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Fonction mesurable et Borélien
Bonjour j ai un petit doute sur cet exo :
Soit f : ->
une fonction mesurable.On définit l'ensemble suivant
a)En considerant l application h : ->
montrer que est un Borélien de
Donc je pense ecrire comme un intervalle ouvert mais je n y arrive pas.
Merci de votre aide.
Bonsoir suistrop
Il est un peut-être un peu trop ambitieux d'exprimer un borélien comme un intervalle (malheureusement, ils peuvent être un peu plus compliqués que ça)
Ecris ton ensemble comme l'image réciproque (ou l'intersection d'images réciproques) de boréliens (par exemple un intervalle) par des fonctions mesurables.
Kaiser
Deja je vois pas trop pourquoi on considere l application h(x,y) :/
et f(x)-y ce n est pas un borélien.
Pour moi un borélien c est en gros une union d intervalle.et ca peut etre engendré par des ouverts.
J ai beaucoup de mal sur ce cours j ai beau relir les exo corriger le cours ..... des qu un nouveau pbl apparait je suis bloqué je sais pas par quel bout le prendre.
Ici c est le meme probleme :/
J arrive pas a débuter car je sais pas trop ou je dois aboutir.
Justement, un borélien peut-être vu comme une réunion d'intervalle même si ce n'est pas tout à fait vrai (ils peuvent être un peu plus bizarre que ça).
On va commencer par le commencement : comprends-tu la définition de "fonction mesurable" ?
Kaiser
Fonction mesurable c est une fonction "normal" sauf que l ensemble de départ et d arrivé ont des tribu associé.
j ai la définition sous les yeux en gros ca veut dire ca nan?
Bon c est pas exactement ce que j ai mis en faite faut voir ca a "l envers" d une fonction je crois tout élément de l ensemble d arrivé se trouve dans l ensemble de départ pas la fonction réciproque.
Donc avec les fct mesurale faut tjs voir la fct réciproque??
C'est un peu plus précis que ça.
Voici la définition que j'en ai :
Soient et
deux espaces mesurables (c'est-à-dire des ensembles munis d'une tribu) et soit f une fonction qui va de E dans F.
On dit alors que f est mesurable (par rapport aux tribus et
) si pour tout A appartenant à
,
est dans
.
Kaiser
OK !
Ainsi, pour montrer que T est mesurable, il suffit donc de montrer qu'il obtenu comme images réciproques d'ensembles mesurables par des fonctions mesurables.
Est-ce que c'est OK !
Kaiser
J'hallucine comment je comprend rien ......
ca serait pas :
soit donc
on a alors
??
ca m enerve je voie rien !!!
Salut,
Kaiser étant deconnecté je me permets de répondre à sa place 
0<= f(x)-y = h(x,y) signifie h(x,y)
R+ soit (x,y) h^(-1) (R+), ok?
Tigweg
ha ouai pas mal.
ca c est beau, j'étais pas loin...enfin si pas mal loin
mais ca veut pas dire que (x,y) R+ ??
Comment utiliser ce que tu viens de trouver pour la suite??
car la on parle de h(x,y)
on va metre T ={x,y € R |tel que h(x,y) € R+}???
apres on prend ??
je me perd un peu je crois la :/
Merci de Ton aide Tigweg...
Lol,effectivement tu m'as l'air un peu embrouillé! 
Tu confonds image et antécédent, sur ce coup.
(x,y) est dans R², puisque c'est un couple!
Ta fonction h va de R² dans R vu que f va de R dans R et que tu retranches le réel y au résultat.
Donc tu prends l'image pa h d'un COUPLE mais tu récupères le REEL h(x,y) comme image de ce couple.
A présent h^(-1) (R+), c'est tous les éléments de l'ensemble de départ, autrement dit tous les COUPLES (x,y) tels que leur image h(x,y) soit dans R+ (on impose donc une condition sur l'image).
Donc oui, la fin de ton post est juste, T est bien égal à ce que tu écris.
Après tu utilises mon post précédent pour en déduire:
T= {(x,y)R², (x,y)h^(-1) (R+)}, soit plus simplement:
T=h^(-1) (R+).
(Je détaille à fond exprès, pour te désembrouiller! 
)
C'est MAINTENANT que tu utilises que f est mesurable, car alors h l'est aussi
(vu que y->y est mesurable et que h est la différence de f et de cette fonction).
T est l'image réciproque par h du borélien (de R) R+, DONC T est lui-même mesurable dans R² munin de la tribu borélienne usuelle.
Autrement dit, T est un borélien (donc grosso modo, un ensemble de plein de points qu'on peut construire par reunion quelconque et intersection dénombrables de pavés ouverts du plan)
Ca va mieux??
Tigweg
dsl pour mon msg je l ai ecrit pdt que tu envoyé ton long msg.
Oui ca va un peu mieux mille merci je vais relire plusieur fois ton post pour bien voir ce qui me manquait dans mon raisonnement.
Et il y a une question b qui je suis sur va me poser des pbl donc je risque de revenir d ici 1 jour le tps que je comprenne ce que je comprend pas ^^
Encore Mille Merci pour le temps pris à m aider.
Mais je t'en prie!!
Heureux de t'avoir (provisoirement? ) désembrumé!
Bon courage et bone soirée, moi j'vais dormir!
Tigweg
J'ai un peu de mal ici :/
T=h^(-1) (R+)
h mesurable OK
T est l'image réciproque par h du borélien (de R) R+ OK
"DONC T est lui-même mesurable dans R²" je Bloque pourquoi on a le droit de revenir dans R² et pourquoi l image réciproque d une fonction mesurable est une fonction mesurable.
Je crois que j ai ecrit une enorme bétise a la fin... mais ca va mieux en le disant !!
Encore deux précisions, quand je dis :
1) "T est l'image réciproque par h du borélien (de R) R+, DONC T est lui-même mesurable dans R² munin de la tribu borélienne usuelle."
h est mesurable, c'est pour ca que ce que j'ai ecrit marche!
Et c'est là tout l'intérêt des fonctions mesurables, l'image reciproque 'un mesurable de lensemble d'arrivée est un mesurable del'ensemble de depart!
2)"(donc grosso modo, un ensemble de plein de points qu'on peut construire par reunion quelconque et intersection dénombrables de pavés ouverts du plan)"
J'oublie de parler du pasage au complémentaire bien sûr, ce qui équivaut à dire que tes pavés de départ peuvent ausi être fermés (mais quand ils se reproduisent par ces operations, leurs descendants peuvent rapidement n'êtreni ouverts ni fermés hein!Neme fais pas dire ce que je n'ai pas dit! )
Tigweg
Mort de rire!
Je reprends:
l'image réciproque PAR une fonction mesurable d'un ENSEMBLE mesurable est un ENSEMBLE (et pa une fct!!) mesurable.
Donc si tu es d'accord sur le fait que h est mesurable, tu obtiens que T est un ENSEMBLE mesurable dans R², et c'est justement ca qu'ilo fallait demontrer.
Maintenant pourquoi h est-ellemesurable?
Ben c'est un peu comme lesfonctions continues, quand tu les soustrais, les composes, etc.. le resultat reste continu!
Ici f est mesurable, et y->y aussi, donc l'application qui à (x,y) associe f(x) - y (autrement dit l'application h!) est encore mesurable, c'est du cours, tu peux l'utiliser.
OK?
Salut Tigweg
Je ne voudrai pas embrouiller plus les choses mais on n'a pas exactement mais plutôt
.
Cela dit, ça ne pose pas de gros problème quant à la mesurabilité de cet ensemble.
Kaiser
En fait pour être rigoureux il faudrait intrroduire les projections p1 et p2 de R² dans R respectivement définies par:
p1(x,y) = x et p2(x,y) = y.
p1 et p2 sont continues donc mesurables.
De plus pour tout (x,y) de R² on a :
h(x,y) = f(x) - y = f(p1(x,y)) - p2(x,y) =(f o p1)(x,y) -p2(x,y)
qui est la difference de la composée de deux fct mesurables avec une fonction mesurable (puisque p2 est continue).
Ainsi h est mesurable.
Maintenant, c'est du béton!
Salut Kaiser,
tout-à-fait! 
J'avais oublié e lire l'énoncé, je crois bien!!!
Ainsi on a plutôt :
T=h^(-1)(R+) 
p2^(-1) (R+)
qui est une intersection d'ensembles mesurables
Allez, bonne nuit à vous deux!
Tigweg
:'( :'( :'( :'( :'( :'(
moi qui voyait le bout du tunel....
c est pas humain des maths comme ca!!!!!
aller je vais essayer de comprendre....jme suhaite bonne chance
Merci a vous 2 et bonne nuit à qui va rejoindre Morphée.
heu l intersection c est juste a cause de 0 < y < f(x) donc 0 < y ET y < f(x) ???
Oui !
Kaiser
A la bonne heure, suistrop, je te sens plus réveillé, aujourd'hui!
T'as rêvé de boréliens cette nuit?
Fini la rigolade voila la question b) ^^
je l'ecris et vous fais part de mes impressions ^^
b)
Pour tout , l'ensemble
est un borélien de . On note
sa mesure borélienne.Montrer que l'application F ainsi définie est décroissante et mesurable sur
.
Mes Impressions :
--Quand on dit on note F(y) sa mesure borélienne et apres on demande si F est mesurable cela n est pas la meme chose???
--Ensuite je me demande si j ai le droit d'ecrire
et donc comme F(y) va de Ry dans R on a nan?? et Ry se retrouve dans
donc F est bien mesurable dans
car F est une mesure (ici borélienne).
--Je ne vois pas du tout comment je vais mettre en évidence la "décroissance de l'application". Dois je prendre 2 ensemble l un inclu dans l autre et démontrer que la mesure du premier est superieur a celle du second ??? Si c est le cas je ne vois pas comment choisir ces ensemble ni calculer cette mesure le fait qu on est 2 variable x et y me pose grand pbl.
Merci d'avance
Salut suistrop, tu penses trop à ta bohémienne, du coup y a les boréliens qui sont jaloux et qui ont répandu pour se venger une intersection dénombrable de sacs de poudre de perlimpimpin entre toi et ta compréhension
Mais donne-moi la main, que je te lise l'avenir
Alors d'abord pour tout y fixé, Ry est égal à f^(-1) ([y;+infini[), ce qui est l'image réciproque d'un borélien de R par une fonction borélienne.
Donc Ry est lui-mm borélien.
Ca c'est vrai pour tout y fixé.Tout ensemble borélien a une mesure borélienne, et on appelle F(y) celle de Ry.
Pour l'instant on n'a pas fait varier y, donc F(y) est un nombre, pas une foncion!
On n'a donc pas encore prouvé que F etait mesurable(ou borélienne, c'est synonyme dans R^n)!
Que signifie que f est décroissante?
Eh bien que si x>y, on a mu(Rx)>mu(Ry)!
OR pour avoir ceci, il suffirait que Rx soit plus gros que Ry!
Que proposes-tu? ^^
Par contre la mesurabilité de F me laisse plus perplexe, je dois encore y réfléchir, je ne vois pas l'argument pour l'instant .
Tigweg
pardon j'ai évidemment interverti les symboles > et <, il faut bien sûr montrer que Ry est plus gros que Rx si x>y
Si c est une intersection dénombrable y aucun probleme je n ai qu a les compter
Malheuresement ma Bohémienne n'était pas la cette nuit ^^ ou je n ai aucun souvenir!!!
1)jvien de comprendre pourquoi Ry est égal à f^(-1) ([y;+infini[) grâce a toi ^^
2)"Que signifie que f est décroissante? Eh bien que si x>y, on a mu(Rx)>mu(Ry)!"
mais x est y sont des réels ou des ensemble Rx et Ry ???
car c est F qui doit etre décroissante et non f.
3)"Que proposes-tu? ^^"
je propose prendre x < y donc Ry inclus dans Rx.
donc pour x < y on a F(y) < F(x) car Ry inclus dans Rx c est ca jviens de répondre a la question juste en écrivant je ne peux pas y croire j attend confirmation ???
Lol grossière erreur mon cher, dénombrable ne signifie pas qu'on peut compter (à moins que l'éternité ne t'effraye pas 
), mais que c'est en bijection avec N!
1) Cool! ^^
2)Tout-à-fait, je parlais de F, désolé!
3)Si tu as démontré préalablement que Ry est inclus dans Rx pour x
Tigweg
L'éternité ne me fais aucunement peur je vis avec chaque seconde
3)quitte a dire une bétise de plus ^^
Rx=f^(-1) ([x;+infini[)
Ry=f^(-1) ([y;+infini[)
comme x<y on a [y;+infini[ inclus dans [x;+infini[ donc ( c est le donc de la bétise je pense ) Ry inclus dans Rx.il dois bien y avoir une propriété sur les fonctions "réciproque" mesurables nan?
F mesurable??? je ne vois pas trop la :/
PAs de problème, il n'y a aucune bêtise
On a toujours A inclus dans B implique f^(-1) (A) inclus dans f^(-1) de B, c'est trivial (si x eszt tel que f(x) est dans A, alors on a aussi f(x) dans B puisqu'il est plus gros!)
Par contre pour F mesurable, je ne trouve pas 
Pour la mesure de F,
On a F(y) mesure de y.
et comme F est une mesure on sais que F > 0.
Ici F va donc de R+,B(R+) -> R+,B(R+)
On a bien pour tout [y;+inf[ cad dans B(R+) nan??
Dans mon cours j ai ceci:
Proposition:
soit f : (X,A) -> (Y,B)
Soit M un ensemble de partie de Y tel que B = ( tribu engendré par M )
Pour que f soit mesurable il suffit que :
Bonsoir à tous
Le fait que F soit décroissante implique automatiquement que F est mesurable.
En effet, plus généralement, toute fonction monotone est mesurable car l'image réciproque d'un intervalle par une fonction monotone est un intervalle.
Kaiser
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