 6n. Résoudre dans N 2x+ 3 xcongru0 (7) (cad multiple de 7).
---> a po trouver
re : Maths spé arithmetique Posté le 28-09-06 à 16:12
Posté le 28-09-06 à 16:12Posté par spmtb spmtb
bonjour
3)On considere la suite (Un) avc n appartient a N definie par Un=(3n-1)2-2+(-2)n
a) montrer que pr tout n, Un+1+2Un est multiple de 27.
as tu essayé ? il suffit de se laisser porter par les calculs
Un+1+2Un =(3(n+1)-1)²-2+(-2)^(n+1)+2*[(3n-1)²-2+(-2)^n]
=(3n+2)²-2+2*(3n-1)²-4 = ....
=27 n² multiple de 27
bons calculs
spmtb spmtbbonjour
3)On considere la suite (Un) avc n appartient a N definie par Un=(3n-1)2-2+(-2)n
a) montrer que pr tout n, Un+1+2Un est multiple de 27.
as tu essayé ? il suffit de se laisser porter par les calculs
Un+1+2Un =(3(n+1)-1)²-2+(-2)^(n+1)+2*[(3n-1)²-2+(-2)^n]
=(3n+2)²-2+2*(3n-1)²-4 = ....
=27 n² multiple de 27
bons calculs
re : Maths spé arithmetique Posté le 28-09-06 à 16:14
Posté le 28-09-06 à 16:14Posté par garnouille garnouille
n appartient à N. etudier les restes de la division par 7 de 2n
si n=0(7) alors n = 7k et 2n =14k danc 2n = 0 (7)
si n=1(1) alors n=7k+1, 2n=14k+ 2 donc 2n = 2(7)
../...
si n=6(7) alors .... 2n=5(7)
2x+3=0(7)
2x=-3(7)
2x=4(7)
le reste de la division de 2x par 7 est 4......
garnouille garnouillen appartient à N. etudier les restes de la division par 7 de 2n
si n=0(7) alors n = 7k et 2n =14k danc 2n = 0 (7)
si n=1(1) alors n=7k+1, 2n=14k+ 2 donc 2n = 2(7)
../...
si n=6(7) alors .... 2n=5(7)
2x+3=0(7)
2x=-3(7)
2x=4(7)
le reste de la division de 2x par 7 est 4......
re : Maths spé arithmetique Posté le 28-09-06 à 16:22
Posté le 28-09-06 à 16:22Posté par alpha_diese (invité)
as tu essayé ? il suffit de se laisser porter par les calculs
Un+1+2Un =(3(n+1)-1)²-2+(-2)^(n+1)+2*[(3n-1)²-2+(-2)^n]
=(3n+2)²-2+2*(3n-1)²-4 = ....
=27 n² multiple de 27
bons calculs
---< le bleme c'est que jai bien du 27n carré mais kil n'est point tout seul... etrange
as tu essayé ? il suffit de se laisser porter par les calculs
Un+1+2Un =(3(n+1)-1)²-2+(-2)^(n+1)+2*[(3n-1)²-2+(-2)^n]
=(3n+2)²-2+2*(3n-1)²-4 = ....
=27 n² multiple de 27
bons calculs
---< le bleme c'est que jai bien du 27n carré mais kil n'est point tout seul... etrange
re : Maths spé arithmetique Posté le 28-09-06 à 16:26
Posté le 28-09-06 à 16:26Posté par alpha_diese (invité)
n = 7k pourquoi 7k en faisant le tableau des congruences jai trouver une amplitude de 6.... (je sais jai du mal mais bon jessaie de capter)
n = 7k pourquoi 7k en faisant le tableau des congruences jai trouver une amplitude de 6.... (je sais jai du mal mais bon jessaie de capter)
ui mais en fait c'est 2 puissance n Posté le 28-09-06 à 17:27
Posté le 28-09-06 à 17:27Posté par alpha_diese (invité)
ui mais en fait c'est 2 puissance n diviser par 7
ui mais en fait c'est 2 puissance n diviser par 7
re : Maths spé arithmetique Posté le 28-09-06 à 17:28
Posté le 28-09-06 à 17:28Posté par garnouille garnouille
alors, je laisse tomber!... je vais pas tout refaire pour une erreur d'énoncé...
bon courage,
G.
garnouille garnouillealors, je laisse tomber!... je vais pas tout refaire pour une erreur d'énoncé...
bon courage,
G.
re : Maths spé arithmetique Posté le 28-09-06 à 18:38
Posté le 28-09-06 à 18:38Posté par alpha_diese (invité)
il ny avait point derreur dans mon enoncé initial. sinon jai capter mais le bleme c'est est ce qui faut ke je demontre le tableau des restes??? si ui comment puis je faire
il ny avait point derreur dans mon enoncé initial. sinon jai capter mais le bleme c'est est ce qui faut ke je demontre le tableau des restes??? si ui comment puis je faire
alpha-diese Posté le 28-09-06 à 19:42
Posté le 28-09-06 à 19:42Posté par aziztanda aziztanda
bonsoir
les restes de la division euclidienne de 2 puissance n par 7:
n=0 2puissance 0 =1 reste =1
n=1 2puissance 1 =2 reste =2
n=2 2puissance2 =4 reste=4
n=3 2 puissance3 =8 reste =1
donc si n=3k rest=1 en effet : 2 puissance3k= (2puissance3)puissancek
= 8puissancek
on passe aux congruences modulo7 ; 8 congru à1 modulo7
8puissancek est congru à 1 puissanck =1
donc le reste =1
si n=3k+1 2 puissance3k+1= (2puissance3k )x2 or 2puissance3k est congtru à 1 modulo7 donc reste =2 ...
j'espere que tu as compris la methode pour traiter le dernier cas n=3k+2
et tu passes aux restes de 3puissance n et 6puissance n
bon courage
aziztanda aziztandabonsoir
les restes de la division euclidienne de 2 puissance n par 7:
n=0 2puissance 0 =1 reste =1
n=1 2puissance 1 =2 reste =2
n=2 2puissance2 =4 reste=4
n=3 2 puissance3 =8 reste =1
donc si n=3k rest=1 en effet : 2 puissance3k= (2puissance3)puissancek
= 8puissancek
on passe aux congruences modulo7 ; 8 congru à1 modulo7
8puissancek est congru à 1 puissanck =1
donc le reste =1
si n=3k+1 2 puissance3k+1= (2puissance3k )x2 or 2puissance3k est congtru à 1 modulo7 donc reste =2 ...
j'espere que tu as compris la methode pour traiter le dernier cas n=3k+2
et tu passes aux restes de 3puissance n et 6puissance n
bon courage
re : Maths spé arithmetique Posté le 28-09-06 à 20:07
Posté le 28-09-06 à 20:07Posté par alpha_diese (invité)
merci beaucoup à tous pour toutes vos réponses jai enfin compris!!! mieux vaut tard que jamais comme dis lautre!!!
bon courage à tous
a tres bientot
alpha_diese
merci beaucoup à tous pour toutes vos réponses jai enfin compris!!! mieux vaut tard que jamais comme dis lautre!!!
bon courage à tous
a tres bientot
alpha_diese
alpha -diese Posté le 29-09-06 à 00:11
Posté le 29-09-06 à 00:11Posté par aziztanda aziztanda
Bonsoir alpha-diese
En ce qui concerne la dernière question :
Pour démontrer que tous les termes de la suite (u n) sont multiples de 27 , tu fais un raisonnement par récurrence :
* on vérifie pour n=0 : u0=0 , doncu0 est multiple de 27
* on suppose que un est multiple de 27 et on démontre que u n+1 est multiple de 27
or tu as démontre que :un+1 +2un =27n² et puisque par hypothèse un est multiple de 27
donc : un= = 27 x kn avec kn entier naturel dépendant de n
donc : un+1= 27n²-2x27 kn = 27(n² -2 kn ) et donc un+1 est multiple de 27
bon courage
ps : si tu n'as pas termine la premiere question , tu me le fais savoir.
aziztanda aziztandaBonsoir alpha-diese
En ce qui concerne la dernière question :
Pour démontrer que tous les termes de la suite (u n) sont multiples de 27 , tu fais un raisonnement par récurrence :
* on vérifie pour n=0 : u0=0 , doncu0 est multiple de 27
* on suppose que un est multiple de 27 et on démontre que u n+1 est multiple de 27
or tu as démontre que :un+1 +2un =27n² et puisque par hypothèse un est multiple de 27
donc : un= = 27 x kn avec kn entier naturel dépendant de n
donc : un+1= 27n²-2x27 kn = 27(n² -2 kn ) et donc un+1 est multiple de 27
bon courage
ps : si tu n'as pas termine la premiere question , tu me le fais savoir.
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