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L'île des Mathématiques

CAPES externe de mathématiques
Première composition
Session 2007

Introdution

L'objet du problème est l'étude de la suite définie par :

Dans une première partie, nous nous attacherons à démontrer, de différentes façons, par des méthodes élémentaires, que cette suite converge. Les parties 2, 3 et 4 suivantes seront consacrées à la détermination de la limite par divers moyens. Les parties 5 et 6 utiliseront la valeur de pour calculer la somme de certaines séries numériques.
On rappelle que, pour tous entiers vérifiant , on note l'intervalle d'entiers

Première partie : Convergence de la suite

Dans cette partie, le candidat utilisera uniquement les connaissances faisant partie du programme de Terminale S.

1. Première méthode
    a) Démontrer que, pour tout entier , on a la majoration

    b) En déduire que la suite est majorée.
    c) Démontrer que la suite converge et donner un majorant de sa limite.

Dans toute la suite du problème, on notera cette limite.

2. Deuxième méthode
On considère la suite , définie par :

    a) Démontrer que les suites et sont adjacentes.
    b) Donner, en le justifiant, un encadrement d'amplitude 10^-1 de .

3. Troisième méthode
    Ecrire le texte d'un exercice de niveau terminale S démontrant, par comparaison à une intégrale, la convergence de la suite .

Deuxième partie : Utilisation de polynômes

1. Soit un polynôme de degré .
Rappeler la formule permettant de calculer la somme des racines de en fonction de ses coefficients .

2. a) Soient et . Démontrer l'égalité
    où désigne le coefficient binômial pour .
   b) En déduire que, pour tout entier et pour tout réel , on a

où .

3. Soit et le polynôme défini par :

   a) Pour tout entier , on pose . Calculer pour tout .
   b) Vérifier que, pour tout , le réel appartient à l'intervalle . En déduire que le polynôme possède racines distinctes, que l'on déterminera.
   c) En déduire les égalités :

4. a) Démontrer, pour tout réel , les encadrements
   b) En déduire que, pour tout entier , on a l'enceadrement

   c) Démontrer que .

5. Montrer que les suites définies par

sont convergentes et déterminer les valeurs exactes de leurs limites, respectivement notées .

Troisième partie : Utilisation des intégrales de Wallis

Pour tout entier , on pose

1. Calculer les intégrales I₀ et J₀.

2. a) Démontrer que pour tout , on a :
(Indication : on pourra penser à une intégration par parties).
   b) En déduire que pour tout , on a :

3. Soit
   a) Démontrer la relation
   b) En déduire que
   c) Démontrer la relation

4. a) Démontrer que, pour tout réel , on a :
   b) En déduire que, pour tout entier , on a

    puis    
   c) Retrouver la valeur de .

Quatrième partie : Noyau de Dirichlet

Pour tout entier , on note le noyau de Dirichlet, défini par :

1. Démontrer que, pour tout entier et tout réel , on a

2. Pour tout entier , on note l'intégrale

a) Calculer l'intégrale pour tout entier .
b) En déduire que

3. On note le prolongement par continuité en 0 de la foncion définie sur l'intervalle ]0 ; ] par : .
Démontrer que la fonction est de classe sur l'intervalle [0, ].

4. Soit une fonction de classe sur . Démonter que

(Indication : on pourra penser à une intégration par parties.)

5. a) Démontrer que .
    b) Retrouver la valeur de S. (On utilisera la relation entre W et S obtenue à la question 5 de la deuxième partie)

Cinquième partie : Une somme double

L'objet de cette partie est de calculer la limité de la somme double On pose, pour tout entier , .

1. a) Démontrer que pour tout entier , on a : .
    b) En déduire que .
    c) Démontrer que pour tout entier , on a :

    d) En déduire que la série converge et déterminer sa limite.

2. Pour tout entier et pour tout entier , on pose

    a) Démonter pour tout entier
    b) En déduire que

3. a) Montrer que pour tout entier et pour tout entier , on a :

    b) Montrer que
    c) En déduire alors

Sixième partie : La fonction Dilogarithme

Pour tout réel , on considère l'intégrale

1. Justifier l'existence de cette intégrale pour tout réel .

2. On définit la fonction Dilogarithme

Démonter que la fonction Li est prolongeable par continuité en 1. On notera encore Li ce prolongement par continuité.

3. a) Montrer que pour tout , on a

    b) En déduire la valeur de Li(1).

4. a) Pour , calculer la dérivée de
    b) Démontrer la relation fonctionnelle

5. Déduire de la question précédente, la valeur de la somme .

6. a) Pour tout réel , démontrer la relation

    b) Retrouver la valeur de la somme .

7. a) Pour tout réel ; démontrer la raltion

    b) En déduire la valeur de la somme .

voir la correction

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