G un pitit probleme en GEOMETRIE (dur sur meme pour les pros)

Posté par Doc (invité)

Salut à tous merci d'avance de refléchir à mon problème
ENONCÉ:
ABC est un triangle équilatéral, D est un point du petit arc BC (ché
pa comment mettre un arc avec un clavier), E est un point du segment
[AD] tel que DE=DC, et la droite (EC) coupe le cercle en F. Je suis
sûr de rien avoir oublié dans l'énoncé.

1° a) Précisez la nature du triangle DEC
b) Montrer que FA=FE
2°a)Montrer que le quadrilatère EFBD est un parallèlogramme
b)En déduire que DA = DB + DC.

MERCI si vous trouvez (c'est pour 2main le 30/03/04)

Posté par Doc B (invité)

AIDEZ moi c pour 2 main

Posté par J-P J-P

1°
a)

angle(CDA) = angle(CBA) car ces angles sous-tendent la même corde CA du cercle
et leurs sommets sont sur le cercle du même coté de la corde.
Comme angle(CBA) = 60° puisque le triangle ABC est éqilatéral, on a:
angle(CDA) = 60°

Or angle(CDA) = angle(CDE) (voir sur le dessin) ->
angle(CDE) = 60° (1)

Le triangle CDE est isocèle en D puisque DC = DE par hypothèse.
-> angle(DCE) = angle(DEC) (2)

La somme des angles d'un triangle = 180° -> dans le triangle DCE:
angle(DCE) + angle(DEC) + angle(CDE) = 180°

avec (1) et (2) ->
2.angle(DEC) + 60° = 180°
angle(DEC) = 60° (3)

(1), (2) et (3) ->
angle(DCE) = angle(DEC) = angle(CDE) = 60°
Et donc le triangle DEC est équilatéral
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b)
angle(AEF) = angle(CED) (opposés par le sommet)
-> angle(AEF) = 60° (4)

angle(AFC) = angle(ABC) car ces angles sous-tendent la même corde AC du cercle
et leurs sommets sont sur le cercle du même coté de la corde.
comme angle(ABC) = 60°puisque le triangle ABC est équilatéral ->
angle(AFC) = 60°

angle(AFC) = angle(AFE) (voir dessin) ->
angle(AFE) = 60° (5)

(4) et (5) -> le triangle AEF est équilatéral.
-> FA = FE
-----
2)
a)

angle(CFB) = angle(CAB) car ces angles sous-tendent la même corde CB du cercle
et leurs sommets sont sur le cercle du même coté de la corde.
et comme angle(CAB) = 60° (puisque de triangle ABC est équilatéral.)
-> angle(CFB) = 60°

on a déjà montré que angle(CED) = 60° (puisque triangle CED équilatéral).

-> les angles (CED et CFB) sont égaux et comme ils ont un coté en commun,
leurs autres cotés sont //.
-> FB est // à ED (6)

On a pareillement angle(AEF) = angle(ADB) et comme ils ont un coté en
commun, leurs autres cotés sont //.
-> DB//EF (7)

(6) et (7) -> le quadrilatère EFBD est un parallélogramme
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b)
Le quadrilatère EFBD est un parallélogramme ->
FB = ED (8)
et DB = EF (9)

On a montré que le triangle AEF est équilatéral -> AE = EF (10)

(9) et (10) -> DB = AE (11)

On a montré que le triangle DCE est équilatéral -> DC = DE (12)

Or on a: DA = AE + ED
-> avec (11) et (12), il vient:
DA = DB + DC
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Sauf distraction.