fonction injective sur les irrationnels

Posté par ginmagnum (invité)

Soit f une application continue de R dans R. Prouver que si la restriction de f à R/Q est injective, alors f est injective. Montrer qu'en revanche, si l'on suppose f injective sur Q, il n'est pas toujours vrai que f est injective. Si quelqu'un peut m'aiguiller...

Posté par ginmagnum (invité)

juste pour faire remonter le topic en tête de gondole

Posté par Camélia Camélia

Bonjour
1) On suppose f continue et injective sur les irrationnels.
Début de raisonnement par l'absurde: supposons qu'il existe a < b tels que f(a)=f(b). L'hypothèse empêche f d'être constante sur [a,b]. Soit c tel que a < c < b et f(c) f(a).
Chaque y compris entre f(a) et f(c), à cause du théorème des valeurs intermédiaires possède un antécédent dans ]a,c[ et un antédédent dans ]c,b[. L'hypothèse impose que l'un au moins de ceux-ci soit rationnel; je l'appelle g(y) et on a donc f(g(y))=y. Je viens de construire une fonction injective g définie sur un intervalle et à valeurs rationnelles. Impossible, car Q est dénombrable!

2) Il suffit d'avoir des contrexemples. Je vais en donner de deux espèces:
a) Soit r réel et f définie par f(x)=x²-2rx. cette f est continue, non injective. Si on a f(x)=f(x'), on a aussi x+x'=r. Si on choisit r irrationnel, x et x' ne peuvent pas être rationnels tous les deux, donc la restriction de f à Q est injective!

b) La fonction sinus est continue, non injective. On voit facilement que si sin x=sin x' avec x et x' rationnels, alors est rationnel! cet exmple est plus spectaculaire, mais "admet" l'irrationnalité de .

PS: J'ai trouvé excellent cet exo (que je ne connaissais pas). Avec un énoncé facile et une preuve abordable, on touche &aux propriétés fondamentales de R. Enfin, alors que nous avons l'idée plus ou moins consciente qu'à coup de continuité et densité on peut "prolonger", voilà: pas l'injectivité!

Posté par Cauchy Cauchy

Bonjour,

jolis tes exemples Camelia

Posté par Camélia Camélia

Merci cauchy.Etonnant, non?

Posté par Cauchy Cauchy

Oui c'est assez surprenant comme cela mais bon ca vient du fait qu'il y a beaucoup plus d'irrationnels que de rationnels.

D'ailleurs si tu remplaces R\Q et Q par l'ensemble des nombres transcendants et algebriques ca marche encore non?

Posté par jeanseb jeanseb

Tout-à fait superbe, Camélia. A déguster et à reservir plus tard!

Posté par jeanseb jeanseb



Ce n'est pas plutôt x+x'= 2r ? Ce qui ne change rien, d'ailleurs.

Posté par ginmagnum (invité)

Merci. C'est marrant qu'il y'ait autant de contre-exemples possibles. Je ne pensais pas en trouver parmi des fonctions aussi courantes.

Posté par Camélia Camélia

Bonjour
Pour jeanseb: bien sûr, la somme est 2r!
Pour cauchy: oui, pour les transcendants et les algébriques ça marche, toujours parceque les algébriques sont dénombrables. Et le contrexemple avec la parabole marche toujours (en prenant r transcendant)!

Posté par Cauchy Cauchy

Bonjour,

Avec le sinus aussi ca marche toujours dans ce cas vu que pi est transcendant.

Posté par Camélia Camélia

Super! je n'y avais pas pensé! ça nous a ouvert des horizons n'est-ce pas?

Posté par Cauchy Cauchy

Oui tres sympa cet exercice j'avais jamais rencontré ce probleme.

Et  si on prend n'importe quel  ensemble denombrable de R on peut toujours trouver un contre-exemple?

Posté par Camélia Camélia

Bonjour

Cet exercice est mon préféré de l' Alors je le fais remonter au bénéfice des nouvelles générations, tout en m'excusant auprès des "anciens" qui l'ont déjà vu!

Posté par Cauchy Cauchy

T'as pas à t'excuser, il fait aussi partie de mes préférés et c'est une très bonne idée de le remonter

Posté par Camélia Camélia

... et apparemment ça fait aussi revenir les "anciens"! Tu vas bien, Cauchy?

Posté par Tigweg Tigweg

Bonjour,

ah oui très joli, Camélia!

Je ne connaissais pas non plus!

Posté par MatheuxMatou MatheuxMatou

Bonjour,

Effectivement, je me joins aux compliments pour Camélia...

J'ajouterais que pour l'exemple avec le sinus, si on ne veut pas utiliser l'irrationalité de pi (pas évidente à démontrer), on peut utiliser celle de 2 (plus simple à établir) en considérant la fonction sin(x2)

MM

Posté par Cauchy Cauchy

Oui très bien et toi? Je dois commencer mon stage de M2 en ce moment

Posté par Camélia Camélia

Eh bien, j'ai eu raison de le remonter! Je recommencerai dans un an!