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L'île des Mathématiques

CAPES externe de mathématiques
Deuxième composition
Session 2007

Introduction

Dans tout le problème, n désigne un entier naturel non nul. On munit du produit scalaire usuel : et on définit la norme d'un vecteur par Soit a un vecteur de non nul, on note s_a la symétrie orthogonale de dans définie par On dit qu'une partie R de est un système de racines dans si elle vérifie les conditions suivantes :
    la partie R est finie, ne contient pas 0 et engendre le -espace vectoriel ;
    pour tout (en particulier ) ;
    pour tous ;
    pour tout , les seuls éléments de R proportionnels à sont et .
Les coefficients sont appelés les coefficients de structure du sytème de racines R.
On dit que deux systèmes de racines R et R' sont des systèmes de racines isomorphes s'il existe un isomorphisme d'espaces vectoriels vérifiant

Dans la partie I, on étudie les systèmes de racines du plan. Cette partie permet de se familiariser avec cette notion et d'avoir des exemples sur les quels s'appuyer pour la suite du problème. Puis dans la partie II, on étudie des relations d'ordre total compatibles avec la structure d'espace vectoriel de . Cette partie est indépendante de la partie I. Ces relations d'ordre permettront, dans la partie III, d'extraire d'un système de racines une base de . Même si le fait d'avoir traité la partir I permet de mieux aborder celle-ci, le seul résultat utile est rappelé en début de la partie III et pourra être admis. Seule la dernière question dépend de la partie I. La partie IV est consacrée à l'étude d'un groupe engendré par les symétries associées à un système de racines. On montrera que les symétries associées à une base suffisent à engendrer le groupe. Pour cela, on utilisera des résultats établis dans la partie III. Ensuite, dans la partie V, on étudiera les groupes diédraux et on montrera qu'ils sont engendrés par deux éléments d'ordre 2. Cette partie est indépendante de ce qui précède (sauf pour traiter la dernière question). Dans la partie VI, on associe à un système de racines un ensemble de parties connexes de sur lequel agit le groupe défini dans la partie IV. On montre ensuite, par des arguments de dualité et de topologie, que toutes les bases extraites du système de racines sont en bijection avec ces connexes. Cette partie se finit en montrant que le groupe agit simplment transitivement sur l'ensemble de ces connexes et sur l'ensemble des bases du système de racines.

Partie I. Systèmes de racines dans

Dans cette partie, on supposera n = 2. Soit R un système de racines de . Pour , on note l'angle géométrique entre et , i.e. le nombre réel compris entre 0 et défini par

1. Soit .
   a) Montrer que .
   b) En déduire les valeurs possibles de .
   c) Montrer que le couple ne peut pas prendre les valeurs (1 , 4), (4 , 1), (-1 , -4) et (-4 , -1).
   d) Pour , montrer que et déduire les valeurs possibles du rapport .
   e) En supposant , présenter sous forme d'un tableau, les différentes valeurs de .

2. Dessiner les figures correspondant à quatre systèmes de racines dans non deux à deux isomorphes (dans chacun des cas, l'une des racines devra être (1 , 0)). On les ordonnera dans l'ordre croissant du nombre de racines et on les appellera A₁ × A₁, A₂, B₂ et G₂ (ayant respectivement 4, 6, 8 et 12 racines).

3. Soit une racine de R de norme minimale. Supposons qu'il existe une racine de R non proportionnelle et non orthogonale à . Quitte à transformer R par une rotation, une homothétie ou une symétrie orthogonale d'axe (qui laissent invariants les coefficients de structure du système de racines), on peut supposer et de deuxième coordonnée strictement positive.
   a) Montrer que . En posant montrer que .
Quitte à remplacer par , on supposera et d'après le tableau des valeurs de trois cas peuvent se présenter.
   b) cas 1 : Supposons que et . Calculer et et représenter graphiquement les quatre racines . En déduire que . En supposant qu'il existe , montrer qu'alors l'angle entre et une racine de B₂ est inférieur à . En conclure que R = B₂.
   c) cas 2 : Supposons que . Calculer

et les représenter graphiquement ainsi que et . En déduire que . En raisonnant par l'absurde, montrer que R = G₂.
   d) cas 3 : Supposons que et . Calculer et en déduire que . Supposons que , soit . Montrer que l'angle entre et deux vecteurs adjacents de A₂ est égal à . Quitte à réindexer les éléments de A₂, montrer qu'on peut supposer . En déduire que R = G₂.

4. En conclure qu'à isomorphisme près, il n'y a que quatre systèmes de racines dans .

Partie II. Relations d'ordre dans

Une relation d'ordre sur est dite compatible avec la structure d'espace vectoriel de si elle vérifie les deux conditions suivantes :
      ;
      .
La relation d'ordre strict associée est notée .

1. Soit une relation d'ordre total sur compatible avec la structure d'espace vectoriel.
   a) Montrer que

   b) Soit (le groupe linéaire de ). On définit une relation par : pour , on a . Montrer que est une relation d'ordre total sur compatible avec la structure d'espace vectoriel.

2. On définit une relation sur par : pour et , on a si

   a) En munissant le plan d'un repère , représenter graphiquement la partie en la hachurant d'une couleur particulière.
   b) Montrer que la relation est une relation d'ordre total sur compatible avec la structure d'espace vectoriel. Cet ordre est appelé l'ordre lexicographique.

Partie III. Base d'un système de racines

On supposera n quelconque. Soit R un système de racines de . Les résultats obtenus en I.1.e restent vrais, même si la dimension n'est plus 2. En particulier, pour deux racines distinctes, si , l'un des deux coefficients est égal à 1.
On appelle base du système de racines R une partie B de R telle que
      la famille B est une base de l'espace vectoriel ,
      tout élément de R est combinaison linéaire d'éléments de B, à coefficients entiers, soit tous positifs ou nuls, soit tous négatifs ou nuls.
L'objet de cette partie est de mettre en évidence de telles bases.

1. On munit d'une relation d'ordre total compatible avec la structure d'espace vectoriel. On note alors R⁺ l'ensemble des racines positives et R^- l'ensembledes racines négatives, c'est à dire :

On appelle racine simple une racine positive qui n'est pas somme de deux racines positives et on note B l'ensemble des racines simples.
   a) Montrer que tout élément de R⁺ est soit dans B, soit somme de deux racines positives strictement plus petites.
   b) Montrer que tout élément de R⁺ est combinaison linéaire d'éléments de B à coefficients entiers positifs ou nuls. (Indication : On pourra ordonner les éléments de R⁺ et faire une démonstration par récurrence ou raisonner par l'absurde).

2. Soit deux racines disctintes .
   a) Montrer que si , alors .
   b) Supposons que . Montrer que .

3. Soient des racines simples deux à deux distinctes et soient des réels positifs tels que

Montrer que les réels sont tous nuls. (Indication : On pourra poser et montrer que .)

4. Montrer que B est une base de l'espace vectoriel . (On dit que B est une base du système de racines R, associée à l'ordre sur ).

5. En munissant de l'ordre lexicographique, pour chacun des quatre systèmes de racines, dessiner d'une couleur particulière les vecteurs de la base associée.

Partie IV. Groupe de Weyl d'un système de racines

Soit R un système de racines de , une relation d'ordre total sur compatible avec la structure d'espace vectoriel, R⁺ l'ensemble des racines positives et B la base de R associée à la relation d'ordre. On appaelle groupe de Weyl de R, noté W, le sous-groupe des automorphismes de l'espace vectoriel , engendré par les symétries .

1. Soit et soit (le groupe orthogonal de ). Etablir que

2. Montrer que le groupe de Weyl W est un groupe fini.

3. a) Soit . Montrer qu'il existe tel que (Ind : on pourra utiliser III.1.b et développer ). En déduire que et que .
   b) Soit tels que . Montrer que .

4. On note W_B le sous-groupe de W engendré par les applications et on pose

   a) Moontrer que . (Ind : On pourra raisonner par l'absurde).
   b) En déduire que R = S. (Ind : On poura remarquer que pour ).
   c) Conclure que W = W_B.

Partie V. Groupes diédraux

1. Soit E un plan affine euclidien orienté. Soit . On appelle groupe diédral d'ordre 2p, noté D_2p, le groupe des isométries laissant invariant un polygone régulier à p sommets, parcourus dans le sens direct. On posera M_p = M₀.
   a) Montrer que le sous-groupe C_p de D_2p constitué des isométries directes, est un groupe cyclique d'ordre p engendré par la roration de centre O et d'angle où O est le centre du polygone .
   b) Préciser une symétrie orthogonale laissant le polygone invariant.
   c) Montrer que et en déduire que D_2p est un groupe d'ordre 2p.
   d) Soit . Montrer que .

2. Soit G un groupe fini engendré par deux éléments distincts s et s' d'ordre 2. On pose r = ss' et on note p l'ordre de r. On note e l'élément neutre de G.
   a) Montrer que G est engendré par r et s.
   b) Etablir que sr = r^-1s, puis que sr^k = r^p-ks pour tout . En déduire que

.
   c) Montrer que pour tout (on pourra raisonner par l'absurde et montrer que G serait commutatif, puis que G = {e , r}). En déduire que G est d'ordre 2p.
   d) Montrer que G est isomorphe à D_2p.
   e) Déterminer les groupes de Weyl associés aux systèmes de racines de .

Partie VI. Chambres de Weyl

Soit R un système de racines de et W le groupe de Weyl associé. Pour tout , on note l'hyperplan orthogonal à .

1. Montrer que est une partie ouverte de .

La partie est réunion finie disjointe de parties non vides ouvertes connexes de , ce sont les chambres de Weyl du système de racines R.

2. Soit C une partie connexe non vide de incluse dans . Montrer qu'il existe une chambre de Weyl de R contenant C.

3. Montrer que le groupe de Weyl W permute les hyperplans ainsi que les chambres de Weyl.

4. Soient C₁ et C₂ deux chambres de Weyl de R et soit .
   a) Justifier l'existence d'un élément tel que

   b) On pose . Montrer que . (Indication : On pourra supposer qu'il existe tel que et montrer qu'il existe tel que et que .
   c) En déduire . On dit que le groupe W opère transitivement sur les chambres de Weyl de R.

5. Soit une base de R et soit la base duale de B pour le produit scalaire de , c'est-à-dire, une famille de vecteurs de vérifiant

On pose égalité que l'on ne demandera pas de démontrer.
   a) Montrer que et qu'il existe une chambre de Weyl C telle que .
   b) Soit fixé. On pose . Montrer que C⁺_i et C^-_i sont des parties ouvertes telles que et . En déduire que C = C⁺_i.
   c) En déduire que C(B) = C. On dit que C(B) est la chambre de Weyl fondamentale relativement à B.

6. Pour chacun des quatre systèmes de racines de , hachurer d'une couleur particulière la chambre de Weyl fondamentale relativement à la base associée à l'ordre lexicographique de .

7. a) Monter que pour toute chambre de Weyl C de R, il existe une base B de R telle que C = C(B).
   b) Montrer que l'application qui à une base B de R associe la chambre C(B) est une bijection de l'ensemble des bases de R sur l'ensemble des chambres de R.

8. Soit B une base de R, R⁺ l'ensemble des racines positives et R^- l'ensemble des racines négatives.
   a) Soient des éléments non nécessairement distincts de B tels que

Montrer qu'il existe tel que
   b) En déduire que si , alors il existe tel que .

9. a) Montrer que le groupe de Weyl W de R opère simplement transitivement sur l'ensemble des bases de R, c'est-à-dire que pour deux bases B et B' données de R, il existe un unique élément tel que .
   b) En déduire que le groupe de Weyl W de R opère simplement transitivement sur l'ensemble des chambres de Weyl de R.

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