Fiche de mathématiques

Annales 2007

CAPES externe de mathématiques
Première composition
Session 2007

Introdution

L'objet du problème est l'étude de la suite $(s_n)_{n \geq 1$ définie par : $\forall n \geq 1, \; s_n = \displaystyle \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k^2}$

Dans une première partie, nous nous attacherons à démontrer, de différentes façons, par des méthodes élémentaires, que cette suite converge. Les parties 2, 3 et 4 suivantes seront consacrées à la détermination de la limite $S$ par divers moyens. Les parties 5 et 6 utiliseront la valeur de $S$ pour calculer la somme de certaines séries numériques.
On rappelle que, pour tous entiers $m \, , \, n$ vérifiant $m \leq n$ , on note $\ldbrackm \, , \, n \rdbrack$ l'intervalle d'entiers $\ldbrackm \, , \, n \rdbrack \: = \: \lbrace p \in \mathbb{Z} \, / \, m \leq p \leq n \rbrace$

Première partie : Convergence de la suite

Dans cette partie, le candidat utilisera uniquement les connaissances faisant partie du programme de Terminale S.

1. Première méthode
    a) Démontrer que, pour tout entier $k \geq 2$ , on a la majoration $\frac{1}{k^2} \leq \frac{1}{k - 1} - \frac{1}{k}$
    b) En déduire que la suite $(s_n)_{n \geq 1$ est majorée.
    c) Démontrer que la suite $(s_n)_{n \geq 1$ converge et donner un majorant de sa limite.

Dans toute la suite du problème, on notera $S$ cette limite.

2. Deuxième méthode
On considère la suite $(t_n)_{n \geq 1}$ , définie par : $\forall n \geq 1, \; t_n = s_n + \frac{1}{n}$
    a) Démontrer que les suites $(s_n)_{n \geq 1}$ et $(t_n)_{n \geq 1}$ sont adjacentes.
    b) Donner, en le justifiant, un encadrement d'amplitude 10^-1 de $S$ .

3. Troisième méthode
    Ecrire le texte d'un exercice de niveau terminale S démontrant, par comparaison à une intégrale, la convergence de la suite $(s_n)_{n \geq 1}$ .

Deuxième partie : Utilisation de polynômes

1. Soit $P \in \mathbb{C}[\text{X}]$ un polynôme de degré $n \geq 1 \: : \: P(X) = a_0 + a_1X + a_2X^2 + \cdots + a_nX^n$ .
Rappeler la formule permettant de calculer la somme $\sigma_1 = \displaystyle \sum_{i=1}^n \alpha_i = \alpha_1 + \cdots + \alpha_n$ des racines de $P$ en fonction de ses coefficients $a_k \, , \, k \in \ldbrack0 \, , n \rdbrack$ .

2. a) Soient $p \in \mathbb{N}$ et $\varphi \in \mathbb{R}$ . Démontrer l'égalité
$\sin \left(\left(2p + 1\right) \varphi\right) = \displaystyle \sum_{k=0}^p (-1)^k \left(^{2p+1}_{2k+1}\right) \cos^{2p-2k} \left(\varphi\right) \sin^{2k+1}\left(\varphi\right)$ où $\left(^{2p+1}_{2k+1}\right)$ désigne le coefficient binômial pour $k \in \ldbrack0 \, , p\rdbrack$ .
   b) En déduire que, pour tout entier $p \in \mathbb{N}$ et pour tout réel $\varphi \not \equiv 0 [\pi]$ , on a $\sin\left(\left(2p+1\right)\varphi\right) = \sin^{2p+1}\left(\varphi\right) \displaystyle \sum_{k=0}^p (-1)^k \left(_{2k+1}^{2p+1}\right) \left(\text{cotan}^2 \varphi\right)^{p-k}$
où $\text{cotan} \varphi = \frac{\cos \varphi}{\sin \varphi}$ .

3. Soit $p \in \mathbb{N}^*$ et $P \in \mathbb{R}[X]$ le polynôme défini par : $P(X) = \displaystyle \sum_{k=0}^p (-1)^k \left(_{2k+1}^{2p+1}\right) X^{p-k}$
   a) Pour tout entier $k \in \ldbrack1 \, , \, p\rdbrack$ , on pose $\gamma_k = \text{cotan}^2 \left(\frac{k\pi}{2p+1}\right)$ . Calculer $P(\gamma_k)$ pour tout $k \in \ldbrack1 \, , \, p\rdbrack$ .
   b) Vérifier que, pour tout $k \in \ldbrack1 \, , \, p\rdbrack$ , le réel $\left(\frac{k\pi}{2p+1}\right)$ appartient à l'intervalle $\right] 0 \, , \, \frac{\pi}{2}[ \.$ . En déduire que le polynôme $P$ possède $p$ racines distinctes, que l'on déterminera.
   c) En déduire les égalités : $\displaystyle \sum_{k=1}^p \text{cotan}^2 \left(\frac{k\pi}{2p+1}\right) = \frac{p(2p-1)}{3} \\ \displaystyle \sum_{k=1}^p \frac{1}{\sin^2\left(\frac{k\pi}{2p+1}\right)} = \frac{2p(p+1)}{3}$

4. a) Démontrer, pour tout réel $\varphi \in ]0 \, , \, \frac{\pi}{2}[$ , les encadrements $0 < \sin \varphi < \varphi < \tan \varphi$
   b) En déduire que, pour tout entier $p \geq 1$ , on a l'enceadrement $\frac{p(2p-1)}{3} < \frac{(2p+1)^2}{\pi^2} \displaystyle \sum_{k=1}^p \frac{1}{k^2} < \frac{2p(p+1)}{3}$
   c) Démontrer que $S = \frac{\pi^2}{6}$ .

5. Montrer que les suites $(u_n)_{n \geq 1} \, , \, (v_n)_{n \geq 1} \text{ et } (w_n)_{n \geq 1}$ définies par $\forall n \geq 1 \, , \, u_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{\left(2k\right)^2} \hspace{20pt} v_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n \frac{1}{(2k+1)^2} \hspace{20pt} w_n = \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{(-1)^{k+1}}{k^2}$ sont convergentes et déterminer les valeurs exactes de leurs limites, respectivement notées $U \, , \, V \text{ et } W$ .

Troisième partie : Utilisation des intégrales de Wallis

Pour tout entier $n \in \mathbb{N}$ , on pose $I_n = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos^{2n} t \text{d}t \, , \hspace{15pt} J_n = \displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} t^2 \cos^{2n} t \text{d}t \hspace{15pt} \text{ et } \hspace{15pt} K_n = \displaystyle \frac{4^n (n!)^2}{(2n)!} J_n$

1. Calculer les intégrales I₀ et J₀.

2. a) Démontrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a : $I_{n+1} = \frac{2n+1}{2n+2}I_n$
(Indication : on pourra penser à une intégration par parties).
   b) En déduire que pour tout $n \in \mathbb{N}$ , on a : $I_n = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \: \frac{\pi}{2}$

3. Soit $n \geq 1$
   a) Démontrer la relation $I_n = n(2n-1)J_{n-1} - 2n^2 J_n$
   b) En déduire que $K_{n-1} - K_n = \frac{\pi}{4n^2}$
   c) Démontrer la relation $\frac{\pi}{4} \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} = J_0 - K_n$

4. a) Démontrer que, pour tout réel $x \in \left[0 \, , \, \frac{\pi}{2}\right]$ , on a : $x \leq \frac{\pi}{2} \sin x$
   b) En déduire que, pour tout entier $n$ , on a $0 \leq J_n \leq \frac{\pi^2 I_n}{8(n+1)}$ puis $0 \leq K_n \leq \frac{\pi^3}{16(n+1)}$
   c) Retrouver la valeur de $S$ .

Quatrième partie : Noyau de Dirichlet

Pour tout entier $n \geq 1$ , on note $D_n$ le noyau de Dirichlet, défini par : $\forall x \in \mathbb{R}, \; D_n(x) = \frac12 + \displaystyle \sum_{k=1}^n \cos\left(kx\right)$

1. Démontrer que, pour tout entier $n \geq 1$ et tout réel $x \not \equiv 0[2\pi]$ , on a $D_n(x) = \frac12 \: \frac{\sin\left(\left(n + \frac12\right)x\right)}{\sin \frac{x}{2}$

2. Pour tout entier $n \geq 1$ , on note $L_n$ l'intégrale $L_n = \displaystyle \int_0^{\pi} x D_n(x) \text{d}x$
a) Calculer l'intégrale $\displaystyle \int_0^{\pi} x \cos\left(kx\right) \text{d}x$ pour tout entier $k \geq 1$ .
b) En déduire que $L_n = \frac{\pi^2}{4} - \displaystyle \sum_{k=1}^n \frac{1}{k^2} + \sum_{k=1}^n (-1)^k \frac{1}{k^2}$

3. On note $f$ le prolongement par continuité en 0 de la foncion définie sur l'intervalle ]0 ; $\pi$ ] par : $x \to \frac{x}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)}$ .
Démontrer que la fonction $f$ est de classe $\mathscr{C}^1$ sur l'intervalle [0, $\pi$ ].

4. Soit $\phi : [0, \pi] \to \mathbb{R}$ une fonction de classe $\mathscr{C}^1$ sur $\left[0,\pi\right]$ . Démonter que $\displaystyle \lim_{\lambda \to +\infty} \int_0^{\pi} \phi(x) \sin(\lambda x) \text{d}x = 0$
(Indication : on pourra penser à une intégration par parties.)

5. a) Démontrer que $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} L_n = 0$ .
b) Retrouver la valeur de S. (On utilisera la relation entre W et S obtenue à la question 5 de la deuxième partie)

Cinquième partie : Une somme double

L'objet de cette partie est de calculer la limité de la somme double $\displaystyle \lim_{M \ti +\infty} \left(\displaystyle \lim_{N \to +\infty} \displaystyle \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^M \frac{1}{nm(n+m-1)}\right)$ On pose, pour tout entier $N \geq 1$ , $H_N = \displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{n}$ .

1. a) Démontrer que pour tout entier $N \geq 1$ , on a : $\ln(1 + N) \leq H_N \leq 1 + \ln(N)$ .
    b) En déduire que $\displaystyle \lim_{N \to +\infty} \frac{H_N}{N} = 0$ .
    c) Démontrer que pour tout entier $M \geq 2$ , on a : $\displaystyle \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{H_m}{m(m + 1)} = \displaystyle \sum_{m=1}^M \frac{1}{m^2} - \frac{H_M}{M}$
    d) En déduire que la série $\displaystyle \sum_{m=1}^{+\infty} \frac{H_m}{m(m+1)}$ converge et déterminer sa limite.

2. Pour tout entier $N \geq 1$ et pour tout entier $m \geq 2$ , on pose $Z_{N,m} = \displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{n(n+m-1)}$
    a) Démonter pour tout entier $m \geq 2$ $Z_{N,m} = \frac{1}{m-1} \left(H_{m-1} - \displaystyle \sum_{n=N+1}^{N+m-1} \frac{1}{n}\right)$
    b) En déduire que $\displaystyle \lim_{N \to +\infty} Z_{N , m} = \frac{H_{m-1}}{m-1}$

3. a) Montrer que pour tout entier $N \geq 1$ et pour tout entier $M \geq 2$ , on a : $\displaystyle \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^M \frac{1}{nm(n+m-1)} = \displaystyle \sum_{n=1}^N \frac{1}{n^2} + \displaystyle \sum_{m=2}^M \frac{Z_{N,m}}{m}$
    b) Montrer que $\displaystyle \lim_{N \to +\infty} \displaystyle \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^M \frac{1}{nm(n + m - 1)} = \frac{\pi^2}{6} + \displaystyle \sum_{m=2}^M \frac{H_{m-1}}{m(m-1)}$
    c) En déduire alors $\displaystyle \lim_{M \to +\infty} \left(\displaystyle \lim_{N \to +\infty} \displaystyle \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^M \frac{1}{nm(n+m-1)}\right)$

Sixième partie : La fonction Dilogarithme

Pour tout réel $x \in [-1 \, , \, 1[$ , on considère l'intégrale $Li(x) = - \displaystyle \int_0^x \frac{\ln(1 - t)}{t} \text{d}t$

1. Justifier l'existence de cette intégrale pour tout réel $x \in [-1 \, , \, 1[$ .

2. On définit la fonction Dilogarithme $Li \: : \: \| \begin{array}{cll} [-1 \, , \, 1[ & \longrightarrow & \mathbb{R} \\ x & \mapsto & Li(x) \end{array}$ Démonter que la fonction Li est prolongeable par continuité en 1. On notera encore Li ce prolongement par continuité.

3. a) Montrer que pour tout $x \in ]-1 \, , \, 1[$ , on a $Li(x) = \displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{x^n}{n^2}$
    b) En déduire la valeur de Li(1).

4. a) Pour $x \in ]0 \, , \, 1[$ , calculer la dérivée de $Li(x) + Li(1 - x)$
    b) Démontrer la relation fonctionnelle $\forall x \in ]0 \, , \, 1[, \: \: Li(x) + Li(1-x) = \frac{\pi^2}{6} - \ln(1 - x) \ln(x)$

5. Déduire de la question précédente, la valeur de la somme $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{2^nn^2}$ .

6. a) Pour tout réel $x \in ]-1 \, , \, 1[$ , démontrer la relation $Li(x) + Li(-x) = \frac12 Li(x^2)$
    b) Retrouver la valeur de la somme $\displaystyle \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{n^2}$ .

7. a) Pour tout réel $x \in ]0 \, , \, 1[$ ; démontrer la raltion $Li(x) - Li(-x) + Li\left(\frac{1-x}{1+x}\right) - Li\left(\frac{x-1}{1+x}\right) = \frac{\pi^2}{4} + \ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) \ln(x)$
    b) En déduire la valeur de la somme $\displaystyle \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{\left(\sqrt{2} - 1\right)^{2n+1}}{(2n + 1)^2}$ .

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Merci à Nicou pour avoir contribué à l'élaboration de cette fiche