Partie A - Résolution d'une équation différentielle
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1- Solution de
L'équation différentielle étant de premier ordre, sa solution générale s'écrit sous la forme où est un réel quelconque et une primitive de la fonction , d'où:
et donc:
2-
Dérivée de :
Pour montrer que est solution de l'équation , il faut montrer qu'elle vérifie:
Calculons :
Donc :
3- Ensemble des solutions de
La solution générale de qu'on note est donnée par la somme de la solution de avec la solution particulière de , soit , elle est donc définie par:
4- solution de et condition initiale :
solution de , donc s'écrit sous la forme
Donc :
Partie B - Etude d'une fonction
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1- Limite de en
On a :
Donc :
2- Asymptote de en
Explication (non demandée) :
On a :
La droite d'équation est asymptote à la courbe en .
3-a)- Développement limité de la fonction à l'ordre 2 au voisinage de 0
La fonction exponentielle admet pour développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 :
Puisque , donc le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 pour la fonction est :
3-b)- Equation de la tangente à la courbe au point d'abscisse
Explication (non demandée) :
Méthode rapide: Une équation de la tangente à la courbe de la fonction au point d'abscisse est donnée par la partie affine du développement limité de la fonction, l'équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse est donc:
Méthode classique: Cette méthode classique est présentée à titre indicatif, le ou la candidat(e) est censé être familier avec la méthode rapide:
On a : La fonction est dérivable sur comme somme et produit de fonction dérivables sur , et on a :
L'équation de la tangente à la courbe de au point d'abscisse est donnée par :
En , on a donc l'équation de tangente suivante :
3-c)- Position de la courbe par rapport à la tangente au voisinage de
Explication (non demandée) :
L'équation de la tangente est , on étudie donc le signe de au voisinage de 0 :
Au voisinage de , on a vu que :
Donc au voisinage de , on a :
est du même signe que au voisinage de , donc positif.
Au voisinage de , est donc au-dessus de .
Partie C - Calcul intégral
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1-
2-
En intégrant par parties :
On pose : , on a :
et : , on a :
3-a- Valeur exacte de
3-b- Valeur de arrondie à
3-c-
Représentation graphique (non demandée) :
EXERCICE 2
Partie A - Loi binomiale et loi de Poisson
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1-a- suit une loi binomiale
Chaque prélèvement est constitué de 30 bouteilles prélevées au hasard, ces épreuves sont indépendantes car le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise, le résultat pour chacune d'elles est:
Soit un "succès", c'est l'événement de probabilité supposée Soit un "échec" de probabilité
La variable , qui à tout prélèvement de 30 bouteilles au hasard mesure le nombre de celles non conformes est telle que (mesure le succès):
1-b-
Rappel:
On a donc :
2-a- On considère que la loi peut-être approchée par une loi de Poisson, son paramètre est donc:
2-b- suit une loi de Poisson de paramètre
Rappel:
Donc :
Partie B - Loi normale
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suit la loi normale de moyenne et d'écart-type .
1-
suit une loi normale , soit .
Alors suit une loi normale centrée réduite et nous avons :
tel que
Donc
De ce fait :
La table de la loi normale centrée réduite indique :
Donc :
2- Détermination de
Par lecture inverse de la table de la loi normale centrée réduite, nous obtenons :
Partie C - Intervalle de confiance
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1- On a :
Pour l'échantillon prélevé, la moyenne obtenue est de , on a donc :
L'intervalle de confiance est donné par :
Nous avons un coefficient de confiance tel que :
Par lecture inverse de la table de la loi normale centrée réduite, nous obtenons :
Donc :
2- La réponse est :
Explication (non demandé) :
Dans 95% des cas, la moyenne obtenue sera incluse dans l'intervalle de confiance, et dans 5% des cas, elle ne le sera pas.
Publié par malou
le
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:y'-y=\text{e}^x-2x)
:y'-y=0)
s'écrit sous la forme =ke^{-\lambda(x)})
où 
est un réel quelconque et 
une primitive de la fonction 
, d'où:
et donc:
\text{ est définie par: }y_0(x)=k\text{e}^x \text{ avec } k\in\mathbb{R} }})
=x\text{e}^x+2x+2)
:
=1\times\text{e}^x+x\text{e}^x+2\times 1+0=x\text{e}^x+\text{e}^x+2)
)
, il faut montrer qu'elle vérifie: -g(x)=\text{e}^x-2x)
-g(x))
:
-g(x)=\text{e}^x+x\text{e}^x+2-\left(x\text{e}^x+2x+2 \right) =\text{e}^x+\cancel{x\text{e}^x}+\cancel{2}-\cancel{x\text{e}^x}-2x-\cancel{2}=\text{e}^x-2x)
 }})
est donnée par la somme de la solution de )
avec la solution particulière de 
, elle est donc définie par:
=y_0(x)+g(x)=k\text{e}^x+x\text{e}^x+2x+2=(x+k)\text{e}^x+2x+2)
\text{ sont les fonctions de la forme }y(x)=(x+k)\text{e}^x+2x+2\text{ avec } k\in\mathbb{R}.}})
solution de =3)
=(x+k)\text{e}^x+2x+2\text{ avec } k\in\mathbb{R})
=3\Longleftrightarrow (0+k)\text{e}^0+2\times 0+2\times 1=3\Longleftrightarrow k+2=3\Longleftrightarrow k=1)
=(x+1)\text{e}^x+2x+2)
 vérfiant } f(0)=3 \text{ est définie sur } \mathbb{R} \text{ par: } f(x)=(x+1)\text{e}^x+2x+2 }})
![\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\to +\infty}{\lim}\left[(x+1)\text{e}^x+2x+2 \right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\underset{x\to +\infty}{\lim}f(x)=\underset{x\to +\infty}{\lim}\left[(x+1)\text{e}^x+2x+2 \right])
=+\infty \\ \underset{x\to +\infty}{\lim}\text{e}^x=+\infty\\\underset{x\to +\infty}{\lim}2x=+\infty \end{array})
=+\infty }})
en 
![\underset{x\to -\infty}{\lim}\left[f(x)-(2x+2) \right]=\underset{x\to -\infty}{\lim}\left[(x+1)\text{e}^x+\cancel{2x}+\cancel{2}-\cancel{2x}-\cancel{2} \right]=\underset{x\to -\infty}{\lim}(x+1)\text{e}^x=\underset{x\to -\infty}{\lim}\underbrace{x\text{e}^x}_{\to 0}+\underbrace{\text{e}^x}_{\to 0}=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\underset{x\to -\infty}{\lim}\left[f(x)-(2x+2) \right]=\underset{x\to -\infty}{\lim}\left[(x+1)\text{e}^x+\cancel{2x}+\cancel{2}-\cancel{2x}-\cancel{2} \right]=\underset{x\to -\infty}{\lim}(x+1)\text{e}^x=\underset{x\to -\infty}{\lim}\underbrace{x\text{e}^x}_{\to 0}+\underbrace{\text{e}^x}_{\to 0}=0)
est asymptote à la courbe 
admet pour développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 : \text{ avec }\underset{x\to 0}{\lim}\epsilon(x)=0)
 &= (x+1)(1+x+\dfrac{1}{2}x^2+x^2\epsilon(x))+2x+2\text{ avec }\underset{x\to 0}{\lim}\epsilon(x)=0 \\ &=x+x^2+1+x+\dfrac{1}{2}x^2+2x+2+x^2\epsilon(x) \\ &=\dfrac{3}{2}x^2+4x+3+x^2\epsilon(x) \\\end{array} )
=\dfrac{3}{2}x^2+4x+3+x^2\epsilon(x)\text{ avec }\underset{x\to 0}{\lim}\epsilon(x)=0 } }})
à la courbe 
=x\text{e}^x+2x+\text{e}^x+2)
comme somme et produit de fonction dérivables sur =\text{e}^x+x\text{e}^x+2+\text{e}^x=\text{e}^x(x+2)+2)
est donnée par :
f'(x_0)+f(x_0))
, on a donc l'équation de tangente suivante : ![y=(x-0)f'(0)+f(0)\Longleftrightarrow y=(x-0)\left[ \text{e}^0(0+2)+2\right]+\left[ 0\text{e}^0+2\times 0+\text{e}^0+2\right]\Longleftrightarrow y=4x+3](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?y=(x-0)f'(0)+f(0)\Longleftrightarrow y=(x-0)\left[ \text{e}^0(0+2)+2\right]+\left[ 0\text{e}^0+2\times 0+\text{e}^0+2\right]\Longleftrightarrow y=4x+3)
![\delta(x)=[f(x)-(4x+3)]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\delta(x)=[f(x)-(4x+3)])
au voisinage de 0 :
=3+4x+\dfrac{3}{2}x^2+x^2\epsilon(x)\text{ avec }\underset{x\to 0}{\lim}\epsilon(x)=0 )
![\delta(x)=[f(x)-(4x+3)]=\cancel{3}+\cancel{4x}+\dfrac{3}{2}x^2-\cancel{4x}-\cancel{3}+x^2\epsilon(x) =\dfrac{3}{2}x^2+x^2\epsilon(x)\text{ avec }\underset{x\to 0}{\lim}\epsilon(x)=0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\delta(x)=[f(x)-(4x+3)]=\cancel{3}+\cancel{4x}+\dfrac{3}{2}x^2-\cancel{4x}-\cancel{3}+x^2\epsilon(x) =\dfrac{3}{2}x^2+x^2\epsilon(x)\text{ avec }\underset{x\to 0}{\lim}\epsilon(x)=0)
)
est du même signe que 
au voisinage de \text{d}x)
![\displaystyle I=\int_{-1}^{1}\left(2x+2 \right)\text{d}x =\left[x^2+2x \right]_{-1}^{1}=1^2+2\times 1-(-1)^2-\left[2\times(-1) \right]=\cancel{1}+2-\cancel{1}+2=4](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle I=\int_{-1}^{1}\left(2x+2 \right)\text{d}x =\left[x^2+2x \right]_{-1}^{1}=1^2+2\times 1-(-1)^2-\left[2\times(-1) \right]=\cancel{1}+2-\cancel{1}+2=4)
\text{e}^x\text{d}x)
=x+1)
, on a : =1)
=\text{e}^x)
, on a : =\text{e}^x)
![\displaystyle\begin{array}{cl} \\ \\ \\J &= \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(x+1 \right)\text{e}^x\text{d}x \\ &=\displaystyle\int_{-1}^{1}u(x)v'(x)\text{d}x \\ &=\displaystyle\left[u(x)\times v(x) \right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}\left[ u'(x)\times v(x)\right]\text{d}x \\ &=\displaystyle\left[(x+1)\text{e}^x \right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}\left( 1\times \text{e}^x\right)\text{d}x \\ &=\displaystyle 2\text{e}^1-0-\left[\text{e}^x \right]_{-1}^{1} \\ &=\displaystyle 2\text{e}-\text{e}^1+\text{e}^{-1} \\ &=\displaystyle\text{e}+\text{e}^{-1} \\\end{array}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\displaystyle\begin{array}{cl} \\ \\ \\J &= \displaystyle\int_{-1}^{1}\left(x+1 \right)\text{e}^x\text{d}x \\ &=\displaystyle\int_{-1}^{1}u(x)v'(x)\text{d}x \\ &=\displaystyle\left[u(x)\times v(x) \right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}\left[ u'(x)\times v(x)\right]\text{d}x \\ &=\displaystyle\left[(x+1)\text{e}^x \right]_{-1}^{1}-\int_{-1}^{1}\left( 1\times \text{e}^x\right)\text{d}x \\ &=\displaystyle 2\text{e}^1-0-\left[\text{e}^x \right]_{-1}^{1} \\ &=\displaystyle 2\text{e}-\text{e}^1+\text{e}^{-1} \\ &=\displaystyle\text{e}+\text{e}^{-1} \\\end{array} )
![K=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\text{d}x=\int_{-1}^{1}\left[(x+1)\text{e}^x+2x+2 \right]\text{d}x =\int_{-1}^{1}\left[(x+1)\text{e}^x\right]\text{d}x+\int_{-1}^{1}\left[2x+2\right]\text{d}x =J+I =\text{e}+\text{e}^{-1}+4](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?K=\displaystyle\int_{-1}^{1}f(x)\text{d}x=\int_{-1}^{1}\left[(x+1)\text{e}^x+2x+2 \right]\text{d}x =\int_{-1}^{1}\left[(x+1)\text{e}^x\right]\text{d}x+\int_{-1}^{1}\left[2x+2\right]\text{d}x =J+I =\text{e}+\text{e}^{-1}+4)
![\forall x\in]-1,1[,f(x)\geq 0](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\forall x\in]-1,1[,f(x)\geq 0)
suit une loi binomiale
de probabilité supposée 
de probabilité 
 }})
)
=p(X=0)+p(X=1) \\\\ \text{ }\quad\quad\quad\quad =\dfrac{30!}{0!(30-0)!}\times 0,02^0\times 0,98^{30}+\dfrac{30!}{1!(30-1)!}\times 0,02^1\times 0,98^{30-1} \\\\ \text{ }\quad\quad\quad\quad =0,98^{30}+30\times 0,02\times 0,98^{29} \\\\ \text{ }\quad\quad\quad\quad \approx 0,879 )
\approx 0,879}})
)
peut-être approchée par une loi de Poisson, son paramètre est donc: =np=30\times0,02=0,6)
suit une loi de Poisson de paramètre 
=p(Y=0)+p(Y=1) \\\\ \text{ }\quad\quad\quad\quad =\dfrac{0,6^0}{0!}e^{-0,6}+\dfrac{0,6^1}{1!}e^{-0,6} \\\\ \text{ }\quad\quad\quad\quad =e^{-0,6}+0,6\times e^{-0,6} \\\\ \text{ }\quad\quad\quad\quad =1,6\times e^{-0,6} \\\\ \text{ }\quad\quad\quad\quad \approx 0,878)
suit la loi normale de moyenne 
et d'écart-type 
.
)
)
, soit )
.
)
et nous avons :
)
tel que 
=p\left( 68 \leq T+70\leq\72\right)=p\left( 68-70 \leq T\leq\72-70\right)=p(-2\leq T\leq 2)=2\prod(2)-1)
=0,9772)
=2\prod(2)-1=2\times 0,9772-1=0,9544\approx 0,95)
\approx 0,95 }})
=0,99 \Longleftrightarrow p(-h\leq T\leq h)=0,99 \Longleftrightarrow 2\prod(h)-1=0,99 \Longleftrightarrow \prod(h)=\dfrac{1,99}{2}=0,995)
, on a donc : )
![\left[\bar{x}-t\times \dfrac{\sigma}{\sqrt{100}};\bar{x}+t\times \dfrac{\sigma}{\sqrt{100}} \right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[\bar{x}-t\times \dfrac{\sigma}{\sqrt{100}};\bar{x}+t\times \dfrac{\sigma}{\sqrt{100}} \right])
-1=0,95\Leftrightarrow \prod(t)=\dfrac{1,95}{2}=0,975)
![\left[\bar{x}-t\times \dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}\quad;\quad\bar{x}+t\times \dfrac{\sigma}{\sqrt{100}} \right]=\left[70,12-1,96\times 0,1\quad;\quad70,12+1,96\times 0,1 \right] =\left[69,924\quad;\quad 70,316 \right]\approx \left[69,92\quad;\quad 70,32 \right]](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\left[\bar{x}-t\times \dfrac{\sigma}{\sqrt{100}}\quad;\quad\bar{x}+t\times \dfrac{\sigma}{\sqrt{100}} \right]=\left[70,12-1,96\times 0,1\quad;\quad70,12+1,96\times 0,1 \right] =\left[69,924\quad;\quad 70,316 \right]\approx \left[69,92\quad;\quad 70,32 \right])
![\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'intervalle de confiance est : }\left[69,92\quad;\quad 70,32 \right]}}](https://latex.ilemaths.net/latex-0.tex?\boxed{\textcolor{blue}{\text{L'intervalle de confiance est : }\left[69,92\quad;\quad 70,32 \right]}})
\text{ on a : }p(Y=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}\text{ avec }C_n^k={n \choose k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!})
\text{ on a : }p(Y=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}})
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