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Que de un
Re bonjour tt le monde
Je suis lancé dans l'arithmétique car j'ai bientôt un contrôle et je révise
Pouvez vous me dire si ce que j'ai fait est juste et m'aider pour ce que je n'ai pas fait
1) Vérifier que 111 est divisible par 3
111= 3*37+0
2) n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 3.
u(n) est le nbre dt l'écriture décimale est constituée uniquement de 1
u(n)=111.....1111 (n chiffres 1)
a) Démontrer que u(n)= (10^(n)-1)/9
Quand n sup ou égal à 3:
10^(n) # 1 mod (9) # veut dire congru
Quand on soustrait 1 à 10^(n), le reste devient 0
Donc 10^(n)-1 # 0 mod (9)
Alors u(n)= (10^(n)-1/9)
b) Vérifier que pr ts réels a et b:
a^(3)-b^(3) = (a-b)(a^2+ab+b^2)
Il suffit de développer et on retrouve ce qui précède
c)Démontrer que 10^(3n)-1 est divisible par 10^(n)-1
10^(3n)-1 = [(10^(n)]^3-1
= [ 10^(n)-1] [(10^(n))^2+10^(n)+1^(2)]
(10^(n))^2+10^(n)+1 appartient à N
Dc 10^(n)-1 divise 10^(3n)-1
d) En déduire que l'entier naturel u(3n) est divisible par l'entier naturel u(n)
Là je bloque
e) Démontrer que 10^(n) # 1 mod(3)
On a vu précédemment que 10^(n) # 1 mod (9)
Or 3 divise 9 dc 10^(n) # 1 mod (3)
En déduire que 10^(2n)+10^(n)+1
10^(2n) # 1 mod (3)
10^(n) # 1 mod (3)
dc 10^(2n)+10^(n) # 2 mod (3)
dc 10^(2n)+10^(n)+1 # 3 mod (3)
dc 10^(2n)+10^(n)+1 # 0 mod (3)
Alors 10^(2n)+10^(n)+1 est divisible par 3
f) Démontrer que u(3n) est divisible par 3u(n)
Je bloque
3) Démontrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels dont l'écriture décimale est constituée exactement de n chiffres 1 et qui sont divisibles par n
Je bloque également
Un grd merci d'avance pour l'aide
d) U(3n) = (10^(3n)-1)/9
U(n)= (10^(n)-1)/9
or 10^(3n)-1 est divisible par 10^(n)-1 donc 10^(3n)-1 =k*(10^(n)-1)
U(3n) = (10^(3n)-1)/9 = k*(10^(n)-1)/9 = k*U(n)
f)d'après c) ..
10^(3n)-1 = [(10^(n)]^3-1
= [ 10^(n)-1] [(10^(n))^2+10^(n)+1]
U(3n) = U(n)[(10^(n))^2+10^(n)+1] et d'après e) ...
3) {U(3^n) , n€ N* } est un ensemble infini d'entiers naturels dont l'écriture ont l'écriture décimale est constituée exactement de p chiffres 1 et qui sont divisibles par p
en effet :
P(n) <=> U(3^n) divisible par 3^n
P(1) ?? U(3) est div par 3 => OK
supposons P(n)
U(3^(n+1)) = U(3*(3^n)) divisible par 3U(3^n) dixit f) or U(3^n) divisible par 3^n ainsi U(3^(n+1)) est bien div par 3^(n+1) voila qui assure P(n+1)
bonne chance pour ton contrôle 
!
Je ne comprends vraiment pas la réponse à la question 3 que vous m'avez formulée
Pouvez-vous m'éclaircir un peu ce mystère.
Merci d'avance
le but était de démontrer qu'il existe une infinité de nombre s'écrivant avec (un certain nombre) de 1 ET divisible par ce (certain nombre)
et si on prend la suite U(n)= (10^(n)-1)/9 et que l'on considère l'ensemble E = { U(3^n) , n€ N* } = { U(3),U(9),U(27),...}
E est un ensemble infini et tous les éléments de cet ensemble respecte la propriété voulue (ce que j'ai démontré par récurrence en dessous)
U(3) = 111 et est divisible par 3
U(9) = 111111111 et est divisible par 9
...
Bonsoir,
Je suis tombé sur ce post parce que je fais le même exercice en ce moment mais le problème c'est qu'en cours on a toujours pas vu les: # mod () :S
Je vous avoue que j'ai un peu de mal à comprendre ces congrus modulo ^^' et j'ai du mal a voir comment l'on démontre que u(n)=(10^(n)-1)/9
De plus, notre professeur nous a remplacé le 2. e) (étant donné qu'on n'a pas encore vu cette parti du chapitre)
- Montrer que 10^(n)-1 est divisible par 3
Merci d'avance pour votre aide 
8 ans après la création du topic, les exercices donnés par les profs et sur les manuels restent les mêmes et les réponses données aident encore xD
Merci à vous même si ce message ne sera sans doute jamais lu par la personne qui a créer le topic ou ceux qui y ont répondu ...
Il faudrait qu'ils sachent qu'ils ont aidé plusieures générations d'élèves après la leur 
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